人教版新教材：3.4 函数的应用(一)

跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的 进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
销售单价/元
6
7
8
9
10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
三、幂函数与分段函数模型
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润 y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为 3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为 _1_2_5__万元.
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中， 即3α＝27，解得α＝3， 故函数解析式为y＝x3， 所以当x＝5时，y＝125.
反思 感悟
(1)处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题.
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式.
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果.
④转化成具体问题，给出解答.
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏.
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
解 根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只， 则蓄养率为mx ，故空闲率为 1－mx ， 由此可得 y＝kx1－mx (0<x<m).
(2)求羊群年增长量的最大值； 解 对原二次函数配方，得 y＝－mk (x2－mx) ＝－mk x－m2 2＋k4m. 即当 x＝m2 时，y 取得最大值k4m.
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
解 由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量， 即0<x＋y<m. 因为当 x＝m2 时，ymax＝k4m， 所以 0<m2 ＋k4m<m， 解得－2<k<2. 又因为k>0，所以0<k<2.
反思
感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式 法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利 润最大、用料最省等最值问题. (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符.
知识点三 幂函数模型
1.解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0). 2.单调性：其增长情况由xα中的 α 的取值而定.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时 间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
√
解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行 于x轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线.
2.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量
y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的
反思
感悟 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列 式、求解.
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质 量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元) 是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示. (1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式.
函数关系式为
√A.y＝3x(x≥0)
B.y＝3x
C.y＝13x(x≥0)
D.y＝13x
2 题型探究
PART TWO
一、一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖 不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每 天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须 相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大.
解 根据题意，当y＝0时，x≤30. 所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
二、二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达 到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与 空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值) (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
解 设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 由图象可知，当x＝60时，y＝6； 当x＝80时，y＝10. 所以8600kk＋＋bb＝＝160，. 解得 k＝15，b＝－6. 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝15x－6，x>30，
0，x≤30.
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按 30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1 分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费 和漫游费. ①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？ ②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？ ③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
第三章 函数的概念与性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用 函数思想处理现实生活中的简单应用问题.
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 一次函数模型
形如 y＝kx＋b 的函数为一次函数模型，其中 k≠0 .
知识点二 二次函数模型
1.一般式： y＝ax2＋bx＋c(a≠0) . 2.顶点式： y＝a(x－h)2＋k(a≠0) . 3.两点式： y＝a(x－m)(x－n)(a≠0) .