毕卡逐次逼近法
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毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用
邹添杰 05级数学与应用数学基地班
指导老师:尹小玲
2006年8月
摘要 本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识,证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。
一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理 定理1· 设),(y x F 满足下列条件: (I )y ,F F x 在b y y a x x D ≤-≤-00,:上连续; (II )0),(00=y x F (通常称为初始条件) (III )对D y x ∈∀),(,恒有0),(y ≠y x F ; (IV )在D 上
)
,()
,(y x y x F y x F 条件满对Lipchitz y :即对D 上任意两点),(),(21y x y x ,
,不等式 212y 2x 1y 1x )
,()
,(),(),(y y L y x F y x F y x F y x F --≤ (1)
恒成立,L 是与),(1y x 和),(2y x 无关的正常数(常数Lipchitz )。 则在区间0),(0=上y x F h x x ≤-唯一确定一个隐函数)(x y ϕ=,满足)(00x y ϕ=。这个函数在h x x ≤-0上连续可微。其中
},
min{M
b
a h = ……(2) ),()
,(max
y
x ),(y x F y x F M D y x ∈= (3)
证明:若0),(=y x F 在h x x ≤-0上能唯一确定可导的隐函数)(x y ϕ=,则有
0))(,(=x y x F ,方程两边对x 求导,得
0·'=+y F F y X 。
由0≠y F ,得 )
,()
,(y x '
y x F y x F y =-
。
因此,0),(=y x F 在h x x ≤-0上能确定唯一可导的隐函数)()(00x y x y ϕϕ=且=,等价于初值问题
),()
,(0))(,(y x '00{
y x F y x F y x y x F =-
= ……(*)
在h x x ≤-0上有唯一解)()(00x y x y ϕϕ=且=。
简记)
,()
,(),(y x y x F y x F y x f -
= ,下面分4段证明之。
(1) 构造一个近似解的序列。
用 0y y = ……(4) 代替),(y x f 中的y ,则
),(0'y x f dx
dy
y ==
……(5) 其右边是上在a x x x ≤-0的已知函数,对(5)两边积分(显然),(y x f 在D 上连续,故可积),并令它满足 0))(,(00=x y x F 于是得到 ⎰
+=x
x dt y t f y x y 0
),()(00 (6)
它区间a x x ≤-0上连续。
一般来说,它并不正好是(*)的解,称它为(*)的第1次近似解,记为
⎰+=x
x dt y t f y x y 0
),()(001 (7)
并称(4)为(*)的第0次近似解。
现在估算由(7)确定的函数)(1x y 的界限:
000010
),(),()(x x M Mdt dt y t f dt y t f y x y x
x x
x x
x -≤
≤
⎰
⎰
⎰==- (8)
所以,当h x x ≤-0时,有b Mh x x M ≤≤-0,即有b y x y ≤01)(-。
这就推知,当h x x ≤-0时,D x y x ∈))(,(1,于是))(,(1x y x f 有定义,并且是x 在h x x ≤-0
上的连续函数。
考虑))(,(0))(,(100{
x y x f dx
dy
x y x F == 得到第
2次近似解
⎰
+
=x
x dt y t f y x y 0
),()(102
同理可证,当h x x ≤-0时,有b y x y ≤02)(-,即D x y x ∈))(,(2
如此下去,可得到第n 次近似解: ⎰-+=x
x n n dt y t f y x y 0
),()(10 (9)
易知当h x x ≤-0时有
b x x M Mdt dt y t f dt y t f y x y x
x x
x n x x n n ≤-≤
≤
⎰
⎰
⎰--01100
),(),()(==- (10)
从而D x y x n ∈))(,(。由归纳法,定义了无穷序列
0y , )(1x y ,)(2x y , …,)(x y n ,… ……(11) 每个函数在h x x ≤-0连续,且D x y x n ∈))(,(, (n =0,1,2,……) (2)· 证明{)(x y n }在h x x ≤-0上一致收敛。 当h x x ≤-0时, ⎰----x
x n n n n dt t y t f t y t f x y x y 0))(,())(,()()(211=-
≤
⎰
--x
x n n dt t y t y L 0
)()(21- (n=2,3,......) (12)
由数学归纳法易证明
)()(1x y x y n n --≤n!
)
(·
0n
x x L L M - ……(13) 事实上,当n=1时,由(8)知(13)成立;
假设,当n=k 时成立,即 )()(1x y x y k k --≤k!
)(·0k
x x L L M - 则由(12)知
⎰
-+≤
x
x k k k k dt t y t y L x y x y 0
)()()()(11--
≤
⎰-x
x k
dt x t L k M
0)(!
0=)!1()
(·1
0+-+k x x L L M k
即证明了(13)当n=k+1时也成立。
由(13),当h x x ≤-0时,有≤-)()(1x y x y n n -!
)(·n Lh L M n
易知,正项级数∑∞
=1!)(·n n
n Lh L M 收敛,由M -判别法知级数()∑∞
=-1
1)()(n n n x y x y -在
h x x ≤-0上一致收敛。即{})(x y n 在h x x ≤-0上一致收敛,将其极限函数记为)(x ϕ