信息光学第1章1 103页

a

sin ca x
a
c. 回顾：记得在哪见过？
c′. 回顾：记得在哪见过？
还记得吗？sinc函数在线性光学里曾几度出现？ 上述的单缝、矩孔衍射条纹… 在本门课程中，sinc函数除了在上述场合出现外，还有 其他重要用途， 如它的极限形式，用来定义“狄拉克函数”；它 本身可作为插值函数，来填补不完全信息中的空白部分——往往 会使得丢失的信息竟然全部恢复。
b. 函数图形
c. 二维三角形函数表达式及图形
, a a a b
d.该函数在日后的学习中 将有重要的位置。目前仅 需需注意，该二维函数图 形的侧面并非平面。并非 所有过定点且垂直于xoy的 平面与之相截都能得到三 角形。
5. sinc函数
a. 表达式
b. 图形
x
x
sin
Mechanics》中正式引入δ(x)，并称它为‘奇异函数’或‘广义函数’。
δ(x)函数之所以被称为‘奇异函数’或‘广义函数’，原因 在于：
一、它不象经典函数那样存在确定的函数值，而是一种极限状 态，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是 收敛到无穷大；
二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别 的函数的作用只能通过积分来确定。
a.卷积运算的一些实例






实物
点扩散函数
像
可用matlab编程测试
b. 卷积运算法则
g ( x, y ) f ( , ) h ( x , y )fd(xd,y ) h ( x, y )

1.变量代换(x,y)→()
2.对模板函数进行翻转，并平移至(x,y)处（-∞≤x,y≤+∞）;
数学物理模型完全吻合。
δ函数三大性质（会理解（图像），会应用）
（1） 函数的筛选性质---采样完成
x,
0
0

由定义，经变量代换，可直接证明。
x0 , y0
（2） 函数采样性质（与普通函数的乘积性质）---采样准备
h ( x) ( x x0 ) h ( x0 ) ( x x0 )
注意：δ函数的图像，有幅值（是无穷大吗？）
小测试：请在一个坐标系里画出δ(x)，δ(x-5)， 2δ(x-5)的图像。
在本门课程中，δ(x)函数常常用来表示点光源的功率密 度，由于点光源所占面积趋近于零，所以在x=0点功率密度 趋近于无穷大。
？点光源模型中什么量是有限的呢？
？如果可以用δ (x)来建立模型的话，由数学公式看出积分 要是1，这代表什么物理意义？
rect
x y 1, rect
c.所代表的实物
沿x方向宽度为a， 沿 y方向无限长的狭缝。
,
沿x方向宽度为a， 沿y 方向宽度为b的 矩孔
d.对波前的操作：
矩形函数乘波前函数，意为在原有透射屏前放置一上 述狭缝或矩孔。
4. 三角形函数
a. 表达式
x a
2 J1 (r )
r
(1)
(2)
(3)
(4)
艾里斑：（1）（2），场函数；（3）（4）强度函数
8. 1函数
a.表达式
1( x) 1
b. 函数图形
1( x, y) 1
c. 函数所代表的实物
1( x, y) 1
该函数用来表示，沿z方向传播的振幅为1，且初相位为0的平 面波在xOy平面（一般设该平面为初始平面）内的复振幅。 同样，但凡看到直角坐标内xOy平面上有一复振幅为1的无限 大的波阵面，就可断定有一振幅为1的平面波在沿z轴正方向传 播着。 下面把问题深化一下。
（3） 函数的比例性质 (ax) 1 (x)
a
变量替换，利用定义1很容易证明
由此可以推出一个重要的性质：对称性
令a= -1
(x)(x)
从图像更容易理解对称 性。
比如：δ（x-2）是x=2 为对称轴。
• 例 1.4 已知连续函数f(x)，利用δ函数可筛选出函数在x=x0+b的值，试 写出数学运算式。
关于性质（2）的物理意义： 表示对函数h(x)在(x0)点进行了抽样准备，以待仪器记录。 这样的过程记作：
这并不抽象，比如：Sin(x)δ(x-0.5π)=? rect（x/5）δ(x-2)=? rect（x/5）δ(x-5)=?
一个澄清：对于抽样过程的误区。初学者往往有这样的疑问： 函数f(x),对其在x0点处进行抽样，其表达式应为f(x0) 。为何 书上却表达为f(x0)(x-x0)呢？
5 二维函数δ函数 *1、直角坐标系的情况
二维δ函数表示为δ(x, y)，它是位于xy平面坐标原 点处的一个单位脉冲。 二维δ函数是可分离变量函数，即有：
δ(x, y)= δ(x)·δ(y)
二维δ函数的性质以及其证明过程与一维δ函数的 情形相同。
*2、极坐标系的情况
δ(x，y) → δ(r，θ) ，必须要保证：
3.重叠，并计算重叠面积。 过程复杂，要用物理意义帮助理解；
例1.9 已知函数
线性系统的数据处理过程都是卷积过 程（光学成像，通信系统，电路系统）
f(
x)

2 x,
3
0x3
0, others
以及 h (
x)
1,
1 x 3
0, others
计算 f ( x ) h ( x ) 并做图。

y
2

0, others
r0
b. 函数图形
c.所代表的光学元件实物——圆形光阑
一般，成像系统的光阑均为圆孔状，这使 得圆域函数及其相关的弗朗禾费衍射图样 在光学理论中起到非常重要的作用。如“艾 里斑”，就是圆孔的衍射图样。表达“艾里 斑”所对应的光场为：
2 J1 (r )
r
c.圆形孔径的衍射场
a. 表达式

b.函数图像
c.所代表的光学元件实物——相位突变板
d. 操作： 该函数与某物体的孔径函数相乘，表示总的透射物体相当于在 原透射物体的基础上，一半保持原样，另一半相位发生一个π 的突变。 e.对于x=0处，函数值为0的说明： 同样为避免数学上的纷争。
3. 矩形函数
a. 表达式
b. 函数图像
Dirac δ函数的引入及性质
M
M
一个多世纪前物理
学家的困惑，经典
Q
函数无能为力
Q
激光脉冲及
I
ຫໍສະໝຸດ Baidu
其它小光源
早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质 点、点电荷、点光源及又窄又强的电脉冲等一类物理量，当时用于描述这 种物理量的数学符号被称之为‘冲击脉冲符号’。 1947 年 ， 英 国 物 理 学 家 P.A.M.Dirac 在 他 的 著 作 《Principle of Quantum
1 Dirac δ 函数的定义
对于自变量为一维的δ函数-——δ(x)来说，它满足
下列条件：

(x)

0， x


，
x

0 0
(1)

( x )dx 1
这表明，δ(x)函数在x≠0点处处为零，在x=0点出现无穷
大极值，x=0点又称为奇异点。
但是，尽管δ(0)趋近于无穷大，对它的积分却等于1， 即对应着δ函数的‘面积’或‘强度’等于1，所以δ(x) 又叫做单位脉冲函数。
e
a

b
a b
c.所代表的光学实物 高斯光束的横截面的强度分布即为二维高斯函数。强度具有这 种横截面分布的光场，其弗朗禾费衍射场，也为二维高斯函数。
d：高斯函数积分：
7.圆域函数
a.表达式
circ

x2 r0
y
2

1,
x2
函数的上述两个性质，在头脑中要形成明晰的物理图像。以 至于看到相应的表达式，就要呈现出相应的物理情景；看到相 关的物理图像，要马上能够写出相应的数学表达式。
（3） 函数的比例性质
( ax )
1 a

(
x)
（2） 函数采样性质（与普通函数的乘积性质）
h ( x) ( x x0 ) h ( x0 ) ( x x0)
的极限形式。比如，高斯函数，sinc函数，rect函数
练习：
正向理解：间距为t的脉冲函数可用变 形的梳状函数描述。
1. 请画出comb（2x）图像。
反向理解：变形的梳状函数图像是幅 值改变的一系列脉冲函数。
解： comb(x)(xn)
对应的τ=0.5，因此是采样周期为0.5的一系列脉冲函数，幅值为τ。
1)、脉冲位置相同；
2)、二者强度(即曲面下‘体积’)相同。
只有这样，坐标变换才是等价的。
• 总结： • 1）δ函数是广义函数，没有具体的值，其作用体现在检验函数f的抽样
上，可以用来完美的表达物理上的抽样过程。 • 2）δ函数是有幅值的，幅值是函数的积分值(不是函数本身在这一点的
值)，表示的光源的能量，电荷的总电量、质点的质量等等。 • 3）有三大性质，筛选、抽样、比例。 • 4）δ函数既可以求导也可以微分，因为它可以表示为连续可导可微函数
Sinc函数作为插值函数，尽可能恢复信号被抽样前的信息。需要 说明的是，若被抽样信号是“带限函数”，则采用Sinc函数作为插 值函数时，原有信息可“无损恢复”。
6.高斯函数
a.表达式
b. 函数图形
c. 二维高斯函数表达式及图形
x 2 y 2
x Gaus ,
y


若，是强度值，则积分后是能量，能量为零，显然不符合事实。 若，是能量值，则能量对面积后应该是强度，按此定义，强度将出现无穷大， 有奇点，无法运算。
因此可以看出脉冲函数的好处，既可以微分也可以积分，既解决了数学建模的难 题，又与物理事实相一致。
脉冲函数的定义是把数学和物理紧密联系在了一起，堪称完美。人们甚至在还 没有搞清楚这个函数的很多性质的情况下就迫不及待的开始运用它了。
信息光学
傅里叶光学，或称信息光学， 采用傅里叶分析 和线性系统理论分析光波的传播、衍射、成像等 现象。是光学与通信理论和信息理论（主要指微 波）相结合而产生的现代光学的一个新分支。其 核心就是傅里叶变换（频谱理论）。
2)参考书目
信息光学，苏显渝，科学出版社（第二版）
信息光学，王仕璠，北京邮电大学出版社
2. 写出时间采样频率为1Khz的脉冲信号表达式，并画出图像。
解：f=1Khz，采样周期（间距）τ为1ms=0.001s。 1 c o m b ( t )


描述了幅值为1，间距为1ms的一系列脉冲函数
1.3 卷积
1. 卷积的定义
两个复值函数f(x,y)与h(x,y)的卷积定义为：
g ( x, y ) f ( , ) h ( x , y ) fd( xd,y ) h ( x, y )

上面例题1.8里面的积分表达式为：
模板函数

与卷积的定义式略有差别，但在实偶函数的情况下，本质完全相同。 因此，可由例题1.8对卷积运算产生一些感性上的识，如：
1.卷积是对原函数在时域、或空域按某种规则进行积累； 2.卷积运算后图形与卷积前相似； 3.卷积后，原函数的图像会变得比较模糊… 4.卷积后，定义域会加宽….
Goodman JW. （顾德门），傅里叶光学导论[ M ] . 北京: 科学出版社, 1975. 网上有电子版
第一章 傅里叶分析
——不规则就是无数规则的加权和
1.1 一些常用的函数
• 本次课介绍8个函数
1. 1函数 2. 阶跃函数 3. 符号函数 4. 矩形函数 5. 三角函数 6. Sinc函数 7. 高斯函数 8. 圆域函数
数学运算复杂，可借助数学工具
Matlab 熟悉过程，理解物理意义为主
matlab演示一些函数的卷积 物理：不同的宽度的狭缝对同一三角形的成像特性分析 数学：三角函数和矩形函数的卷积（用成像的过程来理解） 结果：借助数学工具 核心：会利用基本理论来解释得到的仿真结果
答复：抽样过程在物理上，是以积分的方式实现的。 x0点处的信号在被仪器 记录前表达为f(x0)δ(x-x0)，恰恰是为确保该点信号被仪器记录为f(x0)。过程为：

f ( x0 ) ( x x0 )dx f ( x0 )

f(x0)δ(x-x0)所表达的抽样，意为“被抽样前的准备”，切不可用f(x0)来描述。
1. 阶跃函数
a. 表达式
b. 函数图像
c.所代表的光学元件实物——半遮挡屏
d. 操作： 该函数与某孔径函数相乘，表示总的透射物体相当于在 原透射物体的基础上，遮挡住一半。 e.对于x=0处，函数值为0.5无特别意义，
仅为避免数学上的纷争，该点值也可以取1或0。 （电路分析中电流电压的突变）
2. 符号函数