人教版第十一章三角形导学案

第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
学习目标：
1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类；
2、能利用三角形三边关系进行有关计算。

新课导学：
一、三角形的有关概念——阅读课本第1至3页，回答以下问题：
（1）三角形概念：由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形。

（2）三角形的表示法（如图1）三角形ABC可表示为：；
（3）ΔABC的顶点分别为A、、；
（3）ΔABC的内角分别为∠ABC，，；
（4）ΔABC的三条边分别为AB，，；或a，、；
（5）顶点A的对边是，顶点B的对边分别是，顶点C的对边分别是。

二、三角形的分类：
（1）下图中，每个三角形的内角各有什么特点？
（2）下图中，每个三角形的三边各有什么特点？
（3）结合以上图形你认为三角形可以如何分类？试一试
①按角分类：
②按边分类：
（4）在等腰三角形中，叫做腰，另外一边叫做，两腰的夹角叫做，叫做底角。

（5）等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰的等腰三角形。

三、三角形的三边关系
第1题
问题1：如图，现有三块地，问从A 地到B 地有几种走法，哪一种走法的距离最近？请将你的设计方案填写在下表中：
（3）阅读课本第3页，填写：三角形两边的和 （4）用式子表示：BC + AC AB （填上“> ”或“ < ” ） ① BC + AB AC （填上“> ”或“ < ” ） ②
AB + AC BC （填上“> ”或“ < ” ） ③
四、例题：用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ 解：设底边长为xcm ，则腰长是 cm 因为三角形的周长为 cm
所以： 所以x= cm
答：三角形的三边分别是 、 、 课堂练习：
1．①图中有 个三角形，分别为
②△ABC 的三个顶点是 、 、 ； 三个内角是 、 、 ； 三条边是 、 、 ；
2、如图中有 个三角形，用符号表示 3．判断下列线段能否组成三角形：
①4，5，6 （ ）②1，2，3 （ ） ③2，2，6 （ ）④8，8，2 （ ）
4、等腰三角形一腰长为6，底边长为7，则另一腰为 ，周长为 。

5、等腰三角形一边长为6，一边长为7
，则第三边是 ，周长为 。

6、等腰三角形周长为10，一边长为6，求另两边长；
B 地
A 地
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
学习目标：
正确理解三角形的中线、角平分线、高；
利用它们的性质解简单几何计算题。

课前知识：
如右图，顶点A的对边是，
顶点B、C的对边分别是、。

∠BAC的对边是，
∠ABC，∠BCA的对边分别是、。

新课导学：
1、阅读课本第4页至第5页，了解什么是三角形的高线、中线、角平分线；
2、请在下图中分别画出三角形的高AD、中线AE、角平分线AF；
3、几何语言表示三角形的高、中线、解平分线；
（1）三角形的中线（如图一）：
∵CF是AB上的中线
∴①AF = =
2
1
②AB=2 =2
（2）三角形的角平分线（如图二）：
∵BE是ΔABC中∠ABC的角平分线
∴①∠1=∠2= ∠ABC ②∠ABC=2∠ =2∠
（3）三角形的高线（如图三）：
∵AD为ΔABC中BC边上的高，
∴①⊥②∠ =∠ =90°
四．巩固练习：
1、按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线
A
画三角形的中线AE
过点A作三角形的高AD
A
画角平分线
AF
C E F
画中线AD 画DF边上的高EM 画∠HGN的角平分线GK
图2
图
1
2、如图1：∠BAC=60°，AD 是三角形ABC 的角平分线，则∠BAD= °，∠CAD= °；
3、如图2，AD 为ΔABC 中BC 边上的高，∠B=35°，∠C=45°，则∠BDA= °
∠BAD= °，∠CAD= °。

4、如图3，ΔABC 的周长为20，AB=6，AC=8，AD 是BC 边上的中线，则BC= ，
BD= ，CD= 。

5、如图，在ΔABC 中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD 是ΔABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数。

6、∠B=30°，∠C=70°， AD 、AE 分别为BC 边上的角平分线、高。

求∠DAE 的度数。

(6)
(5)
(4)
(3)(2)
(1)
11.1.3 三角形的稳定性及复习
学习目标：
1、了解三角形的稳定性
2、复习三角形有关线段 新课导学：
阅读课本第6页至第7页回答下列问题
盖房子时，在窗框未安装好前，木工师傅常先在窗框上斜钉一根木条，为什么？
下列的图形中具有稳定性的是 （写编号）
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
学习目标：
（1）学会利用已学的相交线与平行线等相关性质证明三角形的内角和定理；
（2）初步了解什么是几何证明，并感受证明几何问题的基本结构和推导过程；
（3）基本学会利用三角形内角和定理解决生活中的实际问题。

新课导学：
试一试，下面的练习，你还会做吗？
如图1（1），已知：直线上有一点A，过点A作射线AM、AN；
1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于度。

2、若在AM上任取一点B，过点B作BC∥DE交AN于点C如图1（2），
则：（1）∠2等于度，根据：
（2）∠3等于度，根据：
（3）∠1+∠2+∠3等于度。

（三）问题：任剪一个三角形，按下列要求进行实验
（1）先剪下∠B和∠C（如图2），然后把它们与∠A
拼合在一起，就得到一个平角．有多少种不同的拼合
方法？请你把这些不同的方法分别拼出来；这个实验
说明什么？你会证明吗？
实验说明：
（2）在（1）中你觉得哪几种拼合的结果有助于发现证明三角形内角和等于180度思路？它们有什么共同的特点？
（四）证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180º；
已知：如图3，三角形ABC
求证：∠A+∠B+∠C=证明：（方法一）
图2
（五）巩固练习
比一比，看谁最快求出下列各图形中，∠1、∠2或∠3的度数；
∠1= ∠2= ∠3=
（六）应用举例
如图3，C 岛在A 岛的北偏东50度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西40度方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？
（七）练习 1．求出下列图中x 的值: x=
x=
x=
x=
2、求下列图形中的∠1、∠2的度数：
（1） （2） （3）
AB ∥CD
∠1= º ∠1= º ∠1= º ∠2= º ∠2= º ∠2= º 3、如图，AD ⊥BC ，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC 的度数。

6、在三角形ABC 中∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求三角形ABC
的各内角的度数；
E
第5题
1
2
80︒
60︒
11.2.2 三角形的外角
学习目标：
1、知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的两条性质定理； 2．能用三角形外角的有关定理解答问题。

复习回顾：
1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于 。

2、如图, △ABC 中 ∠A+∠B+∠C=
3、如图，在△ABC 中若∠A=60°，∠B=35°，则∠ACB= °，∠ACD= °； 新课导入：
（一）认识三角形的外角，阅读课本第14页，了解什么是三角形的外角，并回答下列问题： 1、如图，△ABC 的一个外角是 ； 2、如图，若∠C=50°，∠B=28°，则∠BAC= °∠DAB= ° （二）三角形外角的性质定理：
1、如图，△ABC 的一个外角是 ，和它不相邻的内角
是 ， 。

2、猜想：∠BAD 和∠B 、∠C 之间的关系是 。

证明：
归纳：①三角形的一个外角等于 ； ②三角形的一个外角大于一个 。

几何语言： ∠1=∠ +∠ ；
∠ABE= + ； ∠1 >∠ ； ∠1 >∠ ；
（三）三角形的外角和——每一个三角形的内角相应地取其中一个外角相加的结果；
思考：如图，∠1+∠2+∠3= °（你能证明得到的结论吗？） 证明：
归纳：三角形的外角和等于 ° 三、巩固练习： 计算：
∴∠1= ∴∠2= ° ∴∠3= °
∴∠4= ° ∴∠5= ° ∴∠6= °
2、如图，CE ∥AB
∴∠2= ° ∴∠CDE= °，∠E= ° 3、右图：△ACD 的外角是 。

4、下列说法正确的是（ ）
A ．三角形的一个外角大于它的一个内角；
B ．三角形的一个外角等于它的两个内角；
C ．三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和；
D ．以上答案都不对。

5、填空：
（1）一个三角形最多有 个直角，一个三角形最多有 个钝角；
（2）一个三角形的三个外角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角。

5、如右图：D 是△ABC 中BC 边上的一点，∠B=∠BAD ，∠ADC=80°， ∠BAC=70°，求：∠B ，∠C 的度数。

7、如图，AB ∥CD ，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和∠2；
8、如图AB ∥CD ，∠A=45°，∠C =∠E ，求∠C ；
11.3 多边形的内角和与外角和
一、学习目标：
了解多边形外角，并能简单识别掌握多边形内角和定理、外角和公式的推导方法能灵活运用定理和公式进行计算解决问题。

二、教学过程：
环节一、复习回顾，如图，填空：
（1）∠1＋∠2＋∠3＝；
（2）∠4＋∠5＋∠6＝；
（3）∠4＝∠＋∠；∠5＝＋；
（4）∠6 > ∠；∠6 > ∠
环节二、学习多边形的有关概念,阅读课本第79至80页，回答：
1、由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做。

2、如果一个多边形由n条线段组成，你们这个多边形就叫做n边形，填空：
边形边形边形
3、阅读课本，了解凸多边形的概念，并判断下列图形是凸多边形有；
4、连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的。

5、如图，请画出下列多边形中的A点与其他顶点的对角线，并回答问题：
四边形被对角线分成个三角形
五边形被对角线分成个三角形
6、各角都，各边都的多边形叫正多边形
正边形正边形正边形正边形
环节三、新课探索：
（一）多边形的内角和：
1、回忆：三角形的内角和等于度；
2、问题：四边形的内角和又会是多少？
即：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝ 。

你会利用所学知识说明以上结论？
3、探索规律：（仿照以上问题中做对角线的方法进行研究） 图形
n 边形的内角和= 。

（二）问题：多边形的外角和是多少？ 1、试一试： 如图：∵∠4+∠5+∠6 = °
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = °
∴∠1+∠2+∠3 = °
∴三角形的外角和为 °
（2）如图：∵∠5+∠6 +∠7+∠8 = °
且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8 = ° ∴∠1+∠2+∠3 +∠4= ° ∴四边形的外角和为 °
（3）如图：∵∠6 +∠7+∠8+∠9+∠10 = °
且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10= ° ∴∠1+∠2+∠3 +∠4+∠5 = ° ∴五边形的外角和为 ° 2、归纳：任意多边形的外角和都为 ° 环节四、课堂练习
1、求出下列图中x的值：
x= x= x= x= 2、求八边形的内角和的度数与外角和度数。

解：由内角和公式，得(2)180(2)180 n-⨯=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽-⨯=
由外角和公式，得八边形外角和是。

答：八边形的内角和是，外角和是。

3、n边形的外角和等于度；若一个n边形的每个外角都为72°，那么这个多边形的边数n
为。

4、一个多边形的内角和为1980°，求多边形的边数。

解：设这个多边形的边数是n，根据多边形内角和公式得
(2)180
n-⨯=，
解上述方程得：
答：这个多边形的边数是；
5、命题：如果一个四边边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补
已知：如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠C=180°；
求证：∠B+∠D =180°
证明：
11.3 多边形的内角和与外角和
一、学习目标：
熟练掌握多边形的相关概念，并能运用定理以及公式解决问题。

二、学习过程
环节一、知识点回顾：
1、多边形的内角和是。

2、多边形的外角和是。

环节二：练习 A组
（一）填空
1、从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，
它们将五边形分成个三角形。

2、八边形的内角和是，外角和是；
如果八边形的各个内角都相等，那么它的每一个内角都等于。

3、十边形的内角和为，外角和为；
正十边形的每个内角为，每个外角为。

4、n边形的外角和等于度；若一个n边形的每个外角都为24°，那么边数n为。

5、填表：
6、边形的内角和与外角和相等；
7、（1）一个多边形的内角和是外角和的一半，求这个多边形的边数。

（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数。

解：（1）设这个多边形的边数为n，则（2）设这个多边形的边数为n，则
8、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；
求证：AB∥CD，BC∥AD；
B 组
1、如图BC ⊥CD ，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6. （1）CO 是△BCD 的高吗？为什么？ （2）∠5的度数是多少？
（3）求四边形ABCD 各内角的度数。

2、如图，五边形ABCDE 的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求x 的值。

3、如图，正六边形ABCDEF 中，∠DAB ＝60º。

试判断
AB 与DE 有什么关系？BC 与EF 有什么关系？
活动三角形镶嵌——用正多边形拼地砖
一、学习目标：
明确什么样的正多边形可以拼地板。

明确用多种正多边形拼地板的理论依据。

二、新课探索：
环节一、用相同的正多边形拼地板：
1、用相同的正三角形拼地板（如右图）
∵正三角形的每一个内角为____°，
即∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=____°
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=__ __°
2、用相同的正四边形拼地板（如右图）
∵正四边形的每一个内角为____°
即∠1=∠2=∠3=∠4=____°
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=__ __°
3、用相同的正六边形拼地板（如右图）
∵正六边形的每一个内角为____°，
即∠1=∠2=∠3=____°
∴∠1＋∠2＋∠3=_ ___°
结论：使用给定的某种正多边形拼地板时，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个角时，就可拼成一个平面图形。

思考：
1、任意剪出一些形状和大小相同的三角形纸板，拼一拼，是否可以拼成一个平面图形？答：。

2、任意剪出一些形状和大小相同的四边形纸板，拼一拼，是否可以拼成一个平面图形？答：。

环节二、用多种正多边形拼地板：
1、用正六边形和正三角形拼：
如图，正六边形的每一个内角为_ __°，
正三角形的每一个内角为_ ___°，
即∠1=∠3=_ _°；∠2=∠4=_ ___°
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=___ _°
小结：用正六边形和正三角形拼地板时，在一个顶点周围有__ _个正三角形的角和______个正六边形的角。

2、用正方形和正三角形拼：
如图，正方形的每一个内角为°，
正三角形的每一个内角为_ _°，
即∠1=∠4=∠5=____°；∠2=∠3=____°
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4+∠5=____°
小结：用正方形和正三角形拼地板时，在一个顶点周围有_____个正方形的角和______个
正三角形的角。

结论：
使用给定的几种正多边形拼地板时，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个角时，就可拼成一个平面图形。

三、课堂练习： A组
1．某人到瓷砖店购买一种正多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以（）。

A、正三角形
B、正四边形
C、正六边形
D、正八边形
2．下列正多边形中，能够铺满地面的_________________________
①正方形②正五边形③正六边形④正八边形
3．下列正多边形的组合中，能铺满地面的是____________________
①正八边形和正方形②正五边形和正八边形
③正六边形和正三角形④正三角形和正四边形
能用一种正多边形拼成平面图形有：______、______、______。

用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律，拼成若干个图案：
…
第1个第2个第3个
（1）第4个图案中有白色地砖_ ___块；
（2）第n个图案中有白色地砖__ _块。

7. 只用正五边形能正好铺满地面吗?只用正八边形能吗? 请说明理由。

B 组
1.用正方形和正八边形作平面镶嵌：
∵正方形一个内角的度数是______ ，正八边形的一个内角的度数是______，
而且____________＝360°
∴用正方形和正八边形组合能铺满地面，在一个顶点周围有_____个正方形的角
和______个正八边形的角。

2.用正三角形和正十二边形作平面镶嵌：
∵正三角形一个内角的度数是_____ ，正十二边形的一个内角的度数是______，
而且___________＝360°
∴用正三角形和正十二边形组合能铺满地面，在一个顶点周围有_____个正三角形的角
和______个正十二边形的角。

3. 用正三角形、正方形和正六边形作平面镶嵌时，在一个顶点周围有______个正三角形的角、______个正方
形的角和______个正六边形的角。

C 组
试画出用正三角形、正方形、正六边形铺满地面的图形。

（画草图表示）。