电动力学 西南师范大学出版社 罗婉华 第八章作业答案

习题八

1．设两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为0l ，它们以相同的速率v 相对于某一参考系∑运动，但是运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度。

解：设1尺()'∑系沿∑系x 轴正向以速度v 运动，则2尺"∑系相对于∑系的速度为v -，因此在1尺上测得2尺的速度及其长度分别为

2

2

22

2/1'v

c vc c

vu v u u x x x +-=

--=

()2

2

220

2

0/'1'v

c v c l c u l l x +-=-=

2．静止长度为0l 的车厢，以速度v 相对于地面运行。车厢的后壁以速度0u 向前推出一个小球，求地面的观察者测得小球从后壁到前壁的运动时间。

解：设地面参考系∑中小球处于车厢后壁和前壁两事件的时空坐标为()11,t x 和()22,t x ，在车厢参考系'∑中时空坐标为()11','t x 和()22','t x

可直接由洛仑兹变换式

()⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+='',''2x c v t t vt x x γγ得到

002021''u l c v u x c v t t ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎭⎫

⎝⎛∆+∆=∆γγ

3．一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔，求列车上的观察者测

量到电光到达两铁塔的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都是0l .

解:设地面参考系∑中,两铁塔分别位于0102,l x l x -==,距离0122l x x x =-=∆,被照亮的时刻c l t t /021==,故012=-=∆t t t .由洛仑兹变换

()vt x x x c v t t -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=γγ','2

得列车上观测到的电光到达两铁塔的时刻差为 2

02/2'c vl x c v t t γγ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆-∆=∆

也可以用间隔不变得到.

4.在参考系∑中,有两个物体都以速度u 沿x 轴运动,在∑系看来,它们一直保持距离l 不变.今有一观察者以速度v 沿x 轴运动,他看到这两个物体的距离是多少?

解:在两物体静止的参考系'∑中,两者的距离为 2

2

2

0)

/(1u

c cl c u l l -=

-=

设观察者所在参考系为''∑系,他测得这两物体的速度为 ()

uv

c v u c

c

vu v u u x --=

--=

2

2

2

/1"

故观察者测得这两物体的距离为 ()uv

c v c cl c u l l x --=

-=2

2

22

0/"1''.

5．火箭A 和B 分别以c .80和c .60的速度相对于地球向右和向左飞行。由火箭B 的观察者测得火箭A 的速度是多少？

解 方法一：取如下对应关系：地球←→∑; 火箭B ←→

′∑; 火箭A ←→运动物

体P 。

这样一来问题变得十分明确和简单（如图所示）：求?=′x u 已知 c v .60=- c u .x 80=

∴ c u c

v v u u .

x

x x 9460=1=

′2

--

方法二：取火箭A ←→∑；火箭B

←→

′∑；地球←→运动物体P ，则如图所

示，地球有两个速度

c u .x 80=-，c u .

x 60=′，实际上是求

′)(∑B 相对于∑)(A 的运动速度。 2

1=

′c

vu v u u x x x --

即2

)0(10=

60c

c v v c c .

.

.8---8- 解得 c v .9460=-

这里的结果与方法一差一个符号，这只能说明速度的相对意义，因为只讲“一个物体的速度”，而不讲“谁相对于谁的速度”是毫无意义的。

6．两电子在实验室看来都是c .850的速度相向飞行，问两者的相对速度是多少？

解 设一个电子2相对于另一个电子1飞行速度为v

c v

c c

v c

v c c v c ...

.

.85858585-0+0+=

•0+

10+=

8502

故c v v c c ...850+=8508502--

[]c v ..850×2=)850(+12-

∴ c c v .

..990=)

0(+10×2=2

-8585

-

即电子2相对电子1的运动速度为c .990.

7．写出能量动量矢量在Lorentz 变换下的变换式。（写出各个分量的变换显示式） 解: 能量与动量构成四维矢量),(W c

i

p

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛γβγ-βγγ

=⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛''''W

c

i i i W c

i 32

1

321p p p 0

00

1

000

1000p p p 由此得⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧

-γ='='='-γ='⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨

⎧

+β-γ='='

='-γ=')

p (p p p p )(p p )

p (p p p p )(p p 1332

22

1121332

22

11v W W W c

i W c i

i W c

i W c

i 8．一个静止的π介子衰变成一个μ介子和中微子v ，试用两个介子的质量πm 和μm 来表示逸出的μ介子的动量(0=v m )。

解: 衰变前：2

1c m W π=

01=p 衰变后：v μW W W +=2 v μp p p +=2 动量守恒要求 μv p p -= 能量守恒要求 2c m W W v μπ=+ 现在 c p W v v = c p W μμ= v