高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的概念课件 新人教B版选修2-2

t2时 的 瞬 时 速 度 是 13.1m/s.
为了表述 ,我方 们l便 i用 mh2th213.1
t0
t
表示 "当t2,t趋势近 0时,平 于均速 v趋度 近于确
定值 13.1".
我 们 1.称 1 是 3h 2 确 t h 2 定 当 t趋 值 0 时 近的 .
t
１、函数的平均变化率怎么表示？ y xｆ ｘ ０ ＋ ｘ ｘ － ｆ ｘ ０
是正值，也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前； 当△ｔ＞0时，在2之后。
o
△ｔ＜0时
2＋△ｔ
计 算 区 间 2 t,2和 区 间 2,2 t
内 平 均 速 度 v,可 以 得 到 如 下 表 格 .
2
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f(x0Δ x)f(x0)li m y
x 0
x
x 0x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0)
或 y |xx0 , 即 f(x0) lx im 0f(x0Δ x)xf(x0).
h(t)4.9t26.5t10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时
间内
间内
v 4 .9 t 1.1 3 v 4 .9 t 1.1 3
当△t = – 0.01时, v13.051 当△t = 0.01时, v13.149
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的 基本方法是:
(1)求函数 y的 f(x0 增 x)量 f(x0);
(2)求 平 均 y变 f(x0 化 x)f率 (x0);
x
x
(3)取极限， f(x得 0) 导 lxi m 0 数 x y.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形 式,Δy也必须选择与之相对应的形式.
1.f(x0)与 x0的值有关， x0其不 导同 数的 值一般 。也
2. f (x0)与x的具体取值无关。 3.瞬时变化率与导一数概是念同的两个名称。
导数的作用：
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率
在问题2中，高度h关于时间t的导数是运动 员的瞬时速度；
在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么 半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率.
Δy 6Δx3(Δx)2 63Δx
Δx
Δx
f'(1)limΔ ylim (63Δ x)6 x 0Δ x x 0
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数．
1.1.2 导数的概念
导数的 概念
内容：利用导数的概念求导数
应用
求函数在某处的导数
求函数在某点附近的平均 变化率
本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平 均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深 化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学 生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究 ,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上, 组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补 充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上 升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平 均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调
x x 2 x 1
x
其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h
（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系
h=-4.9t2+6.5t+10
h
求ｔ＝2时的瞬时速度？
我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个
时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以
正确应用平均变化率的重要性。
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与 探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测， 通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生
进行因材施教。
复习：平均变化率
一般的，函数 f (x) 在区间上 [x1, x2] 的平均变化率为
yf(x 2 ) f(x 1 )＝ fx 1 ＋ x － fx 1
……
……
我 们 发 现 ,当 t趋 近 于 0时 ,即 无 论 t从 小 于 2的 一 边 , 还 是 从 大 于 2一 边 趋 近 于 2时 ,平 均 速 度 都 趋 近 于 一 个 确 定 的 值 13.1.
从 物 理 的 角 度 看 ,时 间 间 隔 |t|无 限 变 小 时 ,平 均
速 度 v就 无 限 趋 近 于 t2时 的 瞬 时 速 度 .因 此 ,运 动 员 在
２ 、 函 数 f ( x ) 在 ｘ ＝ ｘ ０ 处 的 瞬 时 变 化 率 怎 么 表 示 ？
lxi m 0ｆ ｘ ０ ＋ ｘ ｘ －ｘ ｆ ０
我 们 称 它 为 函 数 y＝ fx在 x＝ x0处 的 导 数 ， 记 作 ： fx0或 yx= x0
即 fx 0 ： ＝ lx i 0 m x y ＝ lx i 0 fm x ０ ＋ x x － fx ０
当△t = – 0.001时, v13.0951当△t =0.001时, v13.1049
当△t = –0.0001时, v13.0995Байду номын сангаас 当△t =0.0001时, v13.10049
△t = – 0.00001, v13.09995△1t = 0.00001, v13.1000
△t = – 0.000001, v 1 3 .0 9 9 9 9 5 1△t =0.000001, v 1 3 .1 0 0 0 0 4 9
一差、二商、三极限
求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数．
(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解 ： Δ yf(1Δ x)f(1)3(1Δx)23 6Δx3(Δx)2