整数规划与分配问题

99 第4章 整数规划与分配问题

§4．1 整数规划的数学模型及解的特点

1--1 整数规划数学模型的一般形式

要求一部分或全部决策变量必须取整数值的线性规划（Linear Programming ，简记LP ）问题称为整数规划（Integer Programming,简记IP ）。整数线性规划数学模型的一般形式为

()()1

11max min ,,1,,..0,1,, ,,n

j j

j n

ij j i j j n

z c x a x b i m s t x j n x x ===⎧≤=≥=⎪⎪⎪≥=⎨⎪⎪⎪⎩

∑∑ 或中部分或全部取整数

根据对所有变量的要求不同，整数线性规划又分为下列几种类型：

（1） 纯整数线性规划（Pure Integer Linear Programming ）：指全部决策变量都必须取

整数值的整数线性规划。有时也称为全整数规划。

（2） 混合整数规划（Mixed Integer Linear Programming ）：指决策变量中有一部分必须

取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。

（3） 0-1型整数规划（Zero-one Integer Linear Programming ）：指决策变量只能取值0

或1的整数线性规划。

整数规划问题的L P 松弛问题（Slack Problem ）这个概念在求解IP 时具有重要作用。 定义1 不考虑变量的所有整数或0-1约束条件而得到的L P 称为IP 的L P 松弛问题。 换言之，不考虑变量为整数的约束条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划（Integer Linear Programming ）。

1--2 整数规划的例子

在现实生活中，当决策变量代表产品的件数、个数、台数、箱数、艘数、辆数等时，往

往只能取整数值。整数线性规划模型也有其广泛的应用领域，从以下几个例子中可以窥其一斑。

例1 某厂在一个计划期内拟生产甲、乙两种大型设备。该厂有充分的生产能力来加工制造这两种设备的全部零件，所需原材料和能源也可满足供应，但,A B 两种紧缺物资的供应受到严格限制，每台设备所需原材料如下表所示。问该厂在本计划期内应安排生产甲、乙设备各多少台，才能使利润达到最大？

表4-1

解 设12x x ，分别为该计划期内生产甲、乙设备的台数，z 为生产这两种设备可获得的总利润。显然12x x ，都必须是非负整数，因此它是一个（纯）整数规划问题，其数学模型为

12

121

2

1212max 5665945

..,0,z x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩为整数

例2（投资决策模型）设有n 个投资项目，其中第j 个项目需要资金j a 万元，将来可获利润j c 万元。若现有资金总额为b 万元，则应该选择哪些投资项目，才能获利最大？

解 设 1,j x ⎧=⎨

⎩对第j 个项目投资不然；

0，。

这里1,,j n = 。设z 为可获得的总利润（万元），则该问题的数学模型为

1

1

max ..01(1,,)n

j j

j n j j

j j

z c x a x b s t x j n ===⎧≤⎪⎨⎪==⎩∑∑ 或

这是一个0-1型整数规划，因为所有的决策变量j x (1,,)j n = 只能取0或1值。

例2中的模型一般称为“0-1背包问题”，因为它最初来自描述一个旅行者在旅途中携带哪些物品的问题。j c 表示第j 种物品的价值或效用，j a 表示其重量，而b 则表示旅行者所能承受的最大负重。如果允许所携带的同一种物品多于一件，则只需把约束条件“j 01x =或”改换成“j 0x ≥且为整数”即可。这时该模型就是一个纯整数规划，同时也叫“一般背包问题”，它是整数规划一个重要的典型模型，因为许多实际问题都可归结为这类 模型，而且它的解法曾推动了一般整数规划解法的研究与发展。

例3（物资调拨模型）某厂拟用a 元资金生产m 种设备1,,m A A ，其中设备i A 单位成本为(1,,)i p i m = 。现有n 个销售地点1,,n B B ，其中j B 处可销售各种设备最多为

(1,,)j b j n = 台。预计将一台设备i A 在j B 处销售可获利ij c 元，则应如何调拨这些设备，

才能使预计总利润为最大？

解 设i y 为生产设备i A 的台数，ij x 是设备i A 调拨到j B 处销售的台数，z 为预计能获得的总利润（元），则该问题的数学模型为

1

1

1

1

1max (1,2,,)(1,2,,)..0,0,m n

ij

ij

i j n

ij i j m

ij j i m

i i i ij i ij i z c

x x y i m x b j n s t p y a x y x y ======

⎧≤=⎪⎪⎪≤=⎪⎪⎨⎪≤⎪⎪

≥≥⎪⎪⎩∑∑∑∑∑ 均为整数

例4（选址问题）某种商品有n 个销售地，各销售地每月的需求量分别为(1,,)j b j n = 吨。现拟在m 个地点中选址建厂，用来生产这种产品以满足供应，且规定一个地址最多只能建一个工厂。若选择第i 个地址建厂，将来生产能力每月为i a 吨，每月的生产成本为

(1,,)i d i m = 元。已知从第i 个工厂至第j 个销售地点的运价为ij c 元/吨，应如何选择厂

址和安排调运，可使总的费用最少？

解 设每月从厂址i 至销售地j 的运量为ij x 吨，z 为每月的总费用（元），

1,i y ⎧=⎨⎩

若在第i 址建厂；否则。0，