《管理运筹学》第11章 图与网络模型企业经营管理推荐.ppt

v6
最终得到下图，可知，v1到v6的2距2 离3是0 532，3最短路31径有两条：
v1
v3
v6和 v1 v4
v6
41
59
22
30 41
23
设备一直使用到第j年年初。
把所有弧v的1 权数计算如下表： v2
v3
v4
v5
v6
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3
17
23
31
4
17
23
5
18
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§2 最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs到vt的距离
{(v , v ) | v I , v J } 为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点vs 而得到。如果vt
未标号i ，则j可以断言i 不存在从 vjs到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则
e2
(v1) e1
e3
e4
赵
(v2)钱 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
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§1 图与网络的基本概念
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用 两点之间的联线就很难刻画他们之间的关系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称 为弧。图11-3就是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的弧表示。
转下一步。 4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其值为最
小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号（scd,c）,返回步骤2。
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§2 最短路问题
例1 求下图中v1到v6的最短路
v2
3
v1
52
2
1
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 各点的标号图如下：
V7 （乙地）
17
v2
5
6
15
6 v4
都（用甲方V1地向）相解反10：的这两是条v一弧43 个3（求vi,无vj向）4 图和的（最vj短,v4路i）v的5代问替题，。就2可化以为把有无向向图v图，6 的即每可一用边Di（jkvsi,tvrja） 算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。只要在算法中把从已标
v3
v3
7
v6
v4 5
31
v5 4
v6 v5
（0V,1s)
(3,1) v2 3 52
2
1
(2,1) v3
7 (3,3)5 v4
3 5
(8,4) v6
1 v5
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§2 最短路问题
例2 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架设使 其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两地间公路的长度 （单位：公里）。
• 连通图：
图。
对无向图G，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则G为连通
• 回路：
若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
• 赋权图：
权图，wij称为对边一(个vi无,v向j)上图的G的权每。一条边(vi,vj)，相应地有一个数wij，则称图G为赋 • 网络：
在赋权的有向图D中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点，其 它点称为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就称为网络。
(v1) 赵
a1 a2
a3 a4
(v2)钱 a7
a8
a14
a15
a9 (v3)孙
(v4) 李
a5
(v5) 周
a6 a10
a12 a11
(v6)吴 a13
(v7)陈
图11-3
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§1 图与网络的基本概念
无向图：
由点和边构成的图，记作G=（V，E）。
• 有向图：
由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。
(v1)
e2
赵
(v3)孙
e1
e3
(v2)钱
(v5) 周
e4 (v4) 李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图11-1
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§1 图与网络的基本概念
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关系之间的内在规律，一般 情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系 并不是重要的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图11-2来表示，可见图论中 的图与几何图、工程图是不一样的。
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§2 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。 这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt的距离。
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法） 步骤： 1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
已知：设备每年年初的价格表
年份
1
2
3
4
5
年初设价备维格修费如下11表
11
12
12
13
使用年数 0-1
每年维修
5
费用
1-2
2-3
3-4
6
8
11
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§2 最短路问题
例3的解： 将问题转化为最短路问题，如下图： 用vi表示“第i年年初购进一台新设备”,弧（vi,vj）表示第i年年初购进的
第十一章 图与网络模型
§1 图与网络的基本概念 §2 最短路问题 §3 最小生成树问题 §4 最大流问题 §5 最小费用最大流问题
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§1 图与网络的基本概念
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表示，图11-1就是一个表 示这种关系的图。
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§2 最短路问题
例3 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要决 定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支付一定的购置费， 当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备，可以省去购置费，但维修费用 就高了。请设计一个五年之内的更新设备的计划，使得五年内购置费用和维修费用 总的支付费用最小。
号的点到未标号的点的弧的集合改成已标号的点到未标号的点的边的集合即可。
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§2 最短路问题
例2最终解得：
最短路径v1 v3
v5
v6 v7，每点的标号见下图
15
（0,s） V1
（甲地） 10
(13,3) v2 3
(10,1V)3
17
5 6
(18,5V)4 4
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2
4
V(514,3)
(22,6) V7 （乙地） 6 V(616,5)