第六章储能元件
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储能元件资料
1.电感元件： 电感元件磁链与电流成约束关系， 并且方向上符合右手螺旋关系。 ψ
Ψ
非线性 电感
O
i
N
f (Ψ , i ) 0
i
线性 电感
2.线性电感元件： 定义：磁链与电流成正比关系的电感元件。 即： Ψ =Li
磁链、电流符合 右手螺旋关系
ψ
i
N
L:电感[系数](inductance)。 基本单位：亨[利] (H )，另外有mH,μH 线性电感元件的韦安特性曲线。
1.电容元件：电容元件正极板上存储的电荷量q与极 板间电 压u 成代数关系。 （极板间电 压u 的方向：从正极板指向负极板）
C +q -q
+ q u t2
t1
u
f (u, q) 0
2.线性电容元件：
在每一时刻该元件的电压电荷之比为常数。 即： q=Cu C:电容[系数]， 单位：F(法拉)、μF、pF。 + +q
Ψ
O
i
Joseph Henry (1797-1878)，亨利
线性电感元件的韦安关系（关联参考方向）
i
L
+ u [1] 微分形式： 根据电磁感应定律:
d u d di L dt u dt dt Li
[2] 积分形式：
电感: 动态元件
(t ) u ( )d
-
1 2 WC (t ) Cu(t ) 2
讨论：
du (一 ) i C dt
+
i +q -q u
C
物理意义：电容电流与电压无关，而与电压的变化率 成正比； 当外加直流电压，则i=0。 “隔直作用” ——动态元件。
06章 储能元件
§6.2 电感元件
一、线圈的磁通和磁通链
φ L ,ψ L
B
i
+
u
-
如果u的参考方向与电流 如果 的参考方向与电流i 的参考方向一致 的参考方向与电流
dψL(t) u= dt
线性电感元件的自感磁通链与元件中电流有以下关系
ψL = Li
二、电感元件的特性方程
i L + u -
dψL(t) u= dt
di di di di u =u +u2 = L +L =(L +L ) = L 1 1 2 1 2 dt dt dt dt
其中
L = L +L 1 2
2. 两个电感并联，等效于一个电感，其等效电感的计算公 两个电感并联，等效于一个电感， 式推导如下： 式推导如下：
列出图(a)的 列出图 的KCL方程 方程
其中
1 1 1 = + C C C2 1
由此求得
CC C= 1 2 C +C 1 2
二、电感的串联和并联
1. 两个电感串联，等效于一个电感，其等效电感的计算公 两个电感串联，等效于一个电感， 式推导如下： 式推导如下：
列出图(a)的 方程， 列出图 的 KVL方程， 代入电感的电压电流关系 ， 得到 方程 代入电感的电压电流关系， 端口电压电流关系
i(t) =i1(t) +i2(t) 1 t 1 t =i1(t0) + ∫ u(ξ)dξ +i2(t0) + ∫ u(ξ)dξ L t0 L t0 1 2 1 t 1 t =i1(t0) +i2(t0) + ∫ u(ξ)dξ + ∫ u(ξ)dξ L t0 L t0 1 2 1 t =i(t0) + ∫ u(ξ)dξ L t0
《电路》第六章储能元件
与 N匝全部交链，则磁通链 Ψ =NΦ Φ ,Ψ —自感磁通,自感磁 通链(由自身电流产生,或用 Φ L ,Ψ L表示)单位:韦伯Wb
规定Φ L(Ψ L )与i的参考方向满足右螺旋关系。
当电感元件上电流的参考方向与磁通成右螺旋关系时,则任何 时刻线性电感元件的自感磁通链Ψ与流过的电流i 之间有以下 关系：
2. 线性定常电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。
~ i 特性是过原点的直线
(t) Li(t) or L tan
i
电路符号
i
L
Oi
单位
+
u (t)
-
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨) (Henry，亨利)，常用H，m H表示。
R2 R1 R2
US
例电路如图所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分 别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容 电压uC1(0＋),uC2(0＋) 。
解： 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个 电容电压必须相等，得到以下方程
uC1(0 ) uC2 (0 )
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围
变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的 情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏 电不能忽略，则需要用一个电阻与电容的并联作为它 的电路模型。
在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感 来构成电容器的电路模型.
线性电容的电压、电流关系 电容元件VCR
1.定义
电容元件
储存电能的元件。其
特性可用u～q 平面
上的一条曲线来描述
q
+
规定Φ L(Ψ L )与i的参考方向满足右螺旋关系。
当电感元件上电流的参考方向与磁通成右螺旋关系时,则任何 时刻线性电感元件的自感磁通链Ψ与流过的电流i 之间有以下 关系：
2. 线性定常电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。
~ i 特性是过原点的直线
(t) Li(t) or L tan
i
电路符号
i
L
Oi
单位
+
u (t)
-
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨) (Henry，亨利)，常用H，m H表示。
R2 R1 R2
US
例电路如图所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分 别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容 电压uC1(0＋),uC2(0＋) 。
解： 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个 电容电压必须相等，得到以下方程
uC1(0 ) uC2 (0 )
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围
变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的 情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏 电不能忽略，则需要用一个电阻与电容的并联作为它 的电路模型。
在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感 来构成电容器的电路模型.
线性电容的电压、电流关系 电容元件VCR
1.定义
电容元件
储存电能的元件。其
特性可用u～q 平面
上的一条曲线来描述
q
+
储能元件
wC (t )
t
0
p ( ) d w C ( 0 )
或
wC (t )
1 2
C u (t )
2
wC ( J )
0 .5
t
1 3 5 7 9
(m s)
§6.2 电感元件
电感的定义：电感是导线内通过交流电流时，在导线的内部及其周围 产生交变磁通，导线的磁通量与生产此磁通的电流之比。
i ( t ) i ( 0 ) 10 i ( t ) i (10
3
3
t
1 d 10 t A
3 3
0 t 1 ms 1 ms t 3 ms
3
0
) 10
3
t
3
0d 1 A
10
i ( t ) i ( 3 10
) 10
3
t
3
3 10
t
id
式中
1 C eq
1 C1
பைடு நூலகம்
1 C2
...
1 Cn
k 1
n
1 Ck
Ceq可称为n个电容串联的等效电容。
2、并联 n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同 一电压 u。
i
+
i
i1 i2
C2 Cn
in
+
u
-
C1
u
-
C eq
根据电容的伏安关系，有
i1 C 1
du dt
它的热效应与磁场效应,视为理想电容元件,简称 电容元件.
1、电容量C:单位电压所储存的电量，简称电容。 C 表明电容元件存储电荷的能力。 i +q -q C + u -
t
0
p ( ) d w C ( 0 )
或
wC (t )
1 2
C u (t )
2
wC ( J )
0 .5
t
1 3 5 7 9
(m s)
§6.2 电感元件
电感的定义：电感是导线内通过交流电流时，在导线的内部及其周围 产生交变磁通，导线的磁通量与生产此磁通的电流之比。
i ( t ) i ( 0 ) 10 i ( t ) i (10
3
3
t
1 d 10 t A
3 3
0 t 1 ms 1 ms t 3 ms
3
0
) 10
3
t
3
0d 1 A
10
i ( t ) i ( 3 10
) 10
3
t
3
3 10
t
id
式中
1 C eq
1 C1
பைடு நூலகம்
1 C2
...
1 Cn
k 1
n
1 Ck
Ceq可称为n个电容串联的等效电容。
2、并联 n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同 一电压 u。
i
+
i
i1 i2
C2 Cn
in
+
u
-
C1
u
-
C eq
根据电容的伏安关系，有
i1 C 1
du dt
它的热效应与磁场效应,视为理想电容元件,简称 电容元件.
1、电容量C:单位电压所储存的电量，简称电容。 C 表明电容元件存储电荷的能力。 i +q -q C + u -
第六章 储能元件 课件
i
+–
ue –+
i , 右螺旋 e , 右螺旋 u , e 一致 u , i 关联
由电磁感应定律与楞次定律
e L di dt
u e L di dt
iL +u –
u L di dt
i 1
t ud i(0) 1
t
ud
L
L0
三、电感的储能
di p吸 ui i L dt
W吸
t
Li
2
u( )
2
2C
无源元件 也是无损元件
四、分布电容和杂散电容
导体间电位差 电场 电荷积累 电容效应
五、小结
1、 i的大小与 u 的变化率成正比，与 u 的大小无关； 2、 电容在直流电路中相当于开路，有隔直作用； 3、 电容元件是一种记忆元件； 4、 当 u，i为关联方向时，i= Cdu/dt；
di dξ
dξ
若i ( )0
1
Li2(t
)
1 2(t) 0
2
2L
无源元件 也是无损元件
四、小结 1、 u的大小与 i 的变化率成正比，与 i 的大小无关； 2、电感在直流电路中相当于短路； 3、 电感元件是一种记忆元件；
4、 当 u，i 为关联方向时，u=L di / dt； u，i 为非关联方向时，u= – L di / dt 。
0u
二、线性电容的电压、电流关系
i
i dq C du
dt dt
+ u
+ C
u( t
)
1 C
t
idξ
u(t
)0
1 C
t
t0
idξ
–
–
【人大名师精品课件】电路第6讲储能元件
i ++
u
L1
u1 -
L2
+ u2 -
-
Ln
+ un -
i
+
u
Leq
-
根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感
的端电压
uk
Lkdi dt和KVL，可求得n个电感相
串联的等效电感
n
Leq
Lk
k 1
4、电感的并联
Leq的倒数表示式为
1
n
1
Leq
L k 1 k
i
+
i1
二、电容上 u ~ i关系——表示为微分关系
i(t) dq(t) C du
dt
dt
i C du dt
u(t) u(0) 1
t
i( )d
C0
动态元件， 又是记忆元件
故电容在直流时相当于“开路”， 即电容元件有隔直通交的作用
四、电容元件储存的能量
p吸
ui
uC
du dt
Ceq C1 C2
Cn C k 1 k
2、电容的并联
n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同 一电压 u。
i
i
+
i1
i2
in +
u C1
C2
Cn
u
Ceq
-
-
n
其中 Ceq C1 C2 ... Cn Ck k 1
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零，
给值定电容CC1 1F,C2 2F,C3 3F,C4 4F 试求ab间的等
6储能元件
并且 u(3s) (30 + 25 3)V 105V
画出电容电压波形
-2A
o
u
3s
7s
105V 30V
o
3s
7s
t
(2)3s≤t＜7s, i= －2A 电容放电
1 t u u (3) + i ( )d C 3 1 t 105 + 3 (-2)d 0.2
135 - 10t
i
Ceq
u (t ) u1 (t ) + u2 (t ) + .... +u n (t )
1 C1 1 - i( )d + C2
t
n 1 1 Ceq k 1 Ck
t
-
1 i ( )d + ... + Cn
t
-
i ( )d
1 u1 (t0 ) + C1
1 u (t0 ) + Ceq
4s
6s
t
di u L 0.15V dt
0.45W
(c)
0.15V
u 2s 4s 6s
p ui 0.225t W
O
t
(2) 2s t 4s : i 3 A
di uL 0 dt
i
p ui 0
(3) 4s t 6s : i -1.5t + 9
di u L -0.15V dt
t
-
i ( )d
物理意义：t 时刻电容上的电荷量(电压)是 t 时刻之前 由充电、放电而积累起来的。 ——记忆元件。
讨论：
1 2 (三) WC (t ) Cu(t ) 2
画出电容电压波形
-2A
o
u
3s
7s
105V 30V
o
3s
7s
t
(2)3s≤t＜7s, i= －2A 电容放电
1 t u u (3) + i ( )d C 3 1 t 105 + 3 (-2)d 0.2
135 - 10t
i
Ceq
u (t ) u1 (t ) + u2 (t ) + .... +u n (t )
1 C1 1 - i( )d + C2
t
n 1 1 Ceq k 1 Ck
t
-
1 i ( )d + ... + Cn
t
-
i ( )d
1 u1 (t0 ) + C1
1 u (t0 ) + Ceq
4s
6s
t
di u L 0.15V dt
0.45W
(c)
0.15V
u 2s 4s 6s
p ui 0.225t W
O
t
(2) 2s t 4s : i 3 A
di uL 0 dt
i
p ui 0
(3) 4s t 6s : i -1.5t + 9
di u L -0.15V dt
t
-
i ( )d
物理意义：t 时刻电容上的电荷量(电压)是 t 时刻之前 由充电、放电而积累起来的。 ——记忆元件。
讨论：
1 2 (三) WC (t ) Cu(t ) 2
PP06 储能元件
4.电容的贮能
电容是一种贮能元件（存贮电场能）。
①
a, b, c, d,
p (t ) = u (t ) i (t ) = Cu (t )
u(t ) > 0, u(t ) > 0,
u (t ) < 0,
du (t ) dt
u(t ) < 0,
p = dw dt
du(t ) p > 0, u ↑, 吸收能量， > 0 ； dt du(t ) (t p < 0； < 0, u ↓, 释放能量， dt du(t ) > 0, u ↓, 释放能量，p < 0 ； dt du(t ) p < 0, u ↑, 吸收能量， > 0 ； dt
W (t) = 1 Cu2(t) C 2
电容元件是一种储能元件，又是一种无源元件.
例1-5：电容与电压源相接，电压源电压随时间按三角波方式 变化，求电容电流。
§6-2
电感元件
电感器：存贮磁场能量的器件（导线绕成线圈，导线中 有电流时，其周围建立磁场）
① 任一时刻 t , 磁链 ψ (t) 取决于同一时刻的电流 i(t);
di(t) a, i(t) > 0, > 0, dt di(t) b, i(t) > 0, dt < 0, di(t) i(t) < 0, > 0, dt d, i(t) <0, di(t) <0, dt
c,
i ↓, 释放能量，p < 0
i ↑, 吸收能量，p > 0
②
dw p= dt
w= ∫ pdt
2 WL (t ) = 1 LiL (t ) = 1 L(e−t )2 , 2 2
电路课件 电路06 储能元件共27页文档
时刻t储存电场能量Wc(t)将等于吸收能量，写为
W C(t)1 2C2(u t)
从t1到t2，电容元件吸收能量
(68)
W C C u u ( ( t 1 t2 ) )u d 1 2 C 2 u ( t2 ) u 1 2 C 2 ( t 1 ) u W C ( t2 ) W C ( t件
19.04.2020
11
电容效应例
※两根架空输电线间，每一根输电线与地间有分 布电容。
※晶体三极管或二极管电极间，甚至一个线圈线 匝间也存在杂散电容。
是否在模型中计入这些电容，必须视工作条件 下所起作用而定，当工作频率很高时，不应忽 略其作用，以适当方式在模型中反映。
如电容库伏特性在u-q平面不通过原点，称非线性电 容元件，晶体二极管中变容二极管是一种非线性电容， 电容随所加电压而变。
一般电容器除储能外，也消耗部分电能，电容器模型 是电容和电阻组合。电容器消耗电功率与所加电压直 接相关，模型是并联组合。
电容器是为获得一定大小电容特意制成。但电容效应 在许多场合存在，即分布电容和杂散电容。理论上， 电位不相等导体间会有电场，有电荷聚集并有电场能 量，即有电容效应存在。
图６-２，电流i产生磁通ΦL与N匝线圈交链，
则磁通链ΨL＝NΦL。
第6章 储能元件
19.04.2020
13
感应电压
磁通ΦL和磁通链ΨL由线圈本身电流i产生，称自感磁通
和自感磁通链。ΦL和ΨL方向与i参考方向右螺旋关系，
如图。
当磁通链ΨL随时间变化，线圈端子间产生感应电压。
如感应电压u参考方向与ΨL成右螺旋关系，根据电磁感
应定律，有
udL (69)
该式确定感应电压真实方向时，d与t 楞次定律结果一致。
6 储能元件
Li
i1
1 L1
t
u
(ξ
)dξ
L L1
i
L2i L1 L2
i2
1 L2
t
u
(ξ
)dξ
L L2
i
L1i L1 L2
注意
以上虽然是关于两个电容或两个电感
的串联和并联等效，但其结论可以推广到
n 个电容或 n 个电感的串联和并联等效。
2
2C
从t0到 t 电容储能的变化量：
WC
1 2
Cu2
(t)
1 2
Cu2
(t0
)
1 2C
q2(t) 1 2C
q2 (t0 )
表 （1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容
明
电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
（2）电容储存的能量一定大于或等于零。
§6.2 电感元件
电感器
（t)＝N (t)
L dt
L L1 L2
串联电感的分压
u1
L1
di dt
L1 L
u
L1
L1 L2
u
u2
L2
di dt
L2 L
u
L1
L2 L2
u
i
+
L1 u
L2
+
u1
+-
等效
u2
-
+i
uL
-
4.电感的并联
等效电感
+ i1 i2
+i
第六章-储能元件
），与线圈交链成磁链ψ
把金属导线绕在一骨架上 构成一实际电感线圈，当电 流通过线圈时，将产生磁通 ，是一种抵抗电流变化、储
i
i
+–
ue
–+
存磁能的部件。
电感线圈原理示意图
几种实际电感线圈示例
贴片型空心线圈
可调式电感
环形线圈
立式功率型电感
一、定义
任意时刻，能用Ψ-i平面内一条曲线来描述的二端元件→ 韦-安曲线
d(12 2t) 1 106 dt
1μA
例2 : C=0.5F的电容电流波形如图 (b)所示，求电容电压uC(t)。
解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算
1．当t0时，iC(t)=0，得
uC
(t)
1 C
t
iC ( )d
2 106
t
0d 0
2．当0t<1s时，iC(t)=1A，得
i +– ue L –+
对于线性电感,有： =Li =N 为电感线圈的磁链（韦伯）
L
def
ψ
i
L 称为自感系数,也代表 电感元件本身
线性电感的 ~i 特性（韦-安特性）是过原点的直线
i
L= /i tg + –
Oi
六、线性电感电压、电流关系→伏安关系：
ue L –+
u, i 取关联参考方向:根据电磁感应定律与 楞次定律
i
u, i 取关联参考方向
+ +
i dq C du dt dt
u
C
u, i 取非关联参考方向
–
–
i dq C du
dt
dt
电容充放电形成电流： u, i 取关联参考方向
第六章储能元件
电容元件的电路符号
定义：一个二端元件，如果在任意时刻t，它所储存的电荷q 和其端电压u 之间满足 q = Cu 所确定的关系，则此二端元件称线性电容元件。 C (Capacitance)——电容元件的参数 单位：法拉(F、µF、pF)
4 Chapter6 储能元件
6.1 电容元件
• 6.1.2 u-i 关系
duC dt
储存能量
wC =
1 2 CuC 2
1 uC = U C ( t 0 ) + C
∫ i (τ )dτ
t t0 C
电感
diL uL = L dt
1 t iL = I L ( t0 ) + ∫ uL (τ )dτ L t0
wL =
1 2 LiL 2
18
Chapter6 储能元件
11
Chapter6 储能元件
6.2 电感元件
电感元件的伏安关系也可表为：
1 t0 1 t 1 t iL = ∫ uL (τ ) dτ = ∫−∞ uL (τ ) dτ + ∫t uL (τ ) dτ L L 0 L −∞ 1 t = I L ( t 0 ) + ∫ uL (τ ) dτ L t0 1 t iL = I L ( t 0 ) + ∫ uL (τ ) dτ L t0
6.1 电容元件
• 6.1.3 功率与能量
电容消耗的功率在电压、电流取关联方向时为：
p = uC iC = CuC duC dt
表明： （1）当uC = const 时，duC /dt = 0，p = 0，此时电容储存 的电场能量不变。 （2）当duC /dt > 0时，p > 0，电容上有能量输入。 当duC /dt< 0时，p < 0，电容将释放其能量。 结论： （1）电容是一个储能元件； （2）uC反映了电容的储能状况，故又称状态变量。
第6章储能元件78106-精品文档30页
若取u的参考方向与L成右手螺旋关系 (关联参 考方向)时，则 u = dL
dt
电感元件是实际线圈的理想化模型，反映了电流产 生磁通和存储磁场能量这一物理现象。
19.11.2019
18
线性电感元件的图形符号
空心电感
磁心电感
步进移动触点 磁心连续可调 带固定抽头
文字符号或元件参数： L
L
2. 韦安特性
WL=
1 2
Li2(t2) -
1 2
Li2(t1) = WL (t2) - WL (t1)
19.11.2019
22
WL=
1 2
Li2(t2) -
1 2
Li2(t1) = WL (t2) - WL (t1)
| i | 增加时，WL＞0，电感元件吸收能量； | i | 减小时，WL＜0，电感元件释放能量； 电感也是一种储能元件，不消耗电能。
等于元件在t2和t1时刻的电场能量之差。
充电时，|u(t2)|＞|u(t1)|， Wc (t2)＞Wc (t1)，电容元 件吸收能量；
释放的能量≤吸收的能 量，是无源元件。
如果电容元件的库伏
放电时，|u(t2)|＜|u(t1)|， Wc (t2)＜Wc (t1)，电容元 件把存储的电场能量释
特性不是通过原点的 直线，则称为非线性 电容元件。
L2 + u2 -
Ln + un -
i Leq
+ u -
根据串联电路的约束关系和电感元件的VCR可得 串联时等效初始条件为 i(t0) = i1(t0) = i2(t0) = … = in(t0) 串联时等效电感为 Leq = L1 + L2 + … + Ln
电路分析基础第06章储能元件
q 的波形与 u 的波形相同。
（ 3）在 0 ~ 2 ms 时， P 2 tmW
10 在 2 ~ 4 ms 时， P （ 8 3 2 t ） mW
i(t) C du(t) dt
Cq u
p u iCud u dt
例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容 的电流、功率及储能 。
韦安特性
i－电流，单位：安培（A）
L－电感（正常数），单位：亨利（H）
二、电感元件的伏安特性
1、若 u 与 i 取关联参考方向， i ( t ) L
根据电磁感应定律，有
+ u(t) -
u (t) d(t)d (L i) L d i(t)
dt dt
dt
i(t)i(t0)L 1 tt0u()d
由KVL，端口电流
i i1 i2 . .in . (C 1 C 2 . .C .n )d d u tC ed q d
n
式中 CeqC1C2.. .Cn Ck k1
Ceq为n个电容并联的等效电容。
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零，
给定 C 1 1 F ,C 2 2 F ,C 3 3 F ,C 4 4 F 试求ab间的等
思考：在t0-t1时间内，电容吸收(释放)的电场能量？ 释放的能量和储存的能量关系?(W放≤ W吸)
五、线性电容元件吸收的功率
在关联参考方向下： puiCudu dt
非关联参考方向下，电容释放能量
四、电容元件的特点
i (t)
1、电压有变化，才有电流。
C
i(t) C du(t) dt
+ u(t) -
t
i(t)
w L [t0 ,t]t0p (
储能器件
链 与电流 i 成正比。
i
L
1. 元件特性 电路符号
+
与电感有关两个变量: L,
u
–
对于线性电感,有：
=Li
19
def ψ L
i
=N (magnetic flux) 为电感线圈
的磁通链(magnetic linkage)
L 称为自感系数
电感 L 的单位：H(亨) (Henry，亨利)
i
q
+
+
u
C
–
–
Ou
C= q/u tg
对于线性电容，有： q =Cu 电容 C 的单位：F (法) ，F，nF，pF
7
2、线性电容的电压、电流关系（ u, i 取关联参考方向）
i
i dq dCu C du
dt dt
dt
+
隔直通交。
+
u –
C –
u(t) 1
t id 1
)dξ
1 C
t0i(
)dξ
1 C
t
t 0
i(
)dξ
u(t
)0
1 C
tt0idξ
表明
①某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所
有电流值有关，即电容元件有记忆电流的
作用，故称电容元件为记忆元件。
②研究某一初始时刻t0 以后的电容电压，需
要知道t0时刻开始作用的电流 i 和t0时刻的
电压 u（t0）。
(3) 当 i 为常数(直流)时，di/dt =0 u=0。电感在 直流电路中相当于短路；
(4) 表达式前的正、负号与u，i 的参考方向有关。
第六章 储能元件
第六章储能元件一、线性电容元件(capacitor)C ＋_i u 1. 线性电容元件定义（库伏特性）+q-q q /Cu /V图5.1-1 线性时不变电容元件在外电源作用下，电容器两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地集聚下去，其特性可用u ～q 平面上的一条曲线来描述，称为库伏特性。
电荷量q 与其端电压的关系为)()(t Cu t q 电容器是一种能储存电荷或者说储存电场能量的部件。
线性电容元件就是反映这种物理现象的电路模型。
(5.1-1)式中C 是电容元件的参数，称为电容元件的电容量，单位为法拉(F)。
C 是一个正实常数。
电容元件简称为电容，其符号C 既表示元件的参数，也表示电容元件。
2. 伏安特性（VCR ，voltage current relation ）在电路分析中，关心的是元件的VCR 。
若电容端电压u 与通过的电流i 采用关联参考方向，如图5.1-1(a )所示，则有dt du C dt dq i ==（5.1-2）这是伏安特性的微分形式。
（1）伏安特性的微分形式：上式表明：1)任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比，与u的大小无关，称为动态元件。
如果电容两端加直流电压，则i=0，电容元件相当于开路。
故电容元件有隔断直流的作用。
2)在实际电路中，通过电容的电流i总是为有限值，这意味着d u/d t必须为有限值，也就是说，电容两端电压u必定是时间t的连续函数，而不能跃变。
这从数学上可以很好地理解，当函数的导数为有限值时，其函数必定连续。
将式(5.1-2)改写为dt t i Ct du )(1)(=可见，电容有“记忆”电流的作用，称为记忆元件。
（而电阻元件的电压仅与该瞬时的电流值有关，是无记忆元件，称为即时元件。
）（5.1-3)对上式从-∞到t 进行积分，并设u (-∞)=0，得1()()tu t i d C ξξ-∞=⎰（2）伏安特性的积分形式：设t 0为初始时刻。
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+
元件的图形符号：
2. 库伏特性
电解电容 可变电容 微调电容
若电压正极所在的极 板上储存的电荷为 +q
则有： q = C u
+q C -q
+u-
q
即任何时刻，线性电 容元件极板上的电荷 q 与电压 u 成正比 。
u o
库伏特性是一条通过原点的直线。
C是一个正实常数，单位是 F(法)、mF、pF等。
2018年12月2日星期日
等于元件在 t2和t1时刻的电场能量之差。
充电时， |u(t2)|＞|u(t1)|， Wc (t2)＞Wc (t1)，电容元 件吸收能量；
释放的能量 ≤吸收的能 量，是 无源元件 。
如果电容元件的库伏
放电时， |u(t2)|＜|u(t1)|， Wc (t2)＜Wc (t1)，电容元 件把存储的电场能量释
(3) 实际电路中通过 电容的电流 i为有限值， 则电容电压 u 不能跃变，必是时间的连续函数。
2018年12月2日星期日
7
伏安关系的积分形式
由
i=
dq dt
得
t
t0
t
q(t) = i(x) dx = i(x) dx + i(x) dx
-∞
-∞
t0
t
以t0为计时起点
q(t) = q(t0) +
i(x) dx
i A+ u
?L ?L
-B
?电感两端电压的大小与磁通的变化率成正比。
若取u的参考方向与 ? L成右手螺旋关系 (关联参 考方向)时，则 u = d? L
线圈通以电流 i后将产生磁通 ? L
若? L与N 匝线圈交链，
则磁通链 ? L = N ? L 。
i
? L和? L都是由线圈本身的电流 A
产生的，叫做 自感磁通和自感磁通链 。
?L ?L
B
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16
? L和? L的方向与i的参考方
向成右手螺旋关系 ！
当磁通随时间变化时，线 圈两端就会产生感应电压
单位：1 F = 106 mF = 1012pF
储能的计算： wc(t) =
1 2
Cu2(t)
其它特征：不耗能、无源、有记忆、双向元件
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11
解题指导：已知如图，求电流 i、功率p(t)和储能w(t)。
解：uS(t)的函数表示式为
0， t≤0
uS(t) =
2t， 0≤t≤1s -2t+4，1≤t≤2s
t0
将q = C u 代入得
u(t)
=
u(t0) +
1 C
t
i(x) dx
t0
表明
电容元件有记忆电流的作用，故称电容为 记忆元件。
还需要指出两点： (1)当 u，i为非关联方向时，上 述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
(2)上式中 u(t0)称为电容电压的初始值，它反映电 容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
+ + + +
---
C
由于理想介质不导电，所以在外
电源的作用下，两块极板上能分
别存贮等量的异性电荷。
U
外电源撤走后，这些电荷依靠电场力的作用互相吸
引，能长久地存贮在极板上。
电容元件就是实际电容器的理想化模型。
?线性电容元件的图形符号：
?文字符号或元件参数：
C
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5
其它类型线性电容
特性不是通过原点的 直线，则称为非线性 电容元件。
放出来。
例如变容二极管，其
电容是一种储能元件， 不消耗电能。
容量随电压而变。
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10
线性电容元件总结
图形符号：
文字符号或元件参数： C
库伏特性： q = Cu
伏安特性： i = C du dt
或 u= 1 C
t
i dt
-∞
(元件约束 )
6
3. 伏安关系
若C的i、u取关联参考方向，则有：
q = Cu iC
i
=
dq dt
=
d(Cu) dt
当C为常数时有：
+ u-
i
=C
du dt
该式表明：
பைடு நூலகம்
(1) i 的大小取决于 u 的变化率，与 u 的大小无关！ 电容是 动态元件 ；
(2) 当 u 为常数(直流)时，i = 0。电容相当于开路， 电容有“隔直通交” 的作用；
0， t≥2s
i(t)
=
C
duS dt
=
0， t≤0 1， 0≤t≤1s
-1，1≤t≤2s
0， t≥2s
+i uS
-
uS (V)
2 1
o
1
i(t) (A)
1
o1
C 0.5F
t (s)
2
t (s)
2
p(t) = u(t) i(t)，
w(t) =
1 2
C u2(t)
-1
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12
§6―2 电感元件
Cu2(-∞)
若在t =-∞时，电容处于未充电状态： u(-∞)=0， 其电场能量也为 0。则电容元件在任何时刻所储存 的电场能量将等于它所吸收的能量：
wc(t) =
1 2
Cu2(t)
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9
从t1～t2时间，电容元件吸收的能量为
Wc=
1 2
Cu2(t2) -
1 2
Cu2(t1) = Wc (t2) -Wc (t1)
第六章 储能元件
本章再介绍两个电路元件 电感元件和电容元件
前五章介绍的电路分析技术（或方法） 也可以应用于包含 电感和电容的电路。
但必须先掌握 电感和电容 的VCR，然 后再用 KCL 和KVL 来描述与其它基本 元件之间的互连关系。
2018年12月2日星期日
1
§6―1 电容元件
只要电导体用电解质或绝缘材料 (如云母、绝缘纸、 陶瓷、空气等 )隔开就构成一个电容器。
独石电容器主要 有：CC4，CT4， CC42，CT42 等
高压瓷片电容
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金属化聚丙烯 薄膜电容器
2
铝制电解电容
法拉电容0.1-1000F 无极性电解电容
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高频感应加热机振荡电容
3
各种贴片系列的电容器
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4
1. 电容元件的定义 电容元件是表征 产生电场、 储存电场能量 的元件。
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8
3. 功率/电场能量
u和i采用关联参考方向时
p = ui = Cu
du dt
t从-∞到任意时刻 t 吸收的电场能量：
wc=
t
C
-∞
u(x)
du(x)
dt
dt
=C
u(t)
u(x) du(x) =
u(-∞)
1 2
Cu2(x)
u(t) u(-∞)
wc=
1 2
Cu2(t) -
1 2
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实用 的电 感器 是用 铜导 线绕 制成 的线 圈。
13
各种类型的电感
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14
各种类型的电抗器
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15
在高频电路中，常用空心或 带有铁氧体磁心的线圈。
在低频电路中，如变压器、 电磁铁等，则采用带铁心 的线圈。
1. 电感元件的定义 电感元件是表征 产生磁场、储存磁场能量 的元件。