几何中线段的最值问题

几何中线段的最值问题

一、一条线段的最值问题一

（1）借助旋转求最值

2013通州一模

24．已知：2

BD=，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两AD=，4

侧.

（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；

（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB的大小.

25.已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.

（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60

D B

（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

图1 图2 图3

（2）借助直角三角形性质求最值

（1）勾股定理

（2）直角三角形斜边中线等于斜边一半

（3）直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短

的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得．

【例1】如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是【例2】如图，△ABC 是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A在x轴上。

②求出AC边上的高线BD的长度；

③当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值；

④已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。

2011海淀一模

. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F 25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=1

2

为BD中点.

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF kEF

=，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．

求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

2010海淀一模

25.已知：AOB

△中，2

AB OB

==，COD

△中，3

CD OC

==,ABO DCO

=

∠∠. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

图1 图2

(1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且60

ABO=o

∠，则PMN

△的形状是

________________，此时AD

BC

=________；

(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且2

ABOα

=

∠，证明PMN BAO

△∽△，并计算AD BC

的值（用含α的式子表示）；

(3) 在图2中，固定AOB

△，将COD

△绕点O旋转，直接写出PM的最大值.

28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

（3）与圆相关

2014燕山

24.如图1，已知ABC

∆是等腰直角三角形，︒

=

∠90

BAC,点D是BC

的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接

AE，BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是；

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转)

360

0(︒

≤

<

︒α

α，

①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值． 2013昌平一模

24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；

（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．

2015房山一模

28．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .

(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；

(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点

C ′.

①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；

②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？

ABC 是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ，点D 是BC 的中点．作正方形

分别在DG 和DE

上，连接BG AE,． BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于︒0，小于或等于

360°），如图2-25，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

（3）若2DE B C ==，在2-25的旋转过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值． 11．以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO =∠DCO =30°． （1）点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM ． ①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FM EM

=_______；

②如图2，将图1中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角（060α<

的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （2）如图3，若BO =，点N 在线段OD 上，且NO =2.点P 是线段AB 上的一个动点，

图1

图2 图3

A

C

B F D E G 图25-1 A

C

B F

D E

G

图25-2