第八章 玻色统计和费米统计
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h l _ d _ d
D ( )d g dxdydz
V
,
p 2 dpdd 4p 2 dp 8V 2 d 2V 3 3 h h c 3h3
V 2 3 2 d D ( )d c
二、辐射场的热力学函数
3 2
3、状态数：
D( )d
极端相对论情形
4V (2m) 3 / 2 1/ 2 d h3 4V D( ) d 3 3 2 d h c
4、平衡条件：
1/ 2 4 d 3/ 2 •粒子数： N ( 2 m) ( ) 3 0 e h 1 3/ 2 4 d 3/ 2 •内能： U 3 (2m) ( ) 0 e h 1 二、基态（T=0） f 1 1、分布函数 f s ( s ) e 1
从非简并条件判别式（e ）的数量级出发 1）非简并情形：e1，取零级近似可得M-B统计的结果； 2）强简并情形：直接求积分解决 3）一级近似： e1，弱减并情形，对N取零级近似而 对U取一级近似，可算得关联能 2、零级近似
1/ 2 3 3 1 2V 2V N g 3 (2m) 2 e e 2 d g 3 (2m) 2 e 0 h h 2 3/ 2 V 2mkT 3 2 3 e ( ) g , U 0 NkT N h2 2
内能：
2 1 m h U 4V ( ) 2 d ct cl 0 e h 1
热容量：
T 3 m x 4 e x dx CV 3Nk 3( ) D 0 (e x 1) 2
T kT ( ) D h m
高温极限——杜隆-柏替定律； 低温极限——温度三次方定律 D是德拜温度——固体材料的特征温度（对照前面爱因 斯坦温度理解）
2 l D( )d 3 (2m)3 / 2 1/ 2 d h
1/ 2 2 d 意味着忽略了基态粒子数n0： n n 3 (2m)3 / 2 0 ( ) h e 1
在常温下
n n n0 0
1/ 2 2 d 3/ 2 n 3 (2m) ( ) 0 e h 1
§8.5 金属中的自由电子气体
一、模型
1、作用力的近似处理 • 离子晶格作用：形成平均势场，约束电子在晶体内； • 电子间的排斥力：碰撞 2、模型：在平均势场中自由运动的理想费米气体 • 能量：p2/2m； • 热波长：铜，300K，原子量63，密度8.9 h2 3 n n( ) 3400 1 高度简并 2m kT
Energy Density
Black Body Radiation
4.5E+18 4E+18 3.5E+18 3E+18 2.5E+18 2E+18 1.5E+18 1E+18 5E+17 0 0 1 2 3 4 5 Photon Energy (eV)
5000 6000 7000
3、巨配分函数
0 (0) f s 1 (0)
T 0
1
（0）
2、化学势（费米能级、费米面）（（0）=F） F 4V 2 N (2m) 3 / 2 1/ 2 d F (3 2 n) 2 / 3 0 h3 2m F给出绝对零度时金属中自由电子的最大动能 3、费米动量
1、普朗克公式与内能
D( )d dU U ( , T )d dN e 1
1 u ( , T )d 2 3 d c e 1
3
u (T )
0
1 k 4 4 d T aT 2 3 3 3 c e 1 15c h
四、晶格热振动与与固体热容量
1、解决问题的思路： 晶格热振动的传播形成固体中的弹性驻波，驻波能量 量子化——不同频率、不同运动方向的声子集合—— 混合理想玻色气体的统计问题 2、声子的特点： •频率为的弹性驻波对应两组横声子和一组纵声子，波速分别 以ct和cl表征： =h； l=clp； t=ctp •声子频率范围: 0 < ≤m ; 频率总数: 3N个 3、椐此，可用与前面完全相似的方法求得晶格热振动的 内能与热容量。
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
一、模型： 非定域系统、只考虑平动、自旋状态数为g （粒子的 内部运动）、不失一般性可考虑非相对论粒子。 1、态密度：由第六章习题有
2、粒子数与内能
N U
2V D( )d g 3 (2m) 3 / 2 d h
0
D ( ) d 2V g 3 ( 2m) e 1 h
U
l
e ( l ) / kT
l l
T 2V d 3/ 2 3 (2m) / kT 0.770 NkT . T 0 e 1 1 h c 3/ 2
3/ 2
2、热容量：
T U CV 1.925 Nk . T T V c
n
T<TC时，仍然要有-0，积分的结果将明显小于n，
此时必须考虑n0的贡献：n= n0 +n>
n 2 d 2 x dx (2m)3 / 2 3 (2m kT)3 / 2 x 0 0 e 1 h3 e kT 1 h
1/ 2 1/ 2
n n( TTC )3 / 2
l (1 e l ) l , l (1 e l ) l
l l l
ln l ln(1 e l )
二、热力学量
• 粒子数：
N ln
• 内能：
U ln
3、一级近似
n h2 n3 U U 0 [1 ( )3 / 2 ] U 0 [1 ] 4 2 g 2m kT 4 2g
• 关联效应：修正项给出弱简并气体的关联能。 关联——粒子间的相互作用 量子关联——由于量子力学规律引起的相互 作用效果（量子效用） • 量子关联的性质： 起源：全同性原理和泡利原理 影响：对F-D气体，关联能为正，排斥作用； 对B-E气体，关联能为负，吸引作用。 •热波长：与粒子热运动动能为kT对应的德布罗意波长：
2、临界温度： n是常数，因此的绝对值随T的降低而变小， 设-0时的T=TC 1/ 2 1/ 2 d x dx 2 2 3/ 2 3/ 2 2 2 2/3
n h
3
(2m)
0
e 1
kTC
h
3
(2mkT ) C
0
e x 1
TC
(2.612) 2 / 3 m k
ln l ln 1 e
l
l
0
8V 16 5V ln 1 e 2 d . 3 3 3 3 3 hc 90 h c
4、光压
1 1 p ln u V 3
4U 4 3 S k ln ln 3 T 3 aT .
1 n0/ n T/Tc 1
3、B-E凝聚：
n0 (T ) n[1 ( TTC )3 / 2 ]
上述结果表明，当T<TC时， n0与n同数量级 当温度低于临界温度时，有宏观数量级的粒 子数在能级=0凝聚的现象，称为B-E凝聚。
二、 B-E凝聚态的性质
1、内能：在T<TC状态，系统内能来自所有n>的贡献：
CV
T
§8.4 光子气体
一、平衡辐射的粒子模型
1、模型：把电磁辐射看作具有不同的频率与波长光子的集合； 辐射场：粒子数可变的、极端相对论的混合理想玻色气体。 2、特点： •频率为的辐射：一种光子气体成分； •边界壁的发射与吸收：光子数不恒定， =0，化学势为零； •静止质量为零：=cp； •光的量子性：=h，p=h/；（ =2 ，k= 2/ ） 3、状态数：
3 2 4
2、维恩位移律
dU x, T 0. dx m xm 2.822. kT
m 2.822kT
xm
V 3 U , T 2 3 / kT c e 1 k 3T 3V x 3 U x, T 2 2 3 x . c e 1
第八章 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色-爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体 §8.6 白矮星 §8.7 二维电子气体与量子霍尔效应 • 课时安排：课内8学时，课外10学时 • 作业：教材p328-3332：习题8-2，8-3； 8-5； 8-8； 8-11； 8-14；8-16； 8-18；8-19。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、巨配分函数
1、分布函数
al e
l
l
1
,
N
l
e
l
l
1
,
E
l
e l 1
ຫໍສະໝຸດ Baidul l
• 讨论： 1）从数学形式上，这里与粒子数有关的参量无法分离； 2）从物理本质看，不是严格的近独立子系； ——解决办法：用开放系统表达式（以，，y为参量） 2、定义
5、熵
6、辐射通量（）
1 u ( , T )d 2 3 d c e 1
3
三、普朗克公式的讨论
1、在长波极限，过渡到经典统计结果（瑞利-金斯公式） 光的波动性起主要作用； 2、在短波极限，演变为维恩公式——光的粒子性突出（导 出维恩公式的关键假设就是把辐射场看作类似于经典理 想气体的系统）。 3、从波动角度看普朗克公式：电磁振动能量的量子化。
3/ 2
CV/NK
3/2
T/T0
•B-E凝聚是发生在动量空间的凝聚。 •B-E凝聚是一种连续相变。
1
三、液氦的相变
4He是典型的玻色子，计算给出
Tc= 3.1K
实际上在大约 2.17 K液氦发生相变： 在此温度以上为正常流体，在此温度 以下变为超流体，在转变点的性质非 常类似于 BEC.但因为存在分子间的 相互作用，所以不是理想玻色气体的 BEC。
h h h kT p 2m 2m kT
e
g n3
§8.3 玻色-爱因斯坦凝聚
一、理论分析
1、粒子数表达式 对所有l
al e
( l )
l
与温度的关系决定于：
n al / V
l
1
0, 0
计算时常将求和变为积分
4V 3 3 3/ 2 3/ 2 U 3 (2m) d N F ; F 0 h 5 5
pF
2m F (3 2 n)1/ 3
3
2
0
d e 1
2
1
D ( )d
e
0
2V g 3 ( 2m) 1 h
3
2
0
d e 1
2
3
二、计算与讨论：
1、被积函数的展开式
1 e e e (1 e e 2 2 ) 1 1 e
• 广义力：
Y 1 ln y
ln ln S k (ln ) • 粒子的化学势： U TS pV N • 巨热力势：
J 1 ln kT ln
• 熵：
• 用ln代替NlnZ以后，一切热力学公式的统计表达式不 变，但ln更普适：它可以适用于开放系统
D ( )d g dxdydz
V
,
p 2 dpdd 4p 2 dp 8V 2 d 2V 3 3 h h c 3h3
V 2 3 2 d D ( )d c
二、辐射场的热力学函数
3 2
3、状态数：
D( )d
极端相对论情形
4V (2m) 3 / 2 1/ 2 d h3 4V D( ) d 3 3 2 d h c
4、平衡条件：
1/ 2 4 d 3/ 2 •粒子数： N ( 2 m) ( ) 3 0 e h 1 3/ 2 4 d 3/ 2 •内能： U 3 (2m) ( ) 0 e h 1 二、基态（T=0） f 1 1、分布函数 f s ( s ) e 1
从非简并条件判别式（e ）的数量级出发 1）非简并情形：e1，取零级近似可得M-B统计的结果； 2）强简并情形：直接求积分解决 3）一级近似： e1，弱减并情形，对N取零级近似而 对U取一级近似，可算得关联能 2、零级近似
1/ 2 3 3 1 2V 2V N g 3 (2m) 2 e e 2 d g 3 (2m) 2 e 0 h h 2 3/ 2 V 2mkT 3 2 3 e ( ) g , U 0 NkT N h2 2
内能：
2 1 m h U 4V ( ) 2 d ct cl 0 e h 1
热容量：
T 3 m x 4 e x dx CV 3Nk 3( ) D 0 (e x 1) 2
T kT ( ) D h m
高温极限——杜隆-柏替定律； 低温极限——温度三次方定律 D是德拜温度——固体材料的特征温度（对照前面爱因 斯坦温度理解）
2 l D( )d 3 (2m)3 / 2 1/ 2 d h
1/ 2 2 d 意味着忽略了基态粒子数n0： n n 3 (2m)3 / 2 0 ( ) h e 1
在常温下
n n n0 0
1/ 2 2 d 3/ 2 n 3 (2m) ( ) 0 e h 1
§8.5 金属中的自由电子气体
一、模型
1、作用力的近似处理 • 离子晶格作用：形成平均势场，约束电子在晶体内； • 电子间的排斥力：碰撞 2、模型：在平均势场中自由运动的理想费米气体 • 能量：p2/2m； • 热波长：铜，300K，原子量63，密度8.9 h2 3 n n( ) 3400 1 高度简并 2m kT
Energy Density
Black Body Radiation
4.5E+18 4E+18 3.5E+18 3E+18 2.5E+18 2E+18 1.5E+18 1E+18 5E+17 0 0 1 2 3 4 5 Photon Energy (eV)
5000 6000 7000
3、巨配分函数
0 (0) f s 1 (0)
T 0
1
（0）
2、化学势（费米能级、费米面）（（0）=F） F 4V 2 N (2m) 3 / 2 1/ 2 d F (3 2 n) 2 / 3 0 h3 2m F给出绝对零度时金属中自由电子的最大动能 3、费米动量
1、普朗克公式与内能
D( )d dU U ( , T )d dN e 1
1 u ( , T )d 2 3 d c e 1
3
u (T )
0
1 k 4 4 d T aT 2 3 3 3 c e 1 15c h
四、晶格热振动与与固体热容量
1、解决问题的思路： 晶格热振动的传播形成固体中的弹性驻波，驻波能量 量子化——不同频率、不同运动方向的声子集合—— 混合理想玻色气体的统计问题 2、声子的特点： •频率为的弹性驻波对应两组横声子和一组纵声子，波速分别 以ct和cl表征： =h； l=clp； t=ctp •声子频率范围: 0 < ≤m ; 频率总数: 3N个 3、椐此，可用与前面完全相似的方法求得晶格热振动的 内能与热容量。
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
一、模型： 非定域系统、只考虑平动、自旋状态数为g （粒子的 内部运动）、不失一般性可考虑非相对论粒子。 1、态密度：由第六章习题有
2、粒子数与内能
N U
2V D( )d g 3 (2m) 3 / 2 d h
0
D ( ) d 2V g 3 ( 2m) e 1 h
U
l
e ( l ) / kT
l l
T 2V d 3/ 2 3 (2m) / kT 0.770 NkT . T 0 e 1 1 h c 3/ 2
3/ 2
2、热容量：
T U CV 1.925 Nk . T T V c
n
T<TC时，仍然要有-0，积分的结果将明显小于n，
此时必须考虑n0的贡献：n= n0 +n>
n 2 d 2 x dx (2m)3 / 2 3 (2m kT)3 / 2 x 0 0 e 1 h3 e kT 1 h
1/ 2 1/ 2
n n( TTC )3 / 2
l (1 e l ) l , l (1 e l ) l
l l l
ln l ln(1 e l )
二、热力学量
• 粒子数：
N ln
• 内能：
U ln
3、一级近似
n h2 n3 U U 0 [1 ( )3 / 2 ] U 0 [1 ] 4 2 g 2m kT 4 2g
• 关联效应：修正项给出弱简并气体的关联能。 关联——粒子间的相互作用 量子关联——由于量子力学规律引起的相互 作用效果（量子效用） • 量子关联的性质： 起源：全同性原理和泡利原理 影响：对F-D气体，关联能为正，排斥作用； 对B-E气体，关联能为负，吸引作用。 •热波长：与粒子热运动动能为kT对应的德布罗意波长：
2、临界温度： n是常数，因此的绝对值随T的降低而变小， 设-0时的T=TC 1/ 2 1/ 2 d x dx 2 2 3/ 2 3/ 2 2 2 2/3
n h
3
(2m)
0
e 1
kTC
h
3
(2mkT ) C
0
e x 1
TC
(2.612) 2 / 3 m k
ln l ln 1 e
l
l
0
8V 16 5V ln 1 e 2 d . 3 3 3 3 3 hc 90 h c
4、光压
1 1 p ln u V 3
4U 4 3 S k ln ln 3 T 3 aT .
1 n0/ n T/Tc 1
3、B-E凝聚：
n0 (T ) n[1 ( TTC )3 / 2 ]
上述结果表明，当T<TC时， n0与n同数量级 当温度低于临界温度时，有宏观数量级的粒 子数在能级=0凝聚的现象，称为B-E凝聚。
二、 B-E凝聚态的性质
1、内能：在T<TC状态，系统内能来自所有n>的贡献：
CV
T
§8.4 光子气体
一、平衡辐射的粒子模型
1、模型：把电磁辐射看作具有不同的频率与波长光子的集合； 辐射场：粒子数可变的、极端相对论的混合理想玻色气体。 2、特点： •频率为的辐射：一种光子气体成分； •边界壁的发射与吸收：光子数不恒定， =0，化学势为零； •静止质量为零：=cp； •光的量子性：=h，p=h/；（ =2 ，k= 2/ ） 3、状态数：
3 2 4
2、维恩位移律
dU x, T 0. dx m xm 2.822. kT
m 2.822kT
xm
V 3 U , T 2 3 / kT c e 1 k 3T 3V x 3 U x, T 2 2 3 x . c e 1
第八章 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色-爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体 §8.6 白矮星 §8.7 二维电子气体与量子霍尔效应 • 课时安排：课内8学时，课外10学时 • 作业：教材p328-3332：习题8-2，8-3； 8-5； 8-8； 8-11； 8-14；8-16； 8-18；8-19。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、巨配分函数
1、分布函数
al e
l
l
1
,
N
l
e
l
l
1
,
E
l
e l 1
ຫໍສະໝຸດ Baidul l
• 讨论： 1）从数学形式上，这里与粒子数有关的参量无法分离； 2）从物理本质看，不是严格的近独立子系； ——解决办法：用开放系统表达式（以，，y为参量） 2、定义
5、熵
6、辐射通量（）
1 u ( , T )d 2 3 d c e 1
3
三、普朗克公式的讨论
1、在长波极限，过渡到经典统计结果（瑞利-金斯公式） 光的波动性起主要作用； 2、在短波极限，演变为维恩公式——光的粒子性突出（导 出维恩公式的关键假设就是把辐射场看作类似于经典理 想气体的系统）。 3、从波动角度看普朗克公式：电磁振动能量的量子化。
3/ 2
CV/NK
3/2
T/T0
•B-E凝聚是发生在动量空间的凝聚。 •B-E凝聚是一种连续相变。
1
三、液氦的相变
4He是典型的玻色子，计算给出
Tc= 3.1K
实际上在大约 2.17 K液氦发生相变： 在此温度以上为正常流体，在此温度 以下变为超流体，在转变点的性质非 常类似于 BEC.但因为存在分子间的 相互作用，所以不是理想玻色气体的 BEC。
h h h kT p 2m 2m kT
e
g n3
§8.3 玻色-爱因斯坦凝聚
一、理论分析
1、粒子数表达式 对所有l
al e
( l )
l
与温度的关系决定于：
n al / V
l
1
0, 0
计算时常将求和变为积分
4V 3 3 3/ 2 3/ 2 U 3 (2m) d N F ; F 0 h 5 5
pF
2m F (3 2 n)1/ 3
3
2
0
d e 1
2
1
D ( )d
e
0
2V g 3 ( 2m) 1 h
3
2
0
d e 1
2
3
二、计算与讨论：
1、被积函数的展开式
1 e e e (1 e e 2 2 ) 1 1 e
• 广义力：
Y 1 ln y
ln ln S k (ln ) • 粒子的化学势： U TS pV N • 巨热力势：
J 1 ln kT ln
• 熵：
• 用ln代替NlnZ以后，一切热力学公式的统计表达式不 变，但ln更普适：它可以适用于开放系统