高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

空间几何体的外接球与内切球经典类型

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图1-1

图1-2

图1-3

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

2

2

2

)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π

20 C ．π24 D ．π32

（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是

（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则

正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .

解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，

取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，

则H 是底面正三角形ABC 的中心，

∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC

⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，

(3)题-1(引理）

A

C

∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，

故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，

∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642

=R ，

∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36. （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒

AB AC SA BAC 则该四面体的外接

球的表面积为（ ）

π11.A π7.B π310.

C π3

40

.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形

和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为

类型二、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，

y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，

(6)

题图

图2-1

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+2

222

22222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=

++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 3

1

461=⨯-

=-. 第三步：根据墙角模型，222222

2

2

z y x c b a R ++=

++=，82222

z y x R ++=，8

2

22z y x R ++=

，

求出R .

例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接

球的表面积为 .

(1)题图

B

（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接

球的表面积为 .

（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为

（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三

角形(正四面体的截面)的面积是 .

(4)

题

类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

图3-1

图3-2

图3-3

题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是

任意三角形）

第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 2

1

2111==

（h AA =1也是圆柱的高）

； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒2

22)2

(r h

R +=⇒22)2

(h

r R +=

，解出R .

例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，

且该六棱柱的体积为

8

9

，底面周长为3，则这个球的体积为 （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此

球的表面积等于 .

（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒

=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，

则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 . （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3

,6,41==

==AA A AC AB π

，则直三棱柱111C B A ABC -的外接

球的表面积为 .