线性变换练习题
变换试题及答案
变换试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是线性变换的特征？A. 可加性B. 齐次性C. 可逆性D. 保序性答案：C2. 线性变换的矩阵表示中，每一列代表什么？A. 变换后的基向量B. 变换前的基向量C. 变换的系数D. 变换的逆答案：A3. 一个线性变换是否总是可逆的？A. 是B. 否C. 只有在有限维空间中D. 只有在无限维空间中答案：B二、填空题4. 线性变换的______性保证了变换后的向量仍然保持原有的线性组合关系。
答案：可加性5. 一个变换如果是______的，那么它在矩阵表示中的每一列都应该是线性无关的。
答案：可逆6. 在二维空间中，一个线性变换的矩阵表示通常是一个______阶矩阵。
答案：2三、简答题7. 简述线性变换的保形性。
答案：线性变换的保形性指的是它保持了向量空间中向量之间的夹角和长度比不变。
这意味着，如果两个向量在变换前是正交的，那么它们在变换后也是正交的。
8. 为什么说线性变换是“线性”的？答案：线性变换被称为“线性”的，是因为它满足两个基本的线性性质：可加性和齐次性。
可加性意味着变换可以分开作用于向量的各个分量，然后合并结果；齐次性则意味着变换对于向量的标量倍数是封闭的。
四、计算题9. 给定线性变换 \( T \) 的矩阵表示为 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)，计算 \( T \) 作用于向量\( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \) 的结果。
答案：\( T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+2 \\ 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
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线性变换习题1、设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为()33ijA a ⨯=，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。
解：设基123,,εεε到基231,,εεε下的矩阵为X ，即有231123(,,)(,,)X εεεεεε=。
而123123(,,)(,,)A σεεεεεε=，231231(,,)(,,)B σεεεεεε=，则1B X AX -=，得到222321323331121311a a a B a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
2、设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，Im φ与ker φ分别表示φ的值域与核，证明下列条件等价：（1）Im ker V φφ=⊕； （2）Im ker 0φφ⋂=； （3）若12,,,r ααα是Im φ的一组基，则12(),(),,()r φαφαφα是2Im φ的一组基；（4）秩()φ=秩2()φ.（注：表示Im ker φφ⊕直和） 证明：1)2)⇒显然成立2)1)⇒令dimker r φ=，设ker φ的一组基为1,,r αα，并扩充为V 的一组基11,,,,,r r n αααα+，1Im (,,)r n L φφαφα+=。
由于Im ker 0φφ⋂=，dimIm dimker n φφ+=，则dimIm n r φ=-，即1,,r n φαφα+线性无关，从而11,,,,,r r n ααφαφα+线性无关。
则11(,,,,,)r r n V L ααφαφα+=，故1）成立。
1)3)⇒令110r r k k φαφα++=，则11()0r r k k φαα++=。
存在ker αφ∈，使得11r r k k ααα=++。
又因为12,,,r ααα是Im φ的一组基，则存在12,,,r ξξξ，满足i i φξα=，1,,i r =。
把12,,,r ααα扩充为V 的一组基11,,,,,r r n αααα+，则1,,r n αα+为ker φ的一组基。
线性变换例题
我们有
λ1
Aεi = λiεi ⇒ A =
λ2 ...
,
λn
再取x = e = (1, . . . , 1)T,我们有Ae = λe,故λi = λ,因而A = λEn ⇒ A(α) = λα.
7.习题7-3，10 证明一：对矩阵A作数学归纳法。设x为A属于特征值λ的 特征向量，则将x扩充为整个空间的一组基，可得矩阵P1 = (x, x2, . . . , xn)可 逆,
2
n
a1λn−1 +· · ·+(−1)nan,则a1 = aii, an = |A|. 设λ1, . . . , λn为χA(λ)的
i=1 n
根，则a1 = λi, an = λ1λ2 · · · λn 记σ(A) = {λ1, . . . , λn}为A的谱。
i=1
在复数域上，n阶复方阵有且只有n个根，而对于实矩阵，其在复数域 上有同样结论，但复根是共轭成对出现。
•
En A
B λEm
，当m很小，例如m
=
1，通过计算σ(BA)来得出σ(AB)很
有利。
• 若λi为A的特征根，xi为特征向量，则φ(λi), xi为φ(A)的特征根与特征 向量，其中φ(λ)为任一多项式。若φ(A) = 0,则φ(λi) = 0. 零矩阵的特 征值全是零。
m
φ(λ) = ajλj, Axi = λixi,
5
这里B为一个上三角阵。 设(β2, . . . , βn) = (α2, . . . , αn)P1,则P1−1AP1 = B。
(α1, β2, . . . , βn) = (α1, α2, . . . , αn)
1 0
0 P1
∗
线性变换练习题卷
线性变换（A 卷）（特征值与特征向量）一、填空题(3515''⨯=)1. 设A 是3阶矩阵，特征值是1, 2, 3，则2A E +的特征值是 ，2A E +的特征值是 ，*2(2)A E -的特征值是 ．2. 设A 是n 阶矩阵，()R A n <，则A 必有特征值 ，且其重数至少是 ．3. 已知-2是02222226A x --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭的特征值，则x = ．4. 设(1,2,3,4),(4,3,2,1),TTTA αβαβ===，则矩阵A 有非零特征值是 ，对应的特征向量可取为 ．5. 已知矩阵12123001A a ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭有两个线性无关的特征向量，则a ＝ ．二、选择题(3515''⨯=)1. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 ( )． (A) E A E B λλ-=- (B) E A E B λλ-=-(C)E A E B λλ-- (D) A 和B 都相似于一个对角阵2. 设2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则211()3A E -+的一个特征值是 ( )．(A) 73 (B) 13 (C) 74 (D) 523. 下列矩阵中不能相似对角化的是 ( )．(A) 120203030⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)000000123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 000010023⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 000100023⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 下列矩阵中，与矩阵000030003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似的是( ) ．(A) 003030000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)010031003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 300000003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 010003030⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5. 设A 是3阶矩阵，12,αα是AX ＝O 的一个基础解系，3α是属于特征值1λ=的特征向量， ( )一定不是A 的特征向量．(A) 123αα+ (B) 12αα- (C) 13αα+ (D) 32α三、计算题与证明题（6530''⨯=）1. 已知121230002A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的特征值和特征向量，并判断A 能否对角化，说明理由．2. 已知122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的伴随矩阵A *的特征值与特征向量．3. 已知A 是3阶不可逆矩阵，-1和2是A 的特征值，22B A A E =--, 求B 的特征值，问B 能否相似对角化？说明理由．4. 若A 可逆，证明：(1) A 的特征值不是零；(2)若λ是A 的一个特征值，则1λ是1A -的一个特征值.5. 已知2,A O A O =≠，证明：A 不能相似对角化．四、(8')已知410013031A x --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可对角化，求可逆阵P 及对角阵Λ，使1P AP -=Λ． 五、(12')设3阶矩阵A 的特征值1231,2,3λλλ===对应的特征向量依次为1(1,1,1)Tα=，2(1,2,4)T α=，3(1,3,9)T α=(1)将向量(1,1,3)T β=用123,,ααα线性表示； (2)求n A β.六、(12')已知三阶矩阵A 的特征值为2,1,1-，对应的特征向量为(1,0,1)T -，(1,1,0)T-，(1,0,1)T ，试求矩阵A ．七、(8')已知123,,λλλ是A 的特征值，123,,ααα是相应的特征向量且线性无关，若133ααα++仍是A 的特征向量，证明：123λλλ==．线性变换（A 卷）参考答案（特征值与特征向量）一、填空题1. 3，4，5； 2，5，10； 16，1，02. 0 ，n -r (A )3. -4 ；4. 20,(1,2,3,4)Tλξ== ； 5. -1二、选择题1. B ；2. C ；3. D ；4. C ；5. C 三、计算题与证明题1. 1232,1λλλ===-；12λ=的特征向量11(5,2,9)(0)Tk k -≠，231λλ==-的特征向量22(1,1,0)(0)T k k -≠，1λ=-二重特征根只对应一个线性无关特征向量，故A 不可对角化.2. A *的特征值为1，-5，-5； 11λ=的特征向量11(1,1,1)(0)Tk k ≠，235λλ==-的特征向量23(1,1,0)(1,1,0)T Tk k -+- (k 2, k 3不全为零)3. B 的特征值1230,2λλλ===-，且B 可以相似对角化. 4- 5.略.四、 2051101,10132P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭五、(1) 12322βααα=-+；(2)12132223223223n n n n n n +++++⎛⎫-+ ⎪-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭; 六、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----212323010232121;七、(略)。
第七章 线性变换 基础训练和答案.doc
第七章线性变换基础训练和答案%1.对下列的线性空间和线性变换，求线性变换0在给定基下的矩阵，并判断它们是否可逆. 1.V = P，的一组基为0 =（i.o.o）, 6r2 =（o,i,o）, a3 =（0,0,1）.对任意的a = （x p x2,x3）G P3线性斐换'为oc = （2X| —羽—易，一工| + 2私一尤3，—工| —尤＞+ 2易）.X22.V = P[x]n的一组基为1,、,一,••・, ——，线性变换为求导运算疚对任意的f（x）eP[x]n,2! （〃一1）!仁/u）=r（x）.（3 一3、3.V = P2x2的一组基为环，琮,&],乌，A= ；G P2x2,对任意的X e P*2,[-2 4 ）.M/X = AX .%1.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.%1.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量，并判断它们是否可以对角化.若可以对角化，求线性空间的一组基，使得该变换在此基下的矩阵为对角形.%1.判断1.设V是数域P上的n维线性空间，工/£ L（V）,若线性无关则％ ,•--/ %，•••，•，/ %也线性无关.2.若二/0, •：/%,...,.：/%线性无关，则0,《也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零，则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向景必线性无关.5.一个线性变换的特征值了空间一定是该线性变换的不变了空间.6.若线性变换可逆，则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化，则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性变换..‘7可以对角化的充要条件是n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换「7可以对角化的充要条件是二/有n个线性无关的特征向量.12.n维线性空间V上的线性变换./可以对角化的充要条件是V有一组以二/TKJ特征向量作成的基.13.若n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值，则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似，则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果4为A的特征值,则人也为疽的特征值.17.设矩阵A可逆，且4为A的特征值，则!也是A的特征值.a\2 a\3a 22 %3，则在基《+勺,勺,勺下 a 32^33/K 的特征值为&则18. 设A 是n 阶矩阵，满足A 2 + 2A + 3£ = 0,则A 必可以对角化.19. 设L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间，弓,《2，...，4是Ker,_-/的基,腐,是Im._r/ 的基则《，笑,…,4, 0\,伉‘•••‘Os 是V 的基.20, 设J /G L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间,是Kerr/的基,*,腐,...,同是ImK 的基则r^s-n. %1. 填空&1. 设KEL®),逐基 ％2，乌下的矩阵为人=。
线性变换练习
1．设V为数域P上维线性空间，是V的基，是V
的线性变换，并且在基下的矩阵为，其中
，求的特征值与特征向量。
解
设是的属于特征值的特征向量，则
于是有
如果特征值则
矩阵的属于特征值的特征向量为的属于特
征值的特征向量
如果特征值则
是矩阵
的属于特征值0的特征向量，
是的属于特征值0的特
征向量。
2．设V是维线性空间，A是V的线性变换，证明A可以对角化的充要条件是V可分解成个一维不变子空间的直和。
b5E2RGbCAP
证中存在一组基使
令则
所以是A的不变子空间，V可以分解成个一维不变子空间的直
和。
设可以分解成个一维不变子空间的直和，
那么是的一组基。
因为是A的不变子空间，
A可以对角化。
3．设是的两个不同的特征值，证明：如果
，则是的属于特征值的特征向量。
证因为
所以又因为，因而是的属于特征值的特征向量。
4．设是阶实对称矩阵，是阶实反对称矩阵，如果
则
证因为则而且
是实反对称矩阵，的特征值只有0和纯虚数，-1不是它的特征值，所以
5. 证明：维欧氏空间中至多有个，
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
线性变换习题
线性变换习题(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第四章 线性变换习题精解1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=8）在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A βA =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a) 8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X 故A 是n n P ⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明: A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2 并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z) 所以 A 4=B 4=C 4=E 2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以A 2B 2=B 2A 2 3) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) A 2B 2(a)=(-x,-y,z) 所以 (AB )2≠A 2B 23.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E证 任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A k B-BA k =k A 1-k (k>1) 证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有 A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A 1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A 1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1-,有a=b,这与条件矛盾. 其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可. 因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
线性变换习题精练
线性变换习题1、设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为()33ijA a ⨯=，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。
解：设基123,,εεε到基231,,εεε下的矩阵为X ，即有231123(,,)(,,)X εεεεεε=。
而123123(,,)(,,)A σεεεεεε=，231231(,,)(,,)B σεεεεεε=，则1B X AX -=，得到222321323331121311a a a B a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
2、设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，Im φ与ker φ分别表示φ的值域与核，证明下列条件等价：（1）Im ker V φφ=⊕； （2）Im ker 0φφ⋂=；（3）若12,,,r ααα 是Im φ的一组基，则12(),(),,()r φαφαφα 是2Im φ的一组基； （4）秩()φ=秩2()φ.（注：表示Im ker φφ⊕直和） 证明：1)2)⇒显然成立2)1)⇒令dimker r φ=，设ker φ的一组基为1,,r αα ，并扩充为V 的一组基11,,,,,r r n αααα+ ，1Im (,,)r n L φφαφα+= 。
由于I mk e r φφ⋂=，dimIm dimker n φφ+=，则d i m I m n r φ=-，即1,,r n φαφα+ 线性无关，从而11,,,,,r r n ααφαφα+ 线性无关。
则11(,,,,,)r r n V L ααφαφα+= ，故1）成立。
1)3)⇒令110r r k k φαφα++= ，则11()0r r k k φαα++= 。
存在ker αφ∈，使得11r r k k ααα=++ 。
又因为12,,,r ααα 是Im φ的一组基，则存在12,,,r ξξξ ，满足i i φξα=，1,,i r = 。
把12,,,r ααα 扩充为V 的一组基11,,,,,r r n αααα+ ，则1,,r n αα+ 为ker φ的一组基。
线性变换练习题
线性变换一、填空题：1.设λ是A 的特征值，则1-A 的特征值为 *A 的特征值为 m A 的特征值为 。
2.设3阶方阵A 的特征值为1231,2,λλλ=-==则2)(I A -的特征值为 。
3.在4R 中与向量T )1,1,1,1(-，T )1,1,1,1(--，T )3,1,1,2(都正交的一个单位向量为 。
4.若A I A 则,2=的特征值为 。
二、选择题:1、方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2011相似于矩阵（ ）。
(A)1002-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001 (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011 2、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 。
（A ）充要条件（B ）充分而非必要条件（C ）必要而非充分条件（D ）非充分非必要条件3、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10021411x A 且A 的特征值为0，1，2，则x =（ ）。
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44、对于n 阶矩阵A ，以下正确的结论是（ ）。
(A) 一定有n 个不同的特征值 (B) 存在可逆阵B ，使得AB B 1-为对角阵(C) 它的特征值一定是正数 (D) 属于不同特征值的特征向量一定线性无关三、求下列矩阵的特征值与特征向量：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------011101110 四、设3阶方阵的特征值为1,0,1321-===λλλ，而且对应的特征向量分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=212,122,221321P P P ，求A 。
五、设方阵A 与B 相似，其中200200001,0001001A B y x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求： （1）与x y （2）可逆阵B AP P P =-1,使得。
六、设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2， 235A A B -=，求（1）B 的特征值；（2）I A B 5-及。
第七章线性变换
第七章 线性变换习题1.1).,,()()(),0()().2).,(),V V k P k k k k k k k k k V V V ξξααξξαξξαξαξξξααηβηβαηβ=+∈=+≠=+=+≠≠=∈+=+=A =A A A A A =A A A 判别下面所定义的变换，哪些是线性的哪些不是。
在线性空间中,其中是属于的一固定向量；解：否；存在使得于是当时，在线性空间中，，其中是属于的一固定向量；解：否；对于任意，有而322123123322221231231233222212312331233003).(,,)(,,);,((,,))(,,)(,,)(,,)(,,)(,,).4)P x x x x x x x k P k x x x kx kx kx k x kx kx k x k x x x k x x x x kx kx kx kx αααα+≠==+∈==+=+=+A A A A ，于是当时，所定义变换不是线性的，当时是线性的。
在中，解：否；存在使得而3123122311231223112231123123123112233.(,,)(2,,)..((,,))(2,,)(2,,)(,,); .((,,)(,,))(,,)P x x x x x x x x i k x x x kx kx kx kx kx k x x x x x k x x x ii x x x a a a x a x a x a =-+=-+=-+=+=+++A A A A A 在中，解：是；11222233111223112231 (2()(),,) (2,,)(2,,) x a x a x a x a x a x x x x x a a a a a =+-+++++=-++-+12312300 (,,)(,,).5).[]()(1);.(())(1)(),.(()())(1)(1)()().6).[]()(),x x x a a a P x f x f x i kf x kf x k f x ii f x g x f x g x f x g x P x f x f x x P =+=+=+=+=+++=+=∈A A A A A A A A A 在中，解：是；在中，是一固定的数；解000 .(())()(),.(()())()()()().7).,().8).(), .(n n n n i kf x kf x k f x ii f x g x f x g x f x g x k i k k k i k P X BXC B C P i X ξξξξξξξ⨯⨯==+=+=+==∈===-=-=A A A A A A =A =A A A ：是；把复数域看做复数域上的线性空间，；解：否；取显然有：在中，其中，是属于的两个固定的矩阵。
线性空间与线性变换练习题
线性空间与线性变换练习题§1 线性空间1．设}|),,,({2121n n n x x x x x x V ===∈== R x 是否按向量的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
2．设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯022d c b a d c b a V R 是否按矩阵的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
3．证明n 阶实对称矩阵全体1V 和n 阶实反对称矩阵全体2V 均构成n n ⨯R 的子空间，并求它们的维数。
4．已知4R 中向量T )1,3,2,1(1=a ， T )1,2,1,1(2-=a ，T )6,1,6,2(3---=a ， T )1,7,4,3(4-=a ，求},,,Span{4321a a a a 的一个基和维数。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121k k k A ),,,(4321a a a a =（1）求A 的零空间}|{)(40Ax x A =∈=R N 的基与维数；（2）求T A 的零空间}|{)(30x A x A =∈=T T N R 的基与维数（3）求},,,Span{4321a a a a 一个基和维数。
6．已知3R 中的两组基为T )1,1,1(1=a ，T )1,0,1(2-=a ，T )1,0,1(3=a ，和T )1,2,1(1=b ，T )4,3,2(2=b ，T )3,4,3(3=b 。
（1）求向量T )4,2,2(=x 在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（2）求从基1a ，2a ，3a 到基1b ，2b ，3b 的过渡矩阵；（3）求向量3212b b b z -+=在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（4）求向量321424a a a y -+=在基1b ，2b ，3b 下的坐标。
7．已知3R 中的两组基为T )1,0,1(1=a ，T )1,1,1(2-=a ，T )1,1,1(3-=a ，和T )1,0,3(1=b ，T )0,0,2(2=b ，T )2,2,0(3-=b 。
线性变换练习题
线性变换习题一、填空题1. 设σ是3P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ∀∈，1(1,0,0),ε=2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为_______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。
2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间nP 的线性变换σ：()A σξξ=，n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。
3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是112201121-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。
4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。
5. 设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。
6. 若n nA P⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。
7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,,,n x x x -下的矩阵为 。
8. 在22P⨯中，线性变换10:20A A σ⎛⎫→⎪⎝⎭在基121001,,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭300,10E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 40001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭下的矩阵是 。
9. 设321502114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ，1λ2λ3λ= 。
10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，它与 同构。
11. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则=||A 。
13. 设σ为数域P 上的线性空间V 的线性变换,若σ是单射,则1(0)σ-= 。
线性变换
2 −1 2 阵为 5 −3 3 −1 0 −2
（1） 求线性变换 f 在 V 的基 e1 , e1 + e2 , e1 + e3 下的矩阵 （2） 求线性变换 f 的特征值和特征向量 （3） 线性变换 f 可否在 V 的某组基下矩阵为对角形，为什么？ 14、设 V 是数域 P 上的 3 维线性空间，线性空间 f : V → V 在 V 的基 e1 , e2 , e3 下的矩
2
（4）秩 (φ ) =秩 (φ 2 ) . （注：表示 Im φ ⊕ ker φ 直和） 9 ． 设 φ 是 n 维 线 性 空 间 V 上 的 线 性 变 换 ， 记 Im φ = {φ (α ) | α ∈ V } ，
ker φ = {α ∈ V | φ (α ) = 0} 。求证下列命题等价：
5．令 F 表示数域 F 上四元列空间，取
4
1 − 1 5 − 1 1 1 − 2 3 A= 3 −1 8 1 1 3 − 9 7
2
对于 ξ ∈ F4，令 σ ( ξ ) = A ξ ．求线性映射 σ 的核和值域的维数．
6． σ 是数域 F 上向量空间 V 的一个线性变换， 并且满足条件 σ
2
=σ ． 证明：
(i)
Ker( σ ) = { ξ − σ (ξ ) | ξ ∈ V }；
(ii) V = Ker( σ ) ⊕ Im( σ )； (iii) 如果 τ 是 V 的一个线性变换， 那么 Ker( σ )和 Im( σ )都在τ 之下不变的充 要条件是 στ = τσ ．
7．数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换 σ 叫做幂零的，如果存在一个
第六章 线性变换练习题
线性变换练习
线性变换练习题一、填空题1.设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),n A P σξξξ=∈,则ker σ＝_______，()dim ker σ＝______，()dim )Im σ＝_____ . 2．设矩阵A 的特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的特征值为________ .3.已知三阶方阵A 的特征值为1，2，3，则1-A 的特征值为 ，IA A 322++的特征值为4.设λ＝2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 的一个特征值等于5.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛11是A 的属于特征值 的特征向量 6.A 相似于单位矩阵，则A =_____. 7.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3100430000800007A 的特征值是_______8. 0322=-+I A A ，则A 有特征值_______9.n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是10. 一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）11. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为________变换 .12．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.13.设线性变换A 在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011，线性变换B 在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1101，那么A+B 在基21,εε下的矩阵为 . 14．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 10100001与矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10000001y 相似，那么y x ,的值分别是 。
15．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112，σ（X ）=AX 是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 二、选择题1.n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 （A ）充要条件（B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件（D ）非充分非必要条件2.方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2011相似于（ ）(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2001(B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001 (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011 3、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10021411x A 的特征值为0，1，2，则x =（ ）(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 44、对于n 阶矩阵A ，以下正确的是（ ）(A) 一定有n 个不同的特征值 (B) 存在可逆B ，使AB B 1-为对角阵(C) 它的特征值一定是正数 (D) 属于不同特征值的特征向量一定线性无关5、n 阶矩阵A 与B 相似, 则下列结论中不正确的是( ) (A) A 与B 有相同的迹 (B)A 与B 有相同的特征值 (C)A 与B 有相同的特征向量(D) A 与B 有相同的行列式.6、若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法错误的是（ ）A.)()()(βσασβασ+=+B. )()()(βσασβασb a b a +=+C.)()(ασασk k =D.0)0(≠σ三、判断题 1、A 、B 有相同的特征值，则A 与B 相似。
线性变换练习习题
第四章线性变换习题精解1．鉴别下边所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间 V 中，A, 此中V 是一固定的向量；2）在线性空间 V 中，A此中V 是一固定的向量；3）在P3中，A ( x1, x2, x3)( x12 , x2x3 , x32 ) ；4）在P3中，A( x1 , x2 , x3 )(2x1x2 , x2x 3 , x1 ) ；5）在 P[ x ] 中，A f (x) f (x 1)6）在 P[ x ] 中，A f (x) f (x),此中x0P 是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A8）在 P n n中，A X=BXC此中 B,C Pn n是两个固定的矩阵 .解 1)当0时,是;当0时,不是.2) 当0时,是;当0时,不是.3) 不是 . 比如当(1,0,0) ,k 2 时, k A()( 2,0,0) , A (k ) (4,0,0) , A(k)k A() .4) 是 . 因取( x1 , x2 , x3 ),( y1 , y2 , y3 ) ,有A() = A ( x1y1 , x2y2 , x3 y3 )=( 2x1 2 y1x2y2 , x2y2x3y3 , x1 y1 )=( 2x1x2 , x2x3 , x1 ) (2 y1y2 , y2 y3 , y1 )= A+ AA(k) A ( kx1, kx2,kx3)(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )=k A( )故 A是P3上的线性变换.5)是.因任取f (x)P[ x], g( x) u( x) f ( x)g( x) 则A( f (x)g( x)) =A u( x) = u( x 再令 v( x) kf (x) 则A(kf ( x))故 A 为P[ x]上的线性变换.6) 是 . 因任取f ( x) P[ x], g(x)P[ x] ,并令1) = f (x 1) g( xA (v( x))v( xP[ x] 则.1) =A f (x) + A ( g(x))1) kf (x 1) k A( f (x))A( f (x)g( x)) =f ( x0)g (x0)A( f (x))A( g(x) ) A( kf( x))kf ( x0)k A( f (x))7) 不是. 比如取a=1,k=I,则A(ka)=-i , k(A a)=i,A( ka)k A(a)8) 是 . 因任取二矩阵 X , Y P n n , 则A X Y) B(XY)C BXC BYC A XA(+A X)=B(kX ) k( BXC )k A X(k故 A 是 P n n 上的线性变换 .2. 在几何空间中 , 取直角坐标系 oxy, 以 A 表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换,, 以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转90 度的变换 , 以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90度的变换 . 证明 :A 4 =B 4 =C 4 =E,AB BA,A 2 B 2 =B 2 A 2并查验 ( AB ) 2 =A 2 B 2 能否建立 .解 任取一直量 a=(x,y,z), 则有1)由于A a=(x,-z,y), A 2 a=(x,-y,-z) A 3 a=(x,z,-y),A 4 a=(x,y,z)a=(z,y,-x),2a=(-x,y,-z)BBB 3 a=(-z,y,x), B 4 a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2 a=(-x,-y,z) C 3 a=(y,-x,z),C 4 a=(x,y,z)所以A 4 =B 4 =C 4 =E2) 由于AB (a)= A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)= B (x,-z,y)=(y,-z,-x)所以AB BA3) 由于A 2B 2 (a)= A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)B 2 A 2 (a)= B 2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以A 2B 2 =B 2 A 23)由于( AB) 2 (a)=( AB)( AB(a))_= AB(z,x,y)=(y,z,x) 22A B (a)=(-x,-y,z)( ) 22B 2AB A3. 在 P[x] 中, A f ( x) f ' ( x), B f (x) xf (x)证明 : AB-BA=E证任取 f ( x) P[x],则有( AB-BA) f ( x) =AB f ( x)-BA f ( x)=A( xf (x)) - B( f'( x)) = f ( x)xf ; ( x) - xf ' ( x) = f ( x)所以AB-BA=E4.设 A,B 是线性变换,假如 AB-BA=E,证明:A k B-BA k = k A k 1(k>1)证采纳数学概括法.当 k=2 时A 22222 B-BA =(A B-ABA)+(ABA-BA )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=A结论建立 .概括假定k m 时结论建立,即 A m B-BA m=m A m 1 . 则当k m 1时有,A m 1 B-BA m 1 =(A m 1 B-A m BA)+(A m BA-BA m 1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A m 1 A= ( m1) A m即 k m 1 时结论建立.故对全部 k 1结论建立.5. 证明 : 可逆变换是双射 .证设 A 是可逆变换, 它的逆变换为 A 1 .若a b , 则必有A a A b,否则设Aa=A b,两边左乘A 1 ,有a=b, 这与条件矛盾.其次 , 对任一直量b, 必有 a 使A a=b, 事实上, 令 A 1 b=a即可.所以 , A是一个双射.6. 设 1 , 2 ,,n 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
线性变换习题课
有限维子空间是不变子空间的判定
设W L(1 ,2 , , s )是V的子空间,则W 是 的不变子空间 (i ) W , i 1, 2, , s.
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对于一维子空间W L( ),则W 是的不变子 空间 是的特征向量.
不变子空间在化简线性变换的矩阵时的作用
是直和, 且是 的不变子空间.
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6. 对角化的条件及其方法 1) 对角化概念
可对角化: 在V的某组基下的矩阵是对角阵.
A可对角化 : 存在可逆矩阵T ,使T 1 AT为对角阵. 2) 对角化的条件
充要条件 (1) (或A)可对角化 (或A)有n个线性无关
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例3 设 是数域P上n维线性空间V的一个线 性变换.证明 : 是数乘变换的充要条件是 在V
的任何基下的矩阵都相同.(P323 13)
证 充分性 设 在基1 ,2 , ,n下的矩阵
为A (aij )nn .只要证明A为数量矩阵即可.
设X 是任一可逆矩阵, 作
(1 , 2 , , n ) (1 ,2 , ,n )X 则1 , 2 , , n也是V的基, 在这个基下的矩阵是
(E21 )
AE21
1
0
1
0
0
0
E11 0E12 0E21 0E22
(E22 )
AE22
2
1
10
0
0
0 0
1
0
1 0
0E11 E12 0E21 0E22
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高等代数习题线性变换
A( X 1 + X 2 ) = λ ( X 1 + X 2 ) ， 其 中 λ 是 A 的 一 个 特 征 根 ， 从 而
λ1 X1 + λ2X 2 = λX 1 + λX 2 ，即 ( λ − λ1 ) X 1 + (λ − λ2 ) X 2 = 0 ，但 X 1 , X 2 线性无关，故
λ − λ1 = 0, λ − λ 2 = 0 ，由此得 λ = λ1 =λ 2 ，与 λ1 ≠ λ2 矛盾，故 X 1 + X 2 不是 A 的
= ( 2 x1 + x2 − x3 , x2 , x3 ) 。 (σ − τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) − τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
σ 2 ( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1 , x2 , x1 + x2 ) = ( x1, x2 , x1 + x2 ) .∴ σ 2 = σ 。
(2) (σ + τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) + τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) + ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L ＋ k mσ (α m ) = 0 . 两 端 用 σ −1
作 用 得 :
k1α 1 + L ＋ k mα m = 0 . 由已知 α1 ,α 2 , L , α m 线性无关 , 所以 : k1 = k2 = L = k m = 0 . 故 σ (α1 ), σ (α 2 ),L , σ (α m ) 线性无关。
最新第七章线性变换练习题参考答案整理
第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换在这组基下的矩阵是33112233(),,ij Aa xxxV 则在基321,,下的矩阵B ＝1,T AT 而可逆矩阵T ＝0010101满足1,B TAT 在基123,,下的坐标为123x A x x . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间nP 的线性变换:(),n A P ,则1(0)＝|0,nAP，1dim(0)＝n r ，dim()nP ＝r .3．复矩阵()ij n n Aa 的全体特征值的和等于1nii i a ，而全体特征值的积等于||A .4．设是n 维线性空间V 的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为__数乘__变换 .5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P 同构.6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()nf f f .7．设2231A，则向量11是A 的属于特征值 4的特征向量．8．若1001011A与1010101k Bk相似，则k = -1/2 ．9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23f ，则||A 3 ．10．n 阶方阵A 满足A A 2，则A 的特征值为 0和1 ．11．线性空间3R 上的线性变换为A ),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ，变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321下的矩阵为10203321.二、判断题1．设是线性空间V 的一个线性变换，12,,,sV 线性无关，则向量组12(),(),,()s也线性无关. （错）2．设为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝n ，有1()(0).VV （错）未必有1()(0).VV 3．在线性空间2R 中定义变换：(,)(1,)x y x y ，则是2R 的一个线性变换.（错）零向量的像是（1,0）4．若为n 维线性空间V 的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0)＝｛0｝.（正确）是可逆的当且仅当是双射.5．设为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W 是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W 为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||A ．（正确）7．已知1PBP A，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（正确）1P APB ，P 的列向量为A 的特征向量.8．为V 上线性变换，n,,,21为V 的基，则)(,),(),(21n线性无关．（错）当可逆时无关，当不可逆时相关.9．为V 上的非零向量，为V 上的线性变换，则})(|{)(1是V 的子空间．（错）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T A T 成对角形.133313331A解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331EA.矩阵A 的特征值为12,37,2.当17时，解方程组1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'.当2,32时，解方程组1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'.矩阵A有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵11111011T有1722T AT2．在线性空间n P 中定义变换：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x （1）证明：是nP 的线性变换.（2）求()nP 与1(0).（1）证明：112222(,,,)(0,,,)nn n n x y x y x y x y x y 221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y12122((,,,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x .所以是n P 的线性变换.（2）2()(0,,,)|,2,,.n n iP x x x P i n .111(0)(,0,,0)|.x x P 3．设aA33242111与bB00020002相似．（1）求b a,的值；（2）求可逆矩阵，使B APP 1．解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有45,46 6.b a ba 所以5,6ab.(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335EA 特征值为1,232,6.当1,22时，解方程组1231231230,2220,3330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'.当16时，解方程组12312312350,2220,330.x x x x x x x x x 得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'.因此可取矩阵011102113P，有B AP P 1.4．令nn P 表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ，对任意的nn PX，定义()''X A XAB XB .证明是nn P上的一个线性变换.证明：对任意的,,n n X YP k P ，有()'()'()''''()(),XY A X Y A B X Y BA XAB XB A YA B YBX Y ()'()'()('')()kX A kX A B kX Bk A XAB XB k X .因此是n n P 上的一个线性变换.。
第七章-线性变换-综合练习
第七章 线性变换综合练习一．判断题1.数域上的向量空间的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ F ）2．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )).3R 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-σ3R 3．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )[]n R x 2(())()f x f x σ=σ[]n R x 4．两个向量空间之间的同构映射的逆映射还是同构映射. ( )σ1-σ5．取定, 对任意的阶矩阵, 定义,n n A F ⨯∈n n n X F ⨯∈()X AX XA σ=-则是的一个线性变换.σn n F ⨯6．向量空间的可逆线性变换的核是空集.( )V σ)(σKer 7．在向量空间中, 已知线性变换 3R 1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,).x x x x x x x x x x x x x στ=++=则. ( )12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-8．设为维向量空间上的线性变换，则．（ ）σn V Im()ker()V σσ+=9．向量空间的两个线性变换,为；2R στ12121(,)(,)x x x x x σ=-12122(,)(,)x x x x x τ=-则（ ）212212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+10．在取定基后, 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. （）V 11．数域上的向量空间及其零子空间, 对的每个线性变换来说, 都是不变子空间. （） F V V 12．若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取 21,ααF A 0λ也是的属于的特征向量．（ ）221121,,ααk k F k k +∈A 0λ13． 线性变换的本征向量之和, 仍为的本征向量. （ ）σσ14．属于线性变换同一本征值的本征向量的线性组合仍是的本征向量. （ ）σ0λσ15．线性变换在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化. （ ）.σσ16．复数域看作实数域上的向量空间是1维的. ( )17．是向量空间的线性变换, 向量组线性无关,σV 12,,,m αααL 那么也线性无关． ( )12(),(),,()m σασασαL 18．向量空间的线性变换的值域与的核都是的不变子空间． ( )V σIm()σσker()σσ19．若矩阵与具有相同的特征多项式，则与相似． ( )A B A B 20．向量空间中子集构成的一维子空间. ( )n P (){}P a a a a ∈,,,L n P 21．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空ξσλξσ间.（ ）22. 是向量空间的线性变换, 向量组线性相关,σV m ααα,,,21L 那么也线性相关. （ ）)(,),(),(21m ασασασL 23. 为V 上线性变换，为V 的基，则线性无关．σn ααα,,,21L )(,),(),(21n ασασασL 24. 在中，定义变换：，则是的线性变换．（ ）][x P σ)1())((+=x f x f σσ][x P 25. 向量空间中任意两个子空间的并集一定不是的子空间. （ ）V V 26. 向量空间的每一个线性变换都有本征值. （ ）27. 是向量空间的一个变换，,若 ，有，则是的线性变换. （ σV V ∈αV ∈∀ξa +=ξσξσV ）28. 如果阶矩阵可逆，则矩阵与一定相似．（ ）．n A AB BA 29. 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是．n 0||=A 30. 为V 上的非零向量，为V 上的线性变换，则是V 的子空间．ασ})(|{)(1αησηασ==-二、单选题1．维向量空间的线性变换有个不同的特征值，是与对角矩阵相似的（ ）．n V σn σ A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．2．矩阵相似，则下列描述中不正确的是（ ）B A 与A ．； B ． 是数域上的多项式，则；B A =)(x f P ()()B f A f ~C ．；D ．一定相似于对角形矩阵.()()R A R B =B A 与3. 阶矩阵有个不同的特征根是与对角矩阵相似的 ( ).n A n A A ．充分而非必要条件； B 必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4. 令是R 3的任意向量，则映射（ ）是R 3的线性变换。
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线性变换习题一、填空题1. 设σ是3P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ∀∈，1(1,0,0),ε=2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为_______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。
2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=，n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。
3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是112201121-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。
4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。
5. 设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。
6. 若n nA P⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。
7. 在[]n P x 中，线性变换D(()f x )'()f x =，则D 在基211,,,,n x x x -下的矩阵为 。
8. 在22P⨯中，线性变换10:20A A σ⎛⎫→⎪⎝⎭在基121001,,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭300,10E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 40001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭下的矩阵是 。
9. 设321502114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ，1λ2λ3λ= 。
10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，它与 同构。
11. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则=||A 。
13. 设σ为数域P 上的线性空间V 的线性变换,若σ是单射,则1(0)σ-= 。
14. 设三阶方阵A 的特征值为1,2,-2,则|2|A = 。
15. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,2,3,,n x x nx -下的矩阵为 。
16. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。
17. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是112201121-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则σ 在基213,,ααα下的矩阵是 。
18. 设线性变换σ在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011，线性变换τ在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101，那么στ+在基21,εε下的矩阵为 . 19. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
20. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基321,,εεε下的 矩阵为 。
21. 在3R 中，若向量组1(1,1,0)t α=+，2(1,2,0)α=，23(0,0,1)t α=+线性相关，则t = 。
22. 若线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为211011121-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基321,,εεε下的矩阵为矩阵为 。
23. 若n n A P ⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。
二、选择题1. 下列哪种变换一定是向量空间[]n F x 的线性变换（ ）。
A ．()()()x x f x f +=δB ．()()()dx x f x f ⎰=δC ．()()()x f x f '=δD ．()()()()x f x f x f +=2δ2. 当n 阶矩阵A 适合条件（ ）时，它必相似于对角阵。
A ．A 有n 个不同的特征向量B ．A 是三角矩阵C ．A 有n 个不同的特征值D ．A 是可逆矩阵 3. 设δ是向量空间V 上的线性变换，且δδ22=，则δ的所有特征值为（ ）。
A ．2 B ．0，2 C ．0 D ．0，2，1 4. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。
A ．σ()321,,x x x =()333123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()33221,,2x x x x x -- C ．σ()321,,x x x =()0,sin ,cos 21x x D ．()123,,x x x σ=()21,0,0x5. 设12,,,r ααα是向量空间V 的线性相关的向量组，σ是V 的一个线性变换，则向量组12,,,r ααα在σ下的像12(),(),,()r σασασα（ ）。
A ．线性无关B ．线性相关C ．线性相关性不确定D ．全是零向量 6. n 阶方阵A 有 n 个不同的特征值是A 可以对角化的（ ）。
A ．充要条件B ． 充分而非必要条件C ．必要而非充分条件D ． 既非充分也非必要条件 7.设σ是向量空间V 的线性变换且2σσ=，则σ的特征值（ ）。
A ．只有1B ．只有1-C ．有1和1-D ．有0和18. 如果方阵A 与对角阵111D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则10A =（ ）。
A. E B. A C. E - D. 10E9. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n阶单位矩阵，则（ ）。
A ．E A EB λλ-=- B ．A 与B 有相同的特征向量和特征值C ．A 与B 相似于同一个对角矩阵D ．B A =10. 设4级矩阵A 与B 相似，B 的特征值是1，2，3，4，则A 的行列式是（ ）。
A ．-24B ．10C ．24D ．不能确定11. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换,那么下列说法错误的是（ ）。
A.σ是单射}0{)(=⇔σKerB.σ是满射V =⇔)Im(σC.σ是双射}0{)(=⇔σKerD.σ是双射⇔σ是单位映射12. 设A 为3阶矩阵,且E A E A E A 2,,-+-均不可逆,则错误的是（ ）。
A.A 不相似于对角阵B. A 可逆C. 0||=+E AD. 0||=-E A 13. 设A 为3阶矩阵,且其特征多项式为)2)(1)(1()(-+-=λλλλf ,则错误的是（ ）。
A.A 相似于对角阵B. A 不可逆C. 0||=+E AD. 0||=-E A 14. n 维线性空间V 的线性变换可以对角化的充要条件是（ ）。
A ．σ有n 个互不相同的特征向量B ．σ有n 个互不相同的特征根C ．σ有n 个线性无关的特征向量 D. σ不存在n 个互不相同的特征根 15. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。
A ．σ()321,,x x x =()333123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()122332,5,6x x x x x ++ C ．σ()321,,x x x =()12cos ,,0x x D ．()123,,x x x σ=()2213,0,x x 16.设δ是向量空间V 上的线性变换，且2E δ=，则δ的所有特征值为（ ）。
A ．2B ．-1，1C ．0D ．0，2，1 17. n 维线性空间V 的线性变换σ可以对角化的充要条件是（ ）。
A. σ有n 个互不相同的特征向量B. σ有n 个互不相同的特征根C. σ有n 个线性无关的特征向量 D ．σ是可逆线性变换 18. 2. 设矩阵A 的每行元素之和均为1，则()一定是E A A 232+-的特征值。
A. 0B. 1C. 2D. 319. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。
A ．σ()321,,x x x =()23123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()123322,,x x x x x --C ．σ()321,,x x x =()123cos ,sin ,sin x x xD ．()123,,x x x σ=()212,,0x x20. 设()L V σ∈，则下列各式成立的是（ ）。
A. dimIm dim Ker n σσ+=B.Im Ker V σσ+=C. Im Ker V σσ⊕=D.Im {0}Ker σσ=三、计算题1. 设3[]R x 表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而1()1f x x =-，22()1f x x =+，23()2f x x x =+是3[]R x 的一组基，线性变换σ满足21()2f x x σ=+，2()f x x σ=，23()1f x x x σ=++（）求σ在已知基下的矩阵；（2）设2()123f x x x =++，求()f x σ。
2. 设σ是二维列向量空间2P 的线性变换：设122x x P x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，定义σ1111x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
（1） 求值域()2P σ的基与维数；（2）求核1(0)σ-的基与维数。
3. 设线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是111222111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（1） 求矩阵A 以及线性变换σ的特征值与特征向量；（2）判断σ是否可以对角化（即线性变换σ是否在某组基下的矩阵为对角形），若不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵T ，使1T AT -为对角形。
4. 令3R 表示实数域R 上的三元列向量空间，令111111222A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若3R β∀∈，作变换()A σββ=。
（1） 证明σ为3R 上的线性变换；（2）求ker()σ及其维数；（3）求Im()σ及其维数。
5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000121A ，（1） 求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵。
6. 令3R 表示实数域R 上的三元列向量空间，110011121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3100ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
（1） 若112223331,,αεεαεεαεε=-=-=+，证明123,,ααα为3R 的一组基； （2） 求123,,εεε到123,,ααα的过渡矩阵；（3） 若3R β∀∈，作变换()A σββ=，证明σ为3R 上的线性变换； （4） 求ker()σ及其维数； （5）求Im()σ及其维数。
7. 设σ是3R 的线性变换,12312323123(,,)(2,,2)x x x x x x x x x x x σ=+-++-。