初等数论知识点总结

《初等数论》总结

姓名 xxx

学号 xxxxxxxx

院系 xxxxxxxxxxxxxxx

专业 xxxxxxxxxxxxxxx

个人感想

初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。

有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。

老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。

知识点总结

第一章 整数的可除性

1. 定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除 2性质：

(1)若且，则(传递性质)；

(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中；

(3)若，则或者，或者，因此若且，则； (4)互质，若，则；

(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若

b a ,0≠b

c bc a =b a a b |b a a b c b a c b |a c |a b |a b |c b |)(|c a b ±a b |c b |v u ,)(|cv au b ±n a a a ,,,21 b )(|21n a a a b +++ i b a |∑=n

i i

i b c a 1|n i Z c i ,,2,1, =∈a b |0=a ||||b a ≥a b |b a |b a ±=b a ,c b c a |,|c ab |p n a a a p 21|p n a a a ,,,21

是质数，若，则；

(6)(带余数除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，……，。若，即为被整除的情形；

易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核

心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中

取特殊值而产生

若是正整数，则；

若是正奇数，则；（在上式中用代）

(7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也

是的倍数；

(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；

(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；

第二章 不定方程

1. 定义：二元一次不定方程的一般形式是ax +by = c ，其中a ,b ,c 是整数

2. 定理：

(1) 不定方程有整数解的充要条件为 (a,b) | c.

(2) 设x 0,y 0是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成

⎩⎨

⎧+=-=t a y y t b x x 1010 ,2,1,0±±=t 其中)

,(,),(11b a b b b a a a ==

p n a p |a p |b a ,0>b q r r bq a +=b r <≤0q r q a b r a b r b 1-b 0=r a b ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡b a b a r b r <≤0a b |a b n ))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x x y x y x n ))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x x y x y x y -y ∑∑===m

k k n

i i b a 1

1

c c

3. 不定方程的解法：

（1）观察法：当a,b 的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解x 0,y 0，然

后用⎩⎨⎧+=-=t

a y y t

b x x 1010得到其所有解

（2）公式法：当a,b 的绝对值较小时，可用公式

2

11021110,,1,0,,1----+===+===k k k k k k k k P Q q Q Q Q P P q P q P P 得到特解n n n n P y Q x )1(,)1(010-=-=-，

然后用公式写出一切解。i q 为a,b 作辗转相除时不完全商

（3）整数分离法：当a,b 中系数不同时，用绝对值较小的系数后的变量表示另一个变量，通过变量替换得到一个新的不定方程。如此反复，直到一个参数的系数为1，而得到不定方程的解。 （4）化为同余方程|)|(mod b c ax ≡ 4.多元一次不定方程

（1）定义：形如)2(2211≥=++n c x a x a x a n n 的不定方程多元一次不定方程

（2）定理：)2(2211≥=++n c x a x a x a n n 有解的充要条件是(a 1，a 2，…a n )|c （3）解法：

设n n n d a d d a d d a a ===-),(,),(,),(1332221 ，则

)2(2211≥=++n c x a x a x a n n 等价于方程组

c

x a t d t d x a t d t d x a x a n n n n =+=+=+--11333322222211,

,

先解最后一个方程的解，得n n x t ,1-然后把其代入倒数第二

个方程求得一切解，如此向上重复进行，求得所有方程的解 5．勾股数

定义：一般地称x 2+y 2=z 2的正整数解为勾股数 定理：在条件x>0，y>0，z>0，（x ，y ）=1，2∣x 的条件下x 2+y 2=z 2的通解公式为 x=2ab ，y=a 2-b 2，z 2=a 2+b 2，a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b 一奇一偶

第三章 同余