人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_定积分的简单应用(提高)

人教版高中数学选修2-2

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

定积分的简单应用

【学习目标】

1.会用定积分求平面图形的面积。

2.会用定积分求变速直线运动的路程

3.会用定积分求变力作功问题。

【要点梳理】

要点一、应用定积分求曲边梯形的面积

1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：

()[()()]b b

a

a

S f x dx f x g x dx ==-⎰⎰

2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线

()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：

()()[()()]b

b b

a

a

a

S f x dx f x dx g x f x dx =

=-=-⎰

⎰⎰

3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上

()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积：

()c

a

S f x dx =

+

⎰

()b

c

f x dx ⎰

＝()c a

f x dx -⎰＋()b

c

f x dx ⎰.

4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积：

1212[()()]()()b b b

a

a

a

S f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰

要点诠释：

研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；

② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；

要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤

（1）画出图形；

（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；

（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

要点三、定积分在物理中的应用

① 变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间

[,]a b 上的定积分，即()b

a

S v t dt =⎰.

②变力作功

物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动

到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =

()b

a

F x dx ⎰

.

要点诠释：

1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情

况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】

类型一、求平面图形的面积 【定积分的简单应用 385155 例1】

例1．计算由两条抛物线2

y x =和2

y x =所围成的图形的面积.

【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 【解析】 2

01y x x x y x

⎧=⎪⇒==⎨

=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）

、（1，1）， 面积S=1

1

20

xdx x dx =-⎰⎰，

所以1

3

1

1232

0021211

d d 3

3333S x x x x x x ⎛⎫=

-=-=-= ⎪⎝⎭⎰

⎰

【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的

面积的差得到。

2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤： ⑴．作图象；

⑵．求交点，定积分上、下限； ⑶．用定积分表示所求的面积； ⑷．微积分基本定理求定积分。 举一反三：

【变式1】（2015 德州二模改编）如图阴影部分是由曲线2

y x =和圆22

2x y +=及x 轴围

成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）

A.

146π

- B. 146π+ C. 4

π

D.16 【答案】如下图，因为曲线2

y x =和圆22

2x y +=在第一象限的交点为（1,1）

所以阴影部分的面积为

1

223100

111()()|4

42346

x x dx x x π

π

π--=

--=-⎰。

【变式2】求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。 【答案】所求图形的面积为

dy dy y f y g S y ⎰

⎰

⨯-=

-1

1

224)()()(【＝

e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（

例2．求抛物线2

y x =与直线230x y --=所围成的图形的面积. 【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。

【解析】

解法一：解方程组2,230,y x x y ⎧=⎨--=⎩

得11x y =⎧⎨=-⎩或9

3x y =⎧⎨=⎩

即交点(1,1),(9,3)A B -.

由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。

过A 点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和.

1

91201

1

[()][(3)]2

S S S x x dx x x dx =+=--+--⎰⎰ ＝1

999

111

132

22xdx xdx xdx dx +-+⎰

⎰⎰⎰

＝332

19992201114233342x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭