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时钟抖动的建模与仿真

——随机过程大作业报告1引言

采样是数字通信系统中最重要也是最关键的一步。比如，由模拟信源变为数字信源需要AD采样，接收端将接收信号数字化也需要AD采样，而采样都需要通过振荡器产生采样信号；在载波系统中，接收端需要通过振荡器产生与发送端同频同相的载波信号，在OFDM系统中，接收端则需要通过本地振荡器产生产各个子载波。

通过对通信原理、数字信号处理、数字通信等课程的学习知道，在分析本地振荡产生的信号的时钟抖动分析，都运用随机过程中的中心极限定理的知识，认为各种随机因数使时钟抖动是一个高斯过程；即我们都很清楚每个时刻的随机时间抖动都是一个高斯变量，但是各个时刻的高斯时间抖动之间是什么关系我们却很少提及。基于以上问题，我们认为很有必要去弄清楚，这个高斯的采样抖动信号在时间上呈现出什么样的关系，通过深层次的产生机理的分析弄清楚它的产生要素，以方便我们在平时的学习和研究过程中，比如仿真需要时，能够更贴近实际的去引入时间抖动。

在本文的第二部分中，将通过研究一个振荡器的振动模型，来分析时钟抖动产生的激励，通过分析我们最终得出，时钟抖动噪声其实是一个维纳过程的重要结论。第三部分，则是通过阅读文献，得到时钟抖动有很多重要的性质。第四部分主要是以第二部分的模型为基础，进行matlab仿真以验证，此模型产生的时钟抖动是否满足人们已经的到的关于时钟抖动的各种性质（第三部分中所述性质），以验证模型的正确性。第五部分，则进行总结，提出几个值得思考的问题，并给出自己的初步想法。

时钟抖动的建模

在参考文献【1】中用数学手段详细分析了时钟抖动产生的激励，这一部分我们就是以此文献为基础对时钟抖动进行建模分析的。

振荡器所满足的方程

图一、振荡器模型

对于以上模型的振荡器满足如下振动方程：

（1）

就是噪声源，此处的讨论中在不同时刻是一系列相互独立的高斯白噪声。

要解如上方程需做如下假设：

1) 将的二项分为两项和，这样方程（1）变为：

（2）

2) 对于以上的将贡献方程（2）的稳态解，而项只对稳态解的参数有影响即，

（3）

方程（3）的解为（4）

称为相位偏差，即使很小也会随时间剧烈变化。

3) 项将使方程（3）的解加上一项很小的扰动，即最终方程（2）的解为：

（5）通过以上分析，我们知道时钟抖动就是在理想的稳定信号上加上了，

两项噪声如式（5）所示，我们通过一个图来表示，如图二所示：

图二、时钟抖动模型

图二是产生采样脉冲信号时的噪声模型，项使采样时刻发生偏转，

项在时间轴上加上一个随机噪声，一般认为项相对于脉冲信号很小可以忽略，只考虑项的影响。

噪声项解的分析

1) 对于以上的满足如下条件：

（6）由于是随机噪声源，因此也必是随机的。

满足以下条件：

（7）

满足以下条件：

（8）其中，，

定义：，

2)将（5）带入（2）有：

（9）

（10）其中，，

定义：，

最终有：

（11）定义方程（11）的特征解：

（12）其中，是周期为T的非奇异矩阵，，，

是时放大器的特征值，特征函数为，是矩阵的列，

是矩阵的行，对任意的t成立。做以上说明后，对于方程（11）的解为：

（13）

此处，进一步化简有：

（14）正是由于振荡器的振动方程加上了和的影响，故而变得不稳定进而产生时钟抖动。一般情况下忽略不计。

的统计特性分析

()t

前面已假设是一串稳定的相符统计独立的高斯白噪声所组成的向量，由前知满足方程（6）。

1) 设，的n维联合分布函数为：

。

2）设一维概率密度函数为：

，满足以下方程：

（15）其中，，；有前面定义知，和

都是以T为周期的函数，所以的表达式可知它是以T为周期的周期函数。

设（16）3)定义的特征函数为：

且满足：

（17）

（18）

其中，，所

以，，。c反映了振荡器的稳定度，对于一般的积分振荡器c的取值在到范围之内，对于恒温晶体振荡器（Oven Controlled Crystal Oscillator (OCXO)），c的取值可达到，c越小则振荡器的性能越好。

（18）式表示的是一个高斯变量的特征函数，且此高斯变量的方差随时间线性增加，即实际上是一个维纳过程。

4)可计算出的自相关函数为：

也即，

，其中m, c均为常数，如前所求；由此可知的自相关函数与采样时间有关，即是非平稳的。

一般认为，，且

与无关，即是一个独立增量过程。

综上，是：

非平稳的二阶矩过程

独立增量过程

在t时刻服从高斯分布，均值为0，方差为

由于在t时刻的方差随时间线性增长，由维纳过程的定义：若一个随机过程{X(t),t>=0}满足：

(1)X(t)是独立增量过程；

(2)任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,c^2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望为0，方差

为c^2*t的正态分布；

(3)X(t)关于t是连续函数。

则称{X(t),t>=0}是维纳过程(Wiener process)或布朗运动。

由此可知是一个维纳过程。

经过以上分析可知，振荡器之所以产生的信号会有误差，其主要原因是其时间因子上加入了一个维纳过程的时间抖动，它是一个非平稳过程，从而在接收端用本地信号进行采样时其时间上会存在一个抖动也就是我们常说的时钟抖动。