中考数学 相似综合试题

中考数学相似综合试题

一、相似

1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得

∴抛物线解析式为：y= x2−x−1

∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1

（2）解：存在

使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小

∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．

设过点C′、O直线解析式为：y=kx

∴k=-

∴y=- x

则P点坐标为（1，- ）

（3）解：当△AOC∽△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点

设点N坐标为（a，- a-1）

由△EDN∽△OAC

∴ED=2a

∴点D坐标为（0，- a−1）

∵N为DM中点

∴点M坐标为（2a，a−1）

把M代入y= x2−x−1，解得

a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

由（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。

（3）分情况讨论：当△AOC∽△MNC时，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E，由∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°得出∠CDN=∠CAO，再证明∠CDN=∠CMN，根

据MN⊥AC，可得出M、D关于AN对称，则N为DM中点，设点N坐标为（a，- a-1），根据△EDN∽△OAC，得出点D、M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求出a的值，即可得出点N的坐标；当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM，得出CM∥AB 则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N，就可求出点N的坐标。

2．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.

（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；

（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．

【答案】（1）解：设，

则a=3k，b=2k，c=6k，

又∵a+2b+c=26，

∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，

∴a=6，b=4，c=12；

∴2b=8，b2=16

∵a=6，2b=8，c=12，b2=16

∴2bc=96，ab2=6×16=96

∴2bc=ab2

a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，

∴x2=6ab，

∴x2=6×4×6，

∴x=12．

【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入

a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。3．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

【答案】（1）解：当x=0,y=3，

所以C（0,3）

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x- ).

将C（0,3）代入得- a=3，解得a=-2

所以抛物线的解析式为y=-2x2+x+3

（2）解：过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N，如图1，

∵OC=3，AO=1，

∴tan∠CAO=3.

∴直线AC的解析式为y=3x+3.

∵AC⊥BM，

∴BM的一次项系数为- .

设BM的解析式为y=- x+b,将点B的坐标代入得：- × +b=0,解得b= .∴BM的解析式为y=- x+ .

将y=3x+3与y=- x+ 联立解得：x=- ，y= .

∴MC=BM= = .

∴∆MCB为等腰三角形.

∴∠ACB=45°.

（3）解：如图2所示，延长CD，交x轴于点F.

∵∠ACB=45°,点D是第一象限抛物线上一点，

∴∠ECD＞45°.

又∵∆DCE与∆AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°,

∴∠CAO=∠ECD.

∴CF=AF.

设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4.

∴F（4,0）.

设CF的解析式为y=kx+3，将F（4,0）代入得：4k+3=0，解得k=- .

∴CF的解析式为y=- x+3.

将y=- x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0（舍去）或x= .

将x= 代入y=- x+3得y=