函数图像的描绘

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一、曲线的凹凸性与拐点
y
y
o
x1 x1 x2 x2 x
o
2
凹弧
定义2
y
连续曲线上有切线的
凹凸弧分界点称为拐点 . o
x1 x1 x2 x2 x
2
凸弧
x
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例1
解 f (x) 3x2, f (x) 6x．
列表
x (, 0)
f (x)
f (x)
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2
A
o
y
1
2
e
x2 2
B
x
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四、弧微分及平面曲线的曲率 1. 弧微分 2. 曲线在一点的曲率
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1. 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
y y
x
凸弧
1 2
x
凹弧
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一、曲线的凹凸性与拐点
(凹凸性判定法) P 定理1. 设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则y f ( x)表示的曲线弧是凹弧；
也称 在 I 内图形是下凸的 ;
(2) 在 I 内
则y f ( x)表示的曲线弧是凸弧；
也称 在 I 内图形是上凸的 .
2. 确定函数是否具有奇偶性及周期性；
3. 求
的点 ;
并求出 及
为 0 和不存在
4. 确定曲线的渐近线 ;
5. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
6. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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例4
画出函数
y f (x) (x 3)2 4(x 1)
的图形．
解 1. 函数的定义域为 (,1) (1, )．
f (x)
0
(1,3)
+
3 (3,)
0+ ++
f (x)
递增 极大值 递减
凸弧 -2
凸弧
间断 递减 极小值 递增
点
凸弧 0
凸弧
画图
特殊点
渐近线 x 1
y 1 x5． 44
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例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1
x
e
x2 2
b
lim(
x
f
(
x)
kx)
lim
x
4( x
1)
4
x
lim 5x 9 5， x 4(x 1) 4
斜渐近线为 y 1 x 5 ．
4
4
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例4
画出函数
y f (x) (x 3)2 4(x 1)
的图形．
函数的定义域为 (,1) (1, )．
f (x) (x 3)(x 1) , 4(x 1)2
f
( x)
(x 3)(x 1) 4(x 1)2
,
f
( x)
(x
2 1)3
,
百度文库
2. 令 f (x) 0, 得 x1 1, x2 3．
3. 求渐近线
lim (x 3)2 ， x 1是垂直渐近线．
x1 4(x 1)
k lim f (x) lim (x 3)2 1， x x x 4x(x 1) 4
,
2
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
(极大)
(拐点)
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x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y ,
x1
(或x 1)
所以有铅直渐近线 x 1及 x 1
又因
k lim f (x) x x
lim
x
x2 x2 1
b
lim [ f (x) x]
x
lim x
x x2 1
0
y x 为曲线的斜渐近线 .
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三、函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数
的定义域 ；
列表
f
( x)
(x
2 1)3
,
x (, 1) 1 (1,1) 1
f (x) + 0
f (x)
0
(1,3)
+
3 (3,)
0+ ++
f (x)
递增 极大值 递减
凸弧 -2
凸弧
间断 递减 极小值 递增
点
凸弧 0
凸弧
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x (, 1) 1 (1,1) 1
f (x) + 0
第五节
第四章
函数图像的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点
二、曲线的渐近线
三、函数作图 四、弧微分及平面曲线的曲率
练习
作业
思考题
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一、曲线的凹凸性与拐点
定义1 如果在某区间内， 曲线弧上任一点处的切线 都在此段曲线弧的上（或下）方， 则称此曲线弧 在这个区间上是凸（或凹）弧，如下图
x x
x
k lim [ f (x) b ] x x x
k lim f (x) x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
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例3. 求曲线
的渐近线 .
解:
y
x3
,
( x 1)(x 1)
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1.水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
凸弧
0 (0, )
0
+
拐点 (0,0) 凹弧
y
y x3
o
x
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例2 解
列表
x (, 0)
f (x)
f (x)
凸弧
0
不存在
不存在
(0, ) +
凹弧
y
y 1 x
o
x
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二、曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
例如. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
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2.斜渐近线 若
(或x )
(kx b)
斜渐近线 y kx b.
(kx b)
lim x[ f (x) k b ] 0
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例4
画出函数
y f (x) (x 3)2 4(x 1)
的图形．
函数的定义域为 (,1) (1, )．
(x 3)2 lim
，
x 1是垂直渐近线．
x1 4(x 1)
f (x)
(x 3)2
k lim lim
1，
x x x 4x(x 1) 4
(x 3)2 1