中考数学综合试题含答案

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中考综合模拟测试《数学试卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题1. 下列四个实数中，是无理数的为( ) A.B.27C. D.32. 如图所示的几何体的左视图是( )A. B. C. D.3. 如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70°，∠E ＝30°，则∠C 等于( )A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°4. 如果分式||11x x -+的值为0，那么的值为( ) A. -1B. 1C. -1或1D. 1或05. 下列计算正确的是( ) A. 66122a a a += B. 25822232-÷⨯= C. ()721120a a a a ⋅-⋅=-D. ()32233122ab a b a b ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭6. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为( ) A. 275×104B. 2.75×104C. 2.75×1012D. 27.5×10117. 如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC =90°，∠BCD =60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( )A. 30°B. 15°C. 45°D. 25°8. 若不等式组11324x xx m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则的取值范围为( )A 2m ≤B. 2m <C. 2m ≥D. 2m >9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为( )A. (3，2)B. (3，1)C. (2，2)D. (4，2)10. 如图，BC 是半圆的直径，，是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为( )A. 35︒B. 38︒C. 40︒D. 42︒二、填空题11. 1483的结果是_____． 12. 将一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝2，则CD 的长为______．13. 在光明中学组织的全校师生迎”五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数是_______．14. 在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．三、解答题15. 计算：2216313969a a a a a +⎛⎫-+÷ ⎪+--+⎝⎭． 16. 解分式方程：31133x x-=-- ______________． 17. 已知如图，△ABC 中，AB ＝AC ，用尺规在BC 边上求作一点P ，使△BP A ∽△BAC (保留作图痕迹，不写作法)．18. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位：min )进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图．组别课前预习时间/t min频数(人数)频率1 010t ≤<2 21020t ≤<0.103 2030t ≤< 16 0.324 3040t ≤< 540t ≥3请根据图表中的信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为，表中的a = ，b = ，c = ; (2)试计算第4组人数所对应扇形圆心角的度数;(3)该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min 的学生人数． 19. 某商场运动服装专柜，对,A B 两种品牌的远动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．第一次第二次品牌运动服装数/件 20 30 品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元1020014400(1)问,A B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元?(2)由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服?20. 在如图菱形ABCD 中，点是BC 边上一点，连接AP ，点,E F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．(1)求证：ABF DAE ≌;(2)求证：DE BF EF =＋．21. 2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用”硬科技”打造了最具独特的风景线，2018”西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F点，此时，他测得F点都塔顶A点的俯视角为30°，同时也测得F点到塔底C 点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度(结果精确到01米)?(3≈1.73，2≈1.41)．22. 如图，点A(32，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数nyx(x＞0)图象的两个交点．AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．(1)求直线AB的表达式;(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2－S1．23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B(不含O 点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;(3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积最大值．24. 问题探究(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为;(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由;问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=42，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题1. 下列四个实数中，是无理数的为()A. B. 27C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根据无理数的定义”也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比”即可．【详解】由无理数的定义得：四个实数中，只有3是无理数故选：D．【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．2. 如图所示的几何体的左视图是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】从左向右看，得到的几何体的左视图是．故选B．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3. 如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠C等于( )A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°【答案】B 【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠A ＝∠EFD ，再根据三角形的外角性质求出∠C 即可．【详解】解：∵AB ∥CD ，∠A ＝70°， ∴∠EFD ＝70°， ∵∠E ＝30°， ∴∠C ＝40°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠EFD 的度数和求出∠EFD ＝∠A ． 4. 如果分式||11x x -+的值为0，那么的值为( ) A. -1 B. 1C. -1或1D. 1或0【答案】B 【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【详解】根据题意，得 |x|-1=0且x+1≠0，解得，x=1．故选B ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0;(2)分母不为0．这两个条件缺一不可． 5. 下列计算正确的是( ) A. 66122a a a += B. 25822232-÷⨯= C. ()721120a a a a ⋅-⋅=- D. ()32233122ab a b a b ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据整式的加减、有理数的乘方运算、同底数幂的乘法、积的乘方逐项判断即可．【详解】A 、6662a a a +=，此项错误B 、25825825822222222-----+=⨯=÷⨯⨯=，此项错误C 、()7211271120a a a a a ++⋅-⋅=-=-，此项正确D 、()()322236751128422ab a b ab a b a b ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，此项错误故选：C ．【点睛】本题考查了整式的加减、有理数的乘方运算、同底数幂的乘法、积的乘方，熟记各运算法则是解题关键．6. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为( ) A. 275×104 B. 2.75×104 C. 2.75×1012 D. 27.5×1011 【答案】C 【解析】【详解】解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012．故选C ．【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数．7. 如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC =90°，∠BCD =60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( )A. 30°B. 15°C. 45°D. 25°【答案】B 【解析】解：∵∠DBC =90°，E 为DC 中点，∴BE =CE =12CD ，∵∠BCD =60°，∴∠CBE =60°，∴∠DBF =30°，∵△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ABD =45°，∴∠ABF =75°，∴∠AFB =180°﹣90°﹣75°=15°，故选B ．8. 若不等式组11324x xx m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则的取值范围为( )A. 2m ≤B. 2m <C. 2m ≥D. 2m >【答案】A 【解析】【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得．【详解】解不等式1132x x+<-，得：x ＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8，解得m≤2，故选A ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知”同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为( )A (3，2) B. (3，1) C. (2，2) D. (4，2)【答案】A 【解析】【详解】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴AD BG =13， ∵BG =6， ∴AD =BC =2， ∵AD ∥BG ， ∴△OAD ∽△OBG ，∴OA OB =13， ∴2OAOA +=13，解得：OA =1，∴OB =3， ∴C 点坐标为：(3，2)，故选A ．10. 如图，BC 是半圆的直径，，是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为( )A. 35︒B. 38︒C. 40︒D. 42︒【答案】C 【解析】【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【详解】连接CD ，如图所示：∵BC 是半圆O 的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°， ∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质;熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题11. 计算14893-的结果是_____．【答案】3【解析】【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．【详解】解：14893-4333=-=3故答案为3．【点睛】此题考查二次根式的加减运算，注意先化简，再合并．12. 将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为______．【答案】12﹣3【解析】【分析】如图(见解析)，过点B作BG CF⊥于点G，先根据直角三角形的性质、平行线的性质得出45,60,2BCF EDF BC∠=︒∠=︒=,CG DG的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点B作BG CF⊥于点G90,45ACB A∠=︒∠=︒9045ABC A∴∠=︒-∠=︒，即45ABC A∠=∠=︒122BC AC∴==//AB CF45ABCBCF∴==∠∠︒Rt BCG为等腰直角三角形2122CG BG BC ∴=== 又90,30F E ∠=︒∠=︒9060EDF E ∴=︒-∠=∠︒在Rt BDG 中，tan BG BDG DG ∠=，即12tan 60DG︒= 解得121243tan 603DG ===︒1243CD CG DG ∴=-=-故答案：1243-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形，进而运用到解直角三角形的方法是解题关键．13. 在光明中学组织的全校师生迎”五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数是_______．【答案】96分【解析】【分析】先根据图得出这25名同学的得分，再根据中位数的定义即可得．【详解】由图可知，得分为94分的有5人，得分为96分的有8人，得分为98分的有9人，得分为100分的有3人则将这25名同学的得分按从小到大的顺序进行排序，排在第13位的得分为96分由中位数的定义得：这些成绩的中位数是96分故答案为：96分．【点睛】本题考查了中位数的定义，读懂图形，掌握中位数的定义是解题关键．14. 在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．【答案】14【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【详解】如下图所示，小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果， ∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41164=，故答案为14．【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答三、解答题15. 计算：2216313969a a a a a +⎛⎫-+÷ ⎪+--+⎝⎭．【答案】63a + 【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】原式223319(3)a a a a ++=-÷--23(3)1(3)(3)3a a a a a +-=-⋅+-+313a a -=-+ 3(3)3a a a +--=+ 63a =+. 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键． 16. 解分式方程：31133x x-=-- ______________．【答案】x ＝7 【解析】【分析】方程两边都乘以最简公分母，注意不要漏乘没有分母的项;去括号，移项合并同类项，即可求得方程的解．【详解】解：方程两边都乘以(x-3),得：3-(x-3)=-1 去括号，移项，得：-x=-1-6 合并同类项，得：x=7 经检验，x=7是原方程的根故答案为：x=7【点睛】本题考查了解分式方程，注意在去分母时，不要漏乘没有分母的项，解分式方程必须验根． 17. 已知如图，△ABC 中，AB ＝AC ，用尺规在BC 边上求作一点P ，使△BP A ∽△BAC (保留作图痕迹，不写作法)．【答案】详见解析【解析】【分析】作出AB 的垂直平分线，可得BP ＝AP ，则∠PBA ＝∠BAP ，进而得出△BPA ∽△BAC ．【详解】解：如图所示：点P 即为所求，此时△BPA ∽△BAC ．【点睛】此题主要考查了相似变换以及复杂作图，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．18. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级(1)班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间(单位：min)进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图．组别课前预习时间/t min频数(人数) 频率t≤< 21 010t≤<0.102 1020t≤<16 0.323 2030t≤<4 3040t≥ 35 40请根据图表中的信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为，表中的a=，b=，c=;(2)试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数;(3)该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数．【答案】(1)50，5，24，0.48;(2)第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为172.8;(3)九年级每天课前预习时间不少于20min的学生约有860人.【解析】【分析】(1)根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到a的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量-其他小组的人数即可得到b，用b÷本次调查的样本容量得到c;(2)根据4组的人数占总人数的百分比乘上360°，即可得到扇形统计图中”4”区对应的圆心角度数;(3)根据每天课前预习时间不少于20min的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果．【详解】(1)16÷0.32=50，a=50×0.1=5，b=50-2-5-16-3=24，c=24÷50=0.48;故答案为50，5，24，0.48;(2)第4组人数所对应的扇形圆心角的度数=360°×0.48=172.8°;(3)每天课前预习时间不少于20min的学生人数的频率=1-250-0.10=0.86，∴1000×0.86=860，答：这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数是860人．【点睛】本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．19. 某商场的运动服装专柜，对,A B两种品牌的远动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．(1)问,A B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?(2)由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服?【答案】(1),A B两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元;(2)最多能购进65件品牌运动服. 【解析】【分析】(1)直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案;(2)利用采购B品牌的件数比A品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．【详解】(1)设,A B两种品牌运动服的进货单价分别为元和元.根据题意，得203010200304014400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解之，得240180x y =⎧⎨=⎩.经检验，方程组的解符合题意.答：,A B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元.(2)设购进品牌运动服件，则购进品牌运动服352m ⎛⎫+⎪⎝⎭件， ∴32401805213002m m ⎛⎫++≤⎪⎝⎭，解得，40m ≤.经检验，不等式的解符合题意，∴3354056522m +≤⨯+=. 答：最多能购进65件品牌运动服.【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 20. 在如图菱形ABCD 中，点是BC 边上一点，连接AP ，点,E F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．(1)求证：ABF DAE ≌;(2)求证：DE BF EF =＋．【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得到AB=AD ，AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠BOA=∠DAE ，等量代换得到∠BAF=∠ADE ，求得∠ABF=∠DAE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论; (2)根据全等三角形的性质得到AE=BF ，DE=AF ，根据线段的和差即可得到结论．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB AD =，AD BC ∥， ∴BPA DAE ∠=∠.在ABP ∆和DAE ∆中，又∵ABC AED ∠=∠， ∴BAF ADE ∠=∠.∵ABF BPF ∠=∠且BPA DAE ∠=∠， ∴ABF DAE ∠=∠，又∵AB DA =， ∴()ABF DAE ASA ≅ (2)∵ABF DAE ≅， ∴AE BF =，DE AF =. ∵AF AE EF BF EF =+=+， ∴DE BF EF =+.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 21. 2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用”硬科技”打造了最具独特的风景线，2018”西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F 点，此时，他测得F 点都塔顶A 点的俯视角为30°，同时也测得F 点到塔底C 点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC ＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度(结果精确到0.1米)?(3≈1.73，2 ≈1.41)．【答案】大雁塔的大体高度是65.1米．【解析】【分析】作FD ⊥BC ，交BC 的延长线于D ，作AE ⊥DF 于E ，则四边形AODE 是矩形．解直角△CDF ，得出CD ＝DF ＝185米，那么OD ＝OC+CD ＝208米，AE ＝OD ＝208米．再解直角△AEF ，求出EF ＝AE•tan ∠FAE ＝20833米，然后根据OA＝DE＝DF﹣EF即可求解．【详解】解：如图，作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE是矩形．由题意，可知∠FAE＝30°，∠FCD＝45°，DF＝185米．在直角△CDF中，∵∠D＝90°，∠FCD＝45°，∴CD＝DF＝185米，∴OD＝OC+CD＝208米，∴AE＝OD＝208米．在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠FAE＝30°，∴EF＝AE•tan∠FAE＝208×33＝20833(米)，∴DE＝DF﹣EF＝185﹣20833≈185﹣119.95≈65.1(米)，∴OA＝DE≈65.1米．故大雁塔的大体高度是65.1米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．22. 如图，点A(32，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数nyx(x＞0)图象的两个交点．AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．(1)求直线AB 的表达式;(2)△ABC 和△ABD 的面积分别为S 1，S 2，求S 2－S 1．【答案】(1)463y x =-+;(2)34 【解析】【分析】(1)先由A 点坐标求出反比例函数的表达式，再求出B 点坐标，最后运用待定系数法求直线AB 的表达式即可;(2)ABC 的面积可由”底乘高除以2”直接求得，ABD △的面积运用”补”的思想求出，然后两者作差即可得．【详解】(1)由点3(,4)2A 在反比例函数(0)n y x x=>的图象上 ∴432n=∴6n = ∴反比例函数的表达式为6(0)y x x=> 将点(3,)B m 代入6y x =得623m == ∴(3,2)B设直线AB 的表达式为y kx b =+ 将点3(,4),(3,2)2A B 代入得34232k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得436k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 则直线AB 的表达式为463y x =-+;(2)由点A 、B 的坐标得4AC =，点B 到AC 的距离为33322-= ∴1134322S =⨯⨯= 如图，设直线AB 与y 轴的交点为E令0x =得6y =，则点E 坐标为(0,6)E(0,1)D∴615DE =-=由点3(,4),(3,2)2A B 得：点A 、B 到DE 的距离分别为32，3 ∴2113155352224BDE ADE S S S=-=⨯⨯-⨯⨯= 则21153344S S -=-=．【点睛】本题考查了运用待定系数法求反比例函数、一次函数的表达式，在平面直角坐标系中求几何图形的面积，正确求出两个函数的表达式是解题关键．23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (﹣2，0)，点B (4，0)，与y 轴交于点C (0，8)，连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点)，且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似点P 的坐标;(3)作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．【答案】(1) y ＝﹣x 2+2x +8;(2)点P (1523,416);(3)165 【解析】【分析】(1)将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解;(2)只有当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ，可得：PE ＝4AE ，设点P 坐标(4k ﹣2，k )，即可求解; (3)利用Rt △PFD ∽Rt △BOC 得： 2()PFD BOC S PD S BC=，再求出PD 的最大值，即可求解．【详解】解：(1)将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：42016408a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：a = -1，b =2，c =8，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +8;(2)∵点A (﹣2，0)、C (0，8)，∴OA ＝2，OC ＝8，∵l ⊥x 轴，∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°，∵∠P AE ≠∠CAO ，∴只有当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ，此时AE PE CO AO =，即：82AE PE =， ∴AE ＝4PE ，设点P 的纵坐标为k ，则PE ＝k ，AE ＝4k ，∴OE ＝4k ﹣2，将点P 坐标(4k ﹣2，k )代入二次函数表达式并解得：k ＝0或2316(舍去0)，则点P (1523,416); (3)在Rt △PFD 中，∠PFD ＝∠COB ＝90°，∵l ∥y 轴，∴∠PDF ＝∠COB ，∴Rt △PFD ∽Rt △BOC ， ∴2()PFD BOC S PD S BC=， ∴S △PDF ＝2()PD BC •S △BOC ，而S △BOC ＝12OB •OC ＝12×4×8=16，BC==∴S △PDF ＝2()PD BC•S △BOC ＝15PD 2，即当PD 取得最大值时，S △PDF 最大，将B 、C 坐标代入一次函数表达式y kx b =+得：408k b b +=⎧⎨=⎩，解得：28k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为：y ＝﹣2x +8，设点P (m ，﹣m 2+2m +8)，则点D (m ，﹣2m +8)，则PD ＝﹣m 2+2m +8+2m ﹣8＝﹣(m ﹣2)2+4，当m ＝2时，PD 的最大值为4，故当PD ＝4时，∴S △PDF ＝15PD 2＝165．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想把代数和几何结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求得线段之间的关系是正确解答本题的关键.24. 问题探究(1)如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，则线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系为 ;(2)如图②，在△ADC 中，AD=2，CD=4，∠ADC 是一个不固定的角，以AC 为边向△ADC 的另一侧作等边△ABC ，连接BD ，则BD 的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由; 问题解决(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线AC的长是否存在最大值?若存在，请求出其最大值;若不存在，请说明理由．【答案】(1)BE+DF=EF;(2)存在，BD的最大值为6;(3)存在，AC的最大值为26．【解析】【分析】(1)作辅助线，首先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AEG，进而得到EF=FG问题即可解决;(2)将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE，由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，可得DE=BD，根据DE＜DC+CE，则当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，问题即可解决;(3)以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，由旋转的性质得△DBE是等边三角形，则DE=AC，根据在等边三角形BCE中，EF⊥BC，可求出BF，EF，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，可求出DF，则AC=DE≤DF+EF，代入数值即可解决问题.【详解】(1)如图①，延长CD至G，使得DG=BE，∵正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠AFG=90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AEG，∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，故答案为BE+DF=EF;(2)存在．在等边三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE=BD，∴在△DCE中，DE＜DC+CE=4+2=6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6;(3)存在．如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB=BD，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE=AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF=BC=2，∴EF=BF=×2=2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，∴DF=BC=×4=2，∴AC=DE≤DF+EF=2+2，即AC的最大值为2+2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及旋转的性质.。

2024年安徽省中考真题数学试卷含答案解析

安徽省2024年中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．﹣5的绝对值是（）A ．5B ．﹣5C ．15-D ．15【答案】A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A ．2．据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（）A ．70.94410⨯B ．69.4410⨯C ．79.4410⨯D ．694.410⨯【答案】B【分析】本题考查了科学记数法，先把944万转化为9440000，再根据科学记数法：10n a ⨯（110a ≤<，n 为整数），先确定a 的值，然后根据小数点移动的数位确定n 的值即可，根据科学记数法确定a 和n 的值是解题的关键．【详解】解：944万694400009.4410==⨯，故选：B ．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义．【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D 选项．故选：D ．4．下列计算正确的是（）A ．356a a a +=B ．632a a a ÷=C ．()22a a -=Da=5．若扇形AOB 的半径为6，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π6．已知反比例函数()0ky k x=≠与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】A【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出231y =-=-，代入反比例函数求解即可7．如图，在Rt ABC △中，2AC BC ==，点D 在AB 的延长线上，且CD AB =，则BD 的长是（）A B C ．2D ．8．已知实数a ，b 满足10a b -+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（）A ．12a -<<B ．112b <<C ．2241a b -<+<D ．1420a b -<+<【答案】C∴442a -<<-，021b <<，∴4421a b -<+<-，选项D 错误，不符合题意；故选：C9．在凸五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE =，F 是CD 的中点．下列条件中，不能推出AF 与CD 一定垂直的是（）A ．ABC AED ∠=∠B ．BAF EAF ∠=∠C ．BCF EDF ∠=∠D ．ABD AEC∠=∠【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键．利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．【详解】解：A 、连结AC AD 、，∵ABC AED ∠=∠，AB AE =，BC DE =，∴()SAS ACB ADE ≌，∴AC AD=又∵点F 为CD 的中点∴AF CD ⊥，故不符合题意；B 、连结BF EF 、，∵AB AE =，BAF EAF ∠=∠，AF AF =，∴()SAS ABF AEF ≌，∴BF EF =，AFB AFE ∠=∠又∵点F 为CD 的中点，∴CF DF =，∵BC DE =,∴()SSS CBF DEF ≌，∴CFB DFE ∠=∠，∴90CFB AFB DFE AFE ∠+∠=∠+∠=︒，∴AF CD ⊥，故不符合题意；C 、连结BF EF 、，∵点F 为CD 的中点，∴CF DF =，∵BCF EDF ∠=∠，BC DE =，∴()SAS CBF DEF ≌，∴BF EF =，CFB DFE ∠=∠，∵AB AE =，AF AF =，∴()SAS ABF AEF ≌，∴AFB AFE ∠=∠，∴90CFB AFB DFE AFE ∠+∠=∠+∠=︒，∴AF CD ⊥，故不符合题意；D 、ABD AEC ∠=∠，无法得出相应结论，符合题意；故选：D．10．如图，在RtABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C ．D ．∵90ABC ∠=︒，AB =∴22AC AB BC =+=∵BD 是边AC 上的高．二、填空题11．若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．【答案】4x ≠【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解：分式有意义的条件是分母不能等于0，∴40x -≠∴4x ≠．故答案为：4x ≠．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．12．，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227（填“>”或“<”）．13．不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是．由树状图可得，共有12种等结果，其中恰为∴恰为2个红球的概率为21126=，故答案为：1．14．如图，现有正方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边,AB BC 上，沿垂直于EF 的直线折叠得到折痕MN ，点B ，C 分别落在正方形所在平面内的点B '，C '处，然后还原．（1）若点N 在边CD 上，且BEF α∠=，则C NM '∠=（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于MN 的直线折叠得到折痕GH ，点G ，H 分别在边,CD AD 上，点D 落在正方形所在平面内的点D ¢处，然后还原．若点D ¢在线段B C ''上，且四边形EFGH 是正方形，4AE =，8EB =，MN 与GH 的交点为P ，则PH 的长为．∵MN EF ⊥，∴CC FE '∥，∴12∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B BCD ∠=∠=︒，∴343290∠+∠=∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，四边形∴90A B C D ∠=∠=∠=∠=∴567690∠+∠=∠+∠=︒，∴57∠=∠，三、解答题15．解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格线的交点）A 、B ，C 、D 的坐标分别为()7,8，()2,8，()10,4，()5,4．(1)以点D 为旋转中心，将ABC 旋转180︒得到111A B C △，画出111A B C △；(2)直接写出以B ，1C ，1B ，C 为顶点的四边形的面积；(3)在所给的网格图中确定一个格点E ，使得射线AE 平分BAC ∠，写出点E 的坐标．（2）连接1BB ，1CC ，∵点B 与1B ，点C 与1C 分别关于点∴1DB DB =，1DC DC =，∴四边形11BC B C 是平行四边形，∴122104S CC B ==⨯⨯⨯= （3）∵根据网格信息可得出5AB =∴ABC 是等腰三角形，∴AE 也是线段BC 的垂直平分线，∵B ，C 的坐标分别为，()2,8，(10,4∴点21084,22E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()6,6E ．（答案不唯一）17．乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A B ，两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）A48B 39已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A B ，这两种农作物的种植面积各多少公顷？【答案】A 农作物的种植面积为3公顷，B 农作物的种植面积为4公顷．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A 农作物的种植面积为x 公顷，B 农作物的种植面积为y 公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：设A 农作物的种植面积为x 公顷，B 农作物的种植面积为y 公顷，由题意可得，43248960x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，答：设A 农作物的种植面积为3公顷，B 农作物的种植面积为4公顷．18．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为22x y -（x y ，均为自然数）”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）：N 奇数4的倍数表示结果22110=-22420=-22321=-22831=-22532=-221242=-22743=-221653=-22954=-222064=-L L一般结论()22211n n n -=--4n =______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（）2-（）2；（ⅱ）4n =______；(2)兴趣小组还猜测：像261014 ，，，，这些形如42n -（n 为正整数）的正整数N 不能表示为22x y -（x y ，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设2242n x y -=-，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m -=-=-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数，则()()22222121x y k m -=+-+=______为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y -为奇数．而42n -是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）()()2211n n +--；(2)()224k m k m -+-【分析】（1）（ⅰ）根据规律即可求解；（ⅱ）根据规律即可求解；（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．【详解】（1）（ⅰ）由规律可得，222475=-，故答案为：7，5；（ⅱ）由规律可得，()()22411n n n =+--，故答案为：()()2211n n +--；（2）解：假设2242n x y -=-，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m -=-=-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数，则()()()22222221214x y k m k m k m -=+-+=-+-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y -为奇数．而42n -是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．故答案为：()224k m k m -+-．19．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处．已知BE 与水平线的夹角36.9α=︒，点B 到水面的距离 1.20BC =m ，点A 处水深为1.20m ，到池壁的水平距离 2.50m AD =，点B C D ，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求sin sin βγ的值（精确到0.1，参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒≈）．20．如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．(1)求证：CD AB ⊥；(2)设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．【答案】(1)见详解21．综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：组别A B C D E x 3.5 4.5x ≤< 4.5 5.5x ≤< 5.5 6.5x ≤< 6.57.5x ≤<7.58.5x ≤≤整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1求图1中a 的值．【数据分析与运用】任务2A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．①两园样本数据的中位数均在C 组；②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．Y的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且22．如图1，ABCDAM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求AC BD的值．23．已知抛物线2y x bx =-+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1．(1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =-+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上．（ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =-，求h 的最大值．。

2024年湖北省武汉市中考真题数学试卷含答案解析

2024年湖北省武汉市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A．随机事件B．不可能事件C．必然事件D．确定性事件【答案】A【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件，故选：A．3．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可．【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，故选：B ．4．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A ．50.310⨯B ．60.310⨯C ．5310⨯D ．6310⨯5．下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅=B ．()1432a a =C ．()2236a a =D ．()2211a a +=+【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．【详解】解：A.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B.()4312a a =，故该选项正确，符合题意；C.()2239a a =，故该选项不正确，不符合题意；D.()22121a a a +=++，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．6．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t 的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D．∠；②以点A为圆心，1个单位长为半7．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画MAN径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，∠的大小是（）两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若44∠=︒，则CBDAA．64︒B．66︒C．68︒D．70︒【答案】C【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．===【详解】解：作图可得AB AD BC DC8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A ．19B ．13C ．49D ．59共有9种情况，至少一辆车向右转有5种，∴至少一辆车向右转的概率是59，故选：D ．9．如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A B C D ．2∵四边形ABCD 内接于 ∴ADC ABC ABC ∠+∠=∠∴ADC CBE∠=∠∵45BAC CAD ∠=∠=︒10．如图，小好同学用计算机软件绘制函数32331y x x x =-+-的图象，发现它关于点()1,0中心对称．若点()110.1,A y ，()220.2,A y ，()330.3,A y ，……，()19191.9,A y ，()20202,A y 都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则1231920y y y y y +++++ 的值是（）A ．1-B ．0.729-C ．0D ．1∵()0,1-关于点()1,0中心对称的点为()2,1，即当2x =时，201y =，∴12319201020011y y y y y y y +++++=+=+= ，故选：D ．二、填空题11．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作℃．【答案】2-【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作2-℃．，故答案为：2-．12．某反比例函数k y x =具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是．【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．【详解】解：∵当0x >时，y 随x 的增大而减小，∴0k >故答案为：1（答案不唯一）．13．分式方程131x x x x +=--的解是．【答案】3x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以()()31x x --完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案．14．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒，底端B 的俯角为63︒，则测得黄鹤楼的高度是m ．（参考数据：tan632︒≈）【答案】51【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D ，根据tan632︒≈，求出51m DC AD =≈，即可求解．【详解】解：延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D ，如图，由题可知，102m BD =，设AD x =，∵45DCA ∠=︒∴DC AD x==15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD ．直线MP 交正方形ABCD 的两边于点E，F ，记正方形ABCD 的面积为1S ，正方形MNPQ 的面积为2S ．若(1)BE kAE k =>，则用含k 的式子表示12S S 的值是． 45PMN ∴∠=︒45EMG PMN ∴∠=∠=1EG MG ∴==在AEG △和ABN 中，16．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1-，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c -+-+>；③若1a =-，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>-，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是（填写序号）．三、解答题17．求不等式组3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②的整数解．【答案】整数解为：1,0,1-【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解．【详解】解：3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②解不等式①得：2x >-解不等式②得：1x ≤∴不等式组的解集为：21x -<≤，∴整数解为：1,0,1-18．如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，AF CE =．(1)求证：C ABE DF ≌△△；(2)连接EF ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由）【答案】(1)见解析(2)添加AF BE =（答案不唯一）【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；（1）根据平行四边形的性质得出AB CD =，B D ∠=∠，结合已知条件可得DF BE =，即可证明C ABE DF ≌△△；（2）添加AF BE =，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AD BC =，B D ∠=∠，∵AF CE =，∴AD AF BC CE -=-即DF BE =，在ABE 与CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE CDF ≌；（2）添加AF BE =（答案不唯一）如图所示，连接EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，即AF BE ∥，当AF BE=时，四边形ABEF是平行四边形．19．为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a2151b06根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出m，n的值和样本的众数；(2)若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．20．如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AC 与半圆O 相切于点D ，底边BC 与半圆O 交于E ，F 两点．(1)求证：AB 与半圆O 相切；(2)连接OA ．若4CD =，2CF =，求sin OAC ∠的值．AO BC ∴⊥，AO 平分BAC∠AC 与半圆O 相切于点DOD AC∴⊥由ON AB⊥ ON OD∴=21．如图是由小正方形组成的34⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．(1)在图（1）中，画射线AD 交BC 于点D ，使AD 平分ABC 的面积；∠=∠；(2)在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使ECB ACB(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90︒到点C，再画射线AF交BC于点G；(4)在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180︒，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．（2）如图，作OP（4）如图，作OP MN 即为所求作．22．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．23．问题背景：如图（1），在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接BD ，EF ，求证：BCD FBE ∽△△．问题探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，点E 是AB 的中点，点F 在边BC 上，2AD CF =，EF 与BD 交于点G ，求证：BG FG =．问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG ，AD CD =，AG FG =，直接写出EG GF的值．∵E 是AB 的中点，H 是∴12EH AD =，EH AD ∥又∵2AD CF =，∴EH CF =，∵2AD CF CD ==，∴12AM MD FC AD ===设2AD a =，则MF CD =【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的右边），交y 轴于点C ．(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)如图（1），连接AC ，BC ，过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥，交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ，求点P 的坐标；(3)如图（2），点D 与原点O 关于点C 对称，过原点的直线EF 交抛物线于E ，F 两点（点E 在x 轴下方），线段DE 交抛物线于另一点G ，连接FG ．若90EGF ∠=︒，求直线DE 的解析式．∴90T S EGF ∠=∠=∠=∴90EGT FGS ∠=︒-∠=∴ETG GSF∽∴ET TG GS FS=即ET FS GS TG⋅=⋅。

2024年上海市中考真题数学试卷含答案解析

2024年上海市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果x y >，那么下列正确的是（）A ．55x y +<+B ．55x y -<-C ．55x y >D ．55x y->-【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A ．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；B ．两边都加上5-，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；C ．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；D ．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；故选：C ．2．函数2()3xf x x -=-的定义域是（）A ．2x =B ．2x ≠C ．3x =D ．3x ≠3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=-=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=-时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=-⨯⨯-=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意；D ．()2Δ64190=--⨯⨯= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．4．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数 2.3 2.3 2.8 3.1方差1.050.781.050.78A ．甲种类B ．乙种类C ．丙种类D ．丁种类【答案】B【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可．解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，故选：B ．5．四边形ABCD 为矩形，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形【答案】A【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到OBC OAD S S = ，OC OB OA OD ===，进而由等面积OBC OAD S S ∴= ，OC OB OA OD === 过A C 、作对角线BD 的垂线，过1122OBC OAD S S OC BF OB CH ∴==⋅=⋅ ∴CH BF AE DG ===，6．在ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A B P 、、为圆心画，圆A 半径为1，圆B 半径为2，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离∴221417+=，二、填空题7．计算：()324x =．【答案】664x 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可．【详解】解：()326464x x =，故答案为：664x ．8．计算()()a b b a +-= ．【答案】22b a -【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：()()a b b a +-()()b a b a =+-22b a =-，故答案为：22b a -．【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．91=，则x = ．【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知210x ->，则可得出211x -=，求出x 即可．【详解】解：根据题意可知：210x ->，∴211x -=，解得：1x =，故答案为：1．10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科学记数法表示）11．若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)-，则y 的值随x 的增大而．（选填“增大”或“减小”）12．在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，则BAC ∠= ．13．某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为万元．【答案】4500【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设y kx b =+，根据题意找出点代入求出解析式，然后把80x =代入求解即可．【详解】解：设y kx b =+，把()10,1000，()90,5000代入，得101000905000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得50500k b =⎧⎨=⎩，∴50500y x =+，当80x =时，50805004500y =⨯+=，即投入80万元时，销售量为4500万元，故答案为：4500．14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有个绿球．∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC a = ，BE b =u u r r，若2AE EC =，则DC =（结果用含a ，b的式子表示）．16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有人．【答案】200017．在平行四边形ABCD 中，ABC ∠是锐角，将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，对应点分别为C '，D ¢，若::1:3:7AC AB BC '=，则cos ABC ∠= ．根据::1:3:7AC AB BC '=由翻折的性质知：FCD ∠=CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，BC F FC D FCD '''∴∠+∠=∠根据::1:3:7AC AB BC '=，不妨设同理知：72CF BF C F '===，过F 作AB 的垂线交于E ，122BE BC '∴==，18．对于一个二次函数2()y a x m k =-+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '-='-≠，则称2x m '-为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =-++“开口大小”为．三、解答题20．解方程组：2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②．【答案】4x =，1y =或者6x =-，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②，由②得：62x y =-代入①中得：()()226236240y y y y ----=，()2223624418640y y y yy -+-+-=，2642360y y -+=，()26760y y -+=，()()6610y y --=解得：1y =或6y =，当1y =时，6214x =-⨯=，当6y =时，6266x =-⨯=-，∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =-=．21．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）上有一点()3,A m -，且与直线24y x =-+交于另一点(),6B n ．(1)求k 与m 的值；(2)过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =+交于点C ，求sin OCA ∠的值．∵l x ∥轴，x 轴y ⊥轴，∴A 、C 、D 的纵坐标相同，均为把2y =代入24y x =-+解得1x =，∴()1,2C ，22．同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为h．(1)求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；②小平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．如图2，DEF 为含则2EF h =，DE =综上，等腰直角三角板直角边为②由题意可知MNG NGH ∠=∠∴四边形MNGH 是矩形，由图可得，2323MN h h =-（2）解：如图，即为所作图形．23．如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．(1)求证：2AD DE DC=⋅；(2)F为线段AE延长线上一点，且满足12EF CF BD==，求证：CE AD=．在矩形ABCD 中，ADE ∠ AE BD ⊥，∴90DAE ADB ∠+∠=ADB AED ∴∠=∠，FEC AED ∠=∠，24．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．(1)求平移后新抛物线的表达式；(2)直线x m =（0m >）与新抛物线交于点P ，与原抛物线交于点Q ．①如果PQ 小于3，求m 的取值范围；②记点P 在原抛物线上的对应点为P '，如果四边形P BPQ '有一组对边平行，求点P 的坐标．∴22114545333333PQ x x x x =-++=+，∵PQ 小于3，∴45333x +<，∴1x <，∵()0x m m =>，∴01m <<；由题意可得：P 在B 的右边，当BP '∴BP x '⊥轴，∴5P B x x '==，∴255,3P '⎛⎫ ⎪⎝⎭，由平移的性质可得：2552,33P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭如图，当P Q BP '∥时，则P QT '∠=过P '作P S QP '⊥于S ，∴90P SQ BTP '∠=∠=︒，∴QS PTP S BT='，25．在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在边AB 上，且13AE AB =．(1)如图1所示，点F 在边CD 上，且13DF CD =，联结EF ，求证：EF BC ∥；(2)已知1AD AE ==；①如图2所示，联结DE ，如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上，求ADE V 的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M 在边BC 上，联结EM 、DM 、EC ，DM 与EC 交于N ，如果4BC =，且2CD DM DN =⋅，DMC CEM ∠=∠，求边CD 的长．∵AD BC∥，∴AE DE EB EG=，∵13AE AB=，13DF CD=∴12AEEB=，12DFFC=，∵AD BC ∥，∴PAD PBC ∽，∴14PA AD PB BC ==，由①知3AB =，∴134PA PA =+，。

人教中考数学圆的综合综合题含详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上DCE B∠=∠．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan3B=，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)13【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵11322OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8.∴1384132OA=⨯=.则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD=，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD 的面积为6×4=24，Rt △CED 的面积为12×4×2=4，扇形ABE 的面积为12π×42=4π， ∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.4．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”．如图，M （1，2），N （4，2）．（1）在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有；（2）如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．【答案】（1）P 1和P 3；（2）3311x -≤≤；（3333 3.r +≤ 【解析】【分析】（1）先根据题意求出点P 的横坐标的范围，再求出P 点的纵坐标范围即可得出结果；（2）由直线y=x+1经过点M （1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P 4N 交于点A ，过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C ，则在△AMN 中，MN=3，∠AMN=45°，∠ANM=30°，设AB=MB=a ，tan ∠ANM=AB BN ，即tan30°=3a a-，求出a 即可得出结果；（3）圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，分别求出两个距离即可得出结果．【详解】（1））如图1所示：∵点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点，M （1，2），N （4，2），∴点P 的横坐标1≤x≤4，∵以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，当∠MPN=60°时，PM=60MN tan ︒=3=3，同理P′N=3，∴点P 的纵坐标为2-3或2+3，即纵坐标2-3≤y≤2+3，∴线段MN 的“关联点”有P 1和P 3；故答案为：P 1和P 3；（2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），∴ x ≥1.设直线1y x =+与P 4N 交于点A .过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°.设AB = MB = a ，∴ tan AB ANM BN ∠=，即tan303a a ︒=-，解得333a -=∴ 点A 的横坐标为33333111.22x a --=+=+= ∴331.x -≤ 综上 3311.2x -≤≤（3）点P 在以O （1，-1）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，如图3所示：连接P 4O 交x 轴于点D ，P 4、M 、D 、O 共线，则圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，由（1）知：MP 4=NP 53即OD+DM+MP 433圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，作OE ⊥MP 5于E ，连接OP 5，则OE 为r 的最小值，MP 5225MN NP +223(3)+3OM=OD+DM=1+2=3， △OMP 5的面积=12OE•MP 5=12OM•MN ，即12312×3×3，解得：33 ∴3323 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN 的“关联点”图是关键．5．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点6，0)与点B(02)，点D 在劣弧OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO.(1)求⊙M 的半径；(2)求证：BD 平分∠ABO ；(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．【答案】（1）M 的半径r ＝2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为(263，2)．【解析】试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=2633=∴点E 的坐标为（263，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.6．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝28°，∴∠POC ＝56°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，∴OD ⊥AC ，∵∠CAB ＝12°，∴∠AOE ＝78°，∴∠DCA ＝39°，∵∠P ＝∠DCA ﹣∠CAB ，∴∠P ＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．7．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与A 、B 重合），连AP ，BP ，过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ，（1）求证：△PCM 为等边三角形；（2）若PA ＝1，PB ＝2，求梯形PBCM 的面积．【答案】（1）见解析；（21534【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM ∥BP ，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中， BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=332，∴S梯形PBCM=12（PB+CM）×PH=12×（2+3）×33=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．8．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE 3．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA ＝2∠ABC ．②如图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 60AH ︒=，在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=，∴PE ＝36 ．【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分∠DAB ．（1）求证：AD ⊥CD ；（2）若AD ＝2，AC=6，求⊙O 的半径R 的长．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】试题分析：（1）连接OC ，由题意得OC ⊥CD ．又因为AC 平分∠DAB ，则∠1=∠2=12∠DAB ．即可得出AD ∥OC ，则AD ⊥CD ；（2）连接BC ，则∠ACB =90°，可证明△ADC ∽△ACB ．则2AD AC AC R ，从而求得R ．试题解析：（1）证明：连接OC ，∵直线CD 与⊙O 相切于C 点，AB 是⊙O 的直径，∴OC ⊥CD ．又∵AC 平分∠DAB ，∴∠1=∠2=12∠DAB ．又∠COB =2∠1=∠DAB ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ．（2）连接BC ，则∠ACB =90°，在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB =90°，∴△ADC ∽△ACB ． ∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD =10．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．【答案】(1) B （，2）．(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题；（2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B （，2）．（2）连接MC ，NC∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，∴CD=NB=ND ，∴∠CND=∠NCD ，∵MC=MN ，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．。

中考综合模拟测试《数学卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________ 一．选择题(共10小题)1.计算：(-3)×(- 13)=()A. -1B. 1C. -9D. 92.如图，下面几何体由两个大小相同的正方体和一个圆柱体组成，则它的左视图是( )A. B. C. D.3.计算(-2x2y)3的结果是( )A. -8x6y3B. 6x6y3C. -8x5y3D. -6x5y34.如图，AB∥CD.若∠1＝40°，∠2＝65°，则∠CAD＝()A. 50°B. 65°C. 75°D. 85°5.设点A(-3，a)，B(b，12)在同一个正比例函数图象上，则ab的值为()A.23- B.32- C. -6 D.326.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DE AF的值为()A. 35B. 34C. 12D. 237.已知两个一次函数y=3x+b 1和y=-3x+b 2若b 1<b 2<0，则它们图象的交点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.如图，在三边互不相等的△ABC 中， D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．连接DE ，过点C 作CM ∥AB 交DE 的延长线于点M ，连接CD 、EF 交于点N ，则图中全等三角形共有( )A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对9.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ．若点P 是⊙O 上异于点A ，B 的任意一点，则∠APB=( )A. 30°或60°B. 60°或150°C. 30°或150°D. 60°或120° 10.将抛物线M ：y=- 13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，则∠ACB=( ) A 45°B. 60°C. 90°D. 120° 二．填空题(共4小题)11.不等式-2x+1>-5的最大整数解是________．12.如图，五边形ABCDE 的对角线共有 ________条．13.如图，在x 轴上方，平行于x 轴的直线与反比例函数y ＝1k x和y ＝2k x 的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，若△AOB 的面积为6，则k 1﹣k 2＝_____．14.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 边中点， F 是CD 边上的一点，且DF=1．若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为________ ．三．解答题(共11小题)15.计算：2(3)|25|20-+--.16.化简：(22739a a a +--﹣43a a ++)÷33a a +-． 17.如图，已知锐角△ABC ，点D 是AB 边上的一定点，请用尺规在AC 边上求作一点E ，使△ADE 与△ABC 相似．(作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．)18.2016年4月23日是我国第一个”全民阅读日”某校开展了”建设书香校园，捐赠有益图书”活动．我们在参加活动的所有班级中，随机抽取了一个班，已知这个班是八年级5班，全班共50名学生．现将该班捐赠图书情况的统计结果，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;(2)求八年级5班平均每人捐赠了多少本书?(3)若该校八年级共有800名学生，请你估算这个年级学生共可捐赠多少本书?19.如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．20.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了”东州湖”景区，小明和小亮想测量”东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．请你根据以上提供的信息，计算”东州湖”东西两端之间AB的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin73°≈0.9563，cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709，2≈1.414．)21.上周六上午点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离 (千米)与他们路途所用的时间(时)之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：(1)求直线AB所对应的函数关系式;(2)已知小颖一家出服务区后，行驶分钟时，距姥姥家还有千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家?22.孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：”如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答．小芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大．你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明．(骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体．)23.如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．(1)求证：∠BAD+∠C＝90°(2)求线段AD的长．24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A(2,1).(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式;(3)在(2)所求抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.25.问题提出(1)如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决(3)如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现?若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能，请说明理由．答案与解析一．选择题(共10小题)1.计算：(-3)×(- 13)=()A. -1B. 1C. -9D. 9 【答案】B【解析】【分析】根据两数相乘，同号得正，把绝对值相乘，再进行计算．【详解】解：1313⎛⎫-⨯-=⎪⎝⎭．故答案为：B．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．2.如图，下面的几何体由两个大小相同的正方体和一个圆柱体组成，则它的左视图是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看上下都是正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键.3.计算(-2x2y)3的结果是( )A. -8x6y3B. 6x6y3C. -8x5y3D. -6x5y3【答案】A【解析】【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行运算即可．【详解】(-2x2y)3=-8x6y3．故选A．4.如图，AB∥CD.若∠1＝40°，∠2＝65°，则∠CAD＝()A. 50°B. 65°C. 75°D. 85°【答案】C【解析】【分析】根据对顶角性质可知∠BAD=∠1=40°，然后利用平行线性质可得∠CAB=115°，据此进一步计算求解即可. 【详解】∵∠BAD与∠1是对顶角，∴∠BAD=∠1=40°，∵AB∥CD，∴∠2+∠CAB=180°，∴∠CAB=180°−∠2=115°，∴∠CAD=∠CAB−∠BAD=75°，故选：C.【点睛】本题主要考查了平行线性质以及对顶角性质，熟练掌握相关概念是解题关键.5.设点A(-3，a)，B(b，12)在同一个正比例函数的图象上，则ab的值为()A.23- B.32- C. -6 D.32【答案】B【解析】【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，将两点在分别代入函数解析式，就可表示出a，b，然后代入求出ab的值．【详解】设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)∴a=-3k，bk=1 2∴b=1 2k∴13322 ab kk=-⋅=-．故答案为：B．【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DE AF的值为()A 35B.34C.12D.23【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形的两个面积公式就可求出AD的长，利用勾股定理求出DC 的长，然后利用角平分线的定义，可得到tan∠ACF=tan∠ECD，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出DE与AF的比值．【详解】解：在△ABC中2222201525BC AB AC+=+=∵AD是高∴1122AD BC AB AC⋅=⋅∴25AD=20×15解之：AD=12．在Rt△ADC中，222215129 DC AC AD--=∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠ECD∴tan ∠ACF=tan ∠ECD ∴AF DE AC DC =即159AF DE = ∴35DE AF =．故答案为：A ．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握勾股定理、三角函数的定义得到式子求解． 7.已知两个一次函数y=3x+b 1和y=-3x+b 2若b 1<b 2<0，则它们图象的交点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】将两函数联立方程组，解方程组求出两函数的交点坐标，再根据b 1<b 2<0 ，就可得到b 2-b 1＞0，b 2+b 1＜0，就可确定出交点的横纵坐标的符号，从而可判断出两函数图像的交点所在的象限．【详解】解：1233y x b y x b =+⎧⎨=-+⎩解之：212162b b x b b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∵ b 1<b 2<0∴b 2-b 1＞0，b 2+b 1＜0∴x ＞0，y ＜0∴它们图像的交点在第四象限．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查两直线相交或平行的问题及象限内点的坐标特点，掌握根据直线解析式求得交点坐标且各象限内点的坐标特点是解题的关键．8.如图，在三边互不相等△ABC 中， D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．连接DE ，过点C 作CM ∥AB 交DE 的延长线于点M ，连接CD 、EF 交于点N ，则图中全等三角形共有( )A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对【答案】C【解析】【分析】利用已知条件可证得DE ，EF 都是△ABC 的中位线，同时可证得AE=EC ，CF=12BC ，利用三角形中位线定理可得到DE=12BC ，DE ∥BC ，EF ∥AB ，从而可以推出∠EDC=∠FCN ，DE=CF ，再利用AAS 证明△DEN ≌△CFN ，然后利用有两组对边平行的四边形是平行四边形，可证得四边形EFCM 是平行四边形，再利用平行四边形的性质可以推出△EMC ≌△CFE ，△ADE ≌△CME ，△ADE ≌△CEF, △BCD ≌△MDC ．【详解】证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．∴CF=12BC ，DE 是△ABC 的中位线，EF 是△ABC 的中位线，AE=EC ∴DE=12BC ，DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴∠EDC=∠FCN ，DE=CF在△DEN 和△CFN 中DNE CNF EDC FCN DE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEN ≌△CFN (AAS );∵EF ∥AB ，CM ∥AB∴EF ∥CM ，DE ∥BC∴四边形EFCM 是平行四边形，∴EM=CF=DE ，EF=CM,在△EMC 和△CFE 中，EM CF EF CM CE EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△EMC ≌△CFE (SSS );在△ADE 和△CME 中，AE EC AED CEM DE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE≌△CME(SAS);∴△ADE≌△CEF，∴DE∥BC又BD∥CM∥EF∴四边形DBCM是平行四边形，∴△BCD≌△MDC∴图中的全等三角形一共有5对．故答案为：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．9.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D．若点P是⊙O上异于点A，B的任意一点，则∠APB=()A. 30°或60°B. 60°或150°C. 30°或150°D. 60°或120°【答案】D【解析】【分析】利用垂径定理及已知可得到∠OAD=30°，再求出∠AOB的度数，再分情况讨论：当点P在优弧AB上时，利用圆周角定理就可取出∠P的度数;当点P在劣弧上时，利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠AP1B 的度数．【详解】连接OA，OB，∵ 弦AB 垂直平分半径OC∴OD=12OA ， ∴∠OAD=30°，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-30°-30°=120°;当点P 在优弧AB 上时∠APB=12∠AOB=12×120°=60°; 当点P 在劣弧上时，∠APB+∠AP 1B=180°∴∠AP 1B=180°-60°=120°．∴∠APB=120°或60°．故答案为：D ．【点睛】此题考查了垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．10.将抛物线M ：y=- 13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，则∠ACB=( ) A. 45°B. 60°C. 90°D. 120° 【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可求出抛物线M'的函数解析式，由此可得到点C 的坐标，再由y=0求出抛物线M'与x 轴的两个交点A ，B 的坐标，然后利用勾股定理求出AC 2、BC 2、AB 2，由此可以推出AC 2+BC 2=AB 2，利用勾股定理的逆定理，可求出∠ACB 的度数．【详解】∵y=-13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'， ∴抛物线M'的解析式为y=21(2)33x -++ ∵ 若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，∴点C (-2，3)当y=0时21(2)303x -++=解之：x 1=1，x 2=-5∴点A(1，0)，点B(-5，0)∴AB2=|-5-1|2=36AC2=32+32=18，BC2=32+32=18∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°．故答案为：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与几何变换、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．二．填空题(共4小题)11.不等式-2x+1>-5的最大整数解是________．【答案】2【解析】【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的最大整数解．【详解】解-2x+1>-5-2x＞-6x＜3，∴这个不等式的最大整数解为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．12.如图，五边形ABCDE的对角线共有________条．【答案】5【解析】【分析】根据n边形的对角线的总数量为(3)2n n，再将n=5代入计算可求出结果．【详解】五边形的对角线的条数为：(53)552-⨯=．故答案为：5．【点睛】此题考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线公式是解题的关键．13.如图，在x 轴上方，平行于x 轴的直线与反比例函数y ＝1k x和y ＝2k x 的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，若△AOB 的面积为6，则k 1﹣k 2＝_____．【答案】-12．【解析】【分析】根据AB ∥x 轴，设1211k k x k A x B x k x（，），（，），得到21k x AB x k -＝，根据△AOB 的面积为6，列方程即可得到结论．【详解】∵AB ∥x 轴，∴设1211k k x k A x B x k x（，），（，） ∴21k x AB x k -＝， ∵△AOB 的面积为6，∴(2111•62k x k x k x-（）＝， ∴k 1﹣k 2＝﹣12，故答案为：﹣12．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数k y x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|;在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2y k ，且保持不变． 14.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 边的中点， F 是CD 边上的一点，且DF=1．若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为________ ．【答案】955【解析】【分析】作点F 关于AD 的对称点G ，过点G 作GN ⊥AE 于点N ，交AD 于点M ，可证得MG=MF ，△MDG ≌△MDF ，DF=DG=1 ，可推出MN+MF=NG ，根据垂线段最短，可知此时MN+MF 的最小值就是NG 的长;利用正方形的性质，可求出BE 的长，同时可以推出∠B=∠ANM=∠FDM ，∠AMN=∠BAE=∠FMD ，再利用有两组对应角相等的三角形相似，可证得△ABE ∽△MNA ∽△FMD ，然后利用相似三角形的性质及勾股定理就可求出MN ，MG 的长，由此看求出NG 的长．【详解】作点F 关于AD 的对称点G ，过点G 作GN ⊥AE 于点N ，交AD 于点M ，∴MG=MF ，△MDG ≌△MDF ，DF=DG=1∴∠GMD=∠DMF∴MN+MF=MN+MG=NG根据垂线段最短，可知此时MN+MF 的最小值就是NG 的长．∵正方形BCD ，点E 是BC 的中点∴BE=12BC=12AB=2∴∠B=∠ANM=∠FDM=90°，∠BAE+∠MAN=90°，∵∠AMN+∠MAN=90°，∴∠AMN=∠BAE ，∵∠AMN=∠DMG∴∠AMN=∠BAE=∠FMD∴△ABE ∽△MNA ∽△FMD ∴AB MD BE DF =即421MD = 解之：MD=2，∴AM=AD-MD=4-2=2 ∴2AB MN BE AN== 设AN=x ，则MN=2x∴AN 2+MN 2=AM 2，∴x 2+4x 2=4解之：∴在Rt △MDG 中，=∴NG=MN+MG==．【点睛】本题考查了轴对称−最短距离问题，相似三角形的判定和性质，正确的确定M ，N 的位置是解题的关键．三．解答题(共11小题)15.计算：2(3)|2|-+-【答案】7【解析】【分析】先计算乘方，化简绝对值，计算算术平方根，再进行实数的加减混合运算即可解答.【详解】解：原式＝9＋5－2－25＝7－5【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的化简和算术平方根的意义.16.化简：(22739a a a +--﹣43a a ++)÷33a a +-．【答案】269(3)a a ++ 【解析】【分析】根据分式的运算法则，先去括号，然后除一个数等于乘这个数的倒数即可．【详解】解：原式＝(273(3)(3)a a a a +-+-﹣43a a ++)÷33a a +-．＝2273(3)a a a +-+﹣2(4)(3)(3)a a a +-+ ＝269(3)a a ++ 【点睛】本题考查分式的除法，需要注意，在去括号时，括号中的每一项都要除后面的除数17.如图，已知锐角△ABC ，点D 是AB 边上的一定点，请用尺规在AC 边上求作一点E ，使△ADE 与△ABC 相似．(作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．)【答案】详见解析【解析】【分析】以DA 为边、点D 为顶点在△ABC 内部作一个角等于∠B ，角的另一边与AC 的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E 即为所求作的点．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE∥BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．18.2016年4月23日是我国第一个”全民阅读日”某校开展了”建设书香校园，捐赠有益图书”活动．我们在参加活动的所有班级中，随机抽取了一个班，已知这个班是八年级5班，全班共50名学生．现将该班捐赠图书情况的统计结果，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;(2)求八年级5班平均每人捐赠了多少本书?(3)若该校八年级共有800名学生，请你估算这个年级学生共可捐赠多少本书?【答案】(1)见解析;(2)6本书;(3)4800本书【解析】【分析】(1)观察两统计图可知全班捐赠图书的总数=其它书的数量÷其它书的数量所占的百分比，列式计算;再利用全班捐赠图书的总数×捐赠工具类书的数量所占的百分比，就可求出捐赠工具类书的数量，就可补全条形统计图;然后利用部分的数量÷总数，就可求出文学类和科普类所占的百分比，从而可以补全扇形统计图中的数据;(2)用全班捐赠图书的总数除以八年级5班的人数，列式计算;(3)用800×平均每一个人的捐赠图书的数量，列式计算．【详解】(1)解：全班捐赠图书的总数为24÷8%=300(本)，则捐赠工具类书有300×20%=60(本)，文学类百分比为120300×100%=40%，科普类百分比为96300×100%=32%，完成统计图如下：八年级5班全班同学捐赠图书情况统计图(2)解：八年级5班平均每人捐赠了30050=6本书;(3)解：∵800×6=4800，估算这个年级学生共可捐赠4800本书．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确它们各自的含义，利用数形结合的思想解答．19.如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．【答案】证明见解析【解析】【分析】由菱形的性质得出AD∥BC，AB=BC，得出∠A=∠CBF，证明△ABE≌△BCF(SAS)，即可得出BE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴BE=CF．点睛：本题考查了菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了”东州湖”景区，小明和小亮想测量”东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．请你根据以上提供的信息，计算”东州湖”东西两端之间AB的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin73°≈0.9563，cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709，2≈1.414．)【答案】1057米．【解析】分析】先根据题意得出△BCD是等腰直角三角形，故可得出CD＝BD，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，进而可得出结论．【详解】∵∠BCD＝45°，CD⊥AB，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD＝BD．∵BC＝350米，∴CD＝BD＝350×2＝2≈175×1.414＝247.45米，∴AD＝CD•tan73°≈247.45×3.2709≈809.38米，∴AB＝AD+BD＝809.38+247.45≈1057(米)．答：”东州湖”东西两端之间AB的长为1057米．【点睛】本题是锐角三角函数在实际问题中的考查，在解决此类题型的时候，我们首先需要抽象出数学模型，然后构造出直角三角形，最后利用三角函数解决.21.上周六上午点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离 (千米)与他们路途所用的时间(时)之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：(1)求直线AB所对应的函数关系式;(2)已知小颖一家出服务区后，行驶分钟时，距姥姥家还有千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家?【答案】详见解析【解析】试题分析：由图象知AB过(0，320)和((2，120)两点，故可设AB所在直线解析式为y=kx+b,代入即可求出a，b 的值，从而确定函数关系式;(2)先求出CD所在直线解析式，令y=0，则可求出x的值，从而可知小颖一家当天几点到达姥姥家.试题解析：(1)由图象知：A(0，320)，B(2，120)设AB所在直线解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入得：320 2120 bk b=⎧⎨+=⎩解得：320 {100 bk==-故AB所在直线解析式为y=-100x+320; (2)由图象知：CD过点(2.5，120)和(3，80)设CD所在直线解析式为y=mx+n，则有2.5120 {380m nm n+=+=解得：80320 mn=-⎧⎨=⎩故CD所在直线解析式为y=-80x+320令y=0时，-80x+320=0，解得x=4所以：8+4=12故小颖一家当天12点到达姥姥家.22.孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：”如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答．小芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大．你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明．(骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体．)【答案】小超的回答正确，图表见解析【解析】【分析】根据题意列表，再根据表中的数据可求出所有等可能的结果数及点数之和等于6和点数之和等于7的情况数，然后分别求出点数之和等于6与点数之和等于7的概率，由此可作出判断．【详解】列表如下共有36种等可能的结果数，其中点数之和等于6占5种，点数之和等于7的占6种，∴点数之和为6的概率为536，点数之和为7的概率为61366故小超的回答正确．【点睛】本题考查了利用列表法或树状图求概率的方法：先利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算出这个事件的概率＝mn．23.如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．(1)求证：∠BAD+∠C＝90°(2)求线段AD的长．【答案】(1)证明见解析;(2)325．【解析】【分析】(1)由弦切角等于同弧所对的圆周角得：∠C＝∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余得出结论;(2)作弦心距，由勾股定理得：OE＝3，再证明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的长．【详解】：(1)∵BD为⊙O的切线，∴∠C＝∠ABD，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠C+∠BAD＝90°，(2)连接OB，过O作OE⊥AB于E，∴AE＝BE＝12AB＝4，由勾股定理得：OE22OB BE-2254-3，∵BD为⊙O的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵∠ADB＝90°，∴AD∥OB，∴∠DAB＝∠ABO，∵∠D＝∠OEB＝90°，∴△OEB∽△BDA，∴BE OB AD AB=，∴458 AD=，∴AD＝325;则线段AD的长为325．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理、以及三角形的外接圆，是常考题型，熟练掌握切线的性质和垂径定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A(2,1).(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点抛物线的函数表达式;(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】(1) B(-1.2);(2) y=57x?66x-;(3)见解析.【解析】【分析】(1)过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标;(2)根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式;(3)由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标．【详解】(1)如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB 为等腰三角形，∴AO=BO ，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，∴∠AOC=∠OBD ，△ACO 和△ODB 中AOC OBD ACO ODB AO BO ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACO ≌△ODB (AAS )，∵A (2，1)，∴OD=AC=1，BD=OC=2，∴B (-1，2);(2)∵抛物线过O 点，∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，把A 、B 两点坐标代入可得4212a b a b +⎧⎨-⎩＝＝，解得5676a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝， ∴经过A 、B 、O 原点的抛物线解析式为y=56x 2-76x ; (3)∵四边形ABOP ，∴可知点P 在线段OA 的下方，过P 作PE ∥y 轴交AO 于点E ，如图2，设直线AO解析式为y=kx，∵A(2，1)，∴k=12，∴直线AO解析式为y=12x，设P点坐标为(t，56t2-76t)，则E(t，12t)，∴PE=12t-(56t2-76t)=-56t2+53t=-56(t-1)2+56，∴S△AOP=12PE×2=PE═-56(t-1)2+56，由A(2，1)可求得5∴S△AOB=12AO•BO=52，∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=-56(t-1)2+56+52=()2510163t--+，∵-56＜0，∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为(1，-13 )，综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为(1，-13 )．【点睛】本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在(1)中构造三角形全等是解题的关键，在(2)中注意待定系数法的应用，在(3)中用t表示出四边形ABOP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．25.问题提出(1)如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决(3)如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现?若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能，请说明理由．【答案】(1)12;(2)9;(3)能实现;170(米)．【解析】【分析】(1)当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．(2)由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m(6﹣m)＝﹣(m﹣3)2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．(3)由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．【详解】(1)如图①中，∵BC＝6，AD＝4，∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝12×6×4＝12．故答案为12．(2)∵矩形的周长为12，∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，∴S＝m(6﹣m)＝﹣(m﹣3)2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．(3)如图③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，∵∠ADC＝60°，∴点D在优弧ADC上运动，当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝12∠ADC，∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170(米)．答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170(米)．【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：(1)利用平方为非负的性质求解;(2)利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中。

中考综合模拟考试数学试题含答案解析

A.0<k<1B.–1<k<0C.1<k<2D.0<k<
9.如图,在矩形中, 、相交于点 ,点是边上的一点,若 ,则的度数为()
A. B. C. D.
10.如图,以原点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()
A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
21.如图1是一把折叠椅子,如图2是椅子完全打开支稳后侧面示意图, 表示地面所在的直线,其中和表示两根较粗的钢管, 表示座板平面, ,交于点F,且 , 长 , , 长24cm, 长24cm,
(1)求座板的长；
(2)求此时椅子的最大高度(即点D到直线的距离).(结果保留根号)
22.如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF．
A. 或 B. C. D. 或
7.如图,在中, ,以顶点为圆心,适当长为半径画弧,分别交边、于点、 ,再分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点 ,作射线交边于点 ,若 , ,则的面积是()
A B. C. D.
8.若关于x,y的方程组满足1<x+y<2,则k的取值范围是( )
A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)

中考数学综合模拟测试题(word版含答案)

中考仿真模拟测试数学试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分:120分测试时间:120分钟一．选择题(共10小题，满分40分)1．在实数0，﹣π，，﹣4中，最小的数是()A ．0B ．﹣πC ．D ．﹣42．下列运算正确的是()A ．A 4•A 2＝A 8B ．(2A 3)2＝2A 6C ．(A B )6÷(A B )2＝A 4B 4D ．(A +B )(A ﹣B )＝A 2+B 23．2020年10月22日，南京集成电路大学揭牌，系全国首个”芯片大学”．已知某种芯片的厚度约为0.00012米，其中”0.00012”用科学记数法可表示为()A ．12×10﹣4B ．1.2×10﹣4C ．1.2×10﹣5D ．1.2×10﹣34．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的左视图是()A ．B ．C ．D ．5．下列分解因式正确的一项是()A ．9x2﹣1＝(3x+1)(3x﹣1)B ．4xy+6x＝x(4y+6)C ．x2﹣2x﹣1＝(x﹣1)2D ．x2+xy+y2＝(x+y)26．每年春秋季节，流感盛行，极具传染性．如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确的是()A ．(x+1)2＝81B ．1+x+x2＝81C ．1+x+(x+1)2＝81D ．1+(x+1)+(1+x)2＝817．如图，将等边△A B C 的顶点B 放在一组平行线的直线B 上，边A B ，A C 分别交直线A 于D ，E 两点，若∠1＝40°，则∠2的大小为()A ．24°B ．22°C ．20°D ．18°8．莱洛三角形，也称作崭洛三角形或圆弧三角形，它的应用广泛，不仅用于建筑、商品的外包装设计，还用在工业方面．莱洛三角形形状的钻头可钻出正万形内孔，发动机的原件上也有莱洛三角形．如图1，分别以等边△A B C 的顶点小A ，B ，C 为圆心，以A B 长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做莱洛三角形，如图2，若A B ＝3，则莱洛三角形的面积为()A ．π﹣B ．π+C ．π﹣D ．π﹣9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(t，3)、(t，0)，点D 是直线y＝kx+1与y轴的交点，若点A 关于直线y＝kx+1的对称点A ′恰好落在四边形OA B C 内部(不包括正好落在边上)，则t的取值范围为()A ．﹣2＜t＜2B ．﹣2＜t＜2C ．﹣2＜t＜﹣2或2＜t＜2D ．以上答案都不对10．如图，在矩形A B C D 中，A D ＝ A B ，∠B A D 的平分线交B C 于点E．D H⊥A E于点H，连接B H并延长交C D 于点F，连接D E交B F于点O，下列结论:①A D ＝A E；②∠A ED ＝∠C ED ；③OE＝OD ；④B H＝HF；⑤B C ﹣C F＝2HE，其中正确的有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)11．如果抛物线y＝A x2+B x+C 在对称轴左侧呈上升趋势，那么A 的取值范围是．12．不等式5x+1≥3x﹣5的解集为．13．在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝A x2+3A x﹣4A (A 是常数，且A ＜0)，直线A B 过点(0，n)(﹣5＜n＜5)且垂直于y轴．(1)该抛物线顶点的纵坐标为(用含A 的代数式表示)．(2)当A ＝﹣1时，沿直线A B 将该抛物线在直线上方的部分翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为y2，且当﹣5≤x≤2时，函数y2的最大值与最小值之差小于7，则n的取值范围为．14．如图，∠A OB ＝45°，点M，N在边OA 上，OM＝x，ON＝x+2，点P是边OB 上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是．三．解答题(共9小题，满分90分)15．计算:(π﹣2021)0+2﹣3﹣+2C os45°．16．我国古代问题:以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是:用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？17．如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中，给出了格点△A B C (格点为网格线的交点)．(1)画出△A B C 关于直线l对称的△A 'B 'C '；(2)画出将△A 'B 'C ′绕B '点逆时针旋转一定的角度得到的△A ″B 'C ″，且点A ″和点C ″均为格点．18．观察下列等式:①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，…(1)请按以上规律写出第⑥个等式:；(2)猜想并写出第n个等式:；并证明猜想的正确性．(3)利用上述规律，直接写出下列算式的结果:+++…+＝．19．关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m＝0．(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．20．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+B (k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象相交于A 、B 两点，且点B 的纵坐标为﹣6，过点A 作A E⊥x轴于点E，tA n∠A OE＝，A E＝2．求:(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)求△A OB 的面积．(3)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．21．如图，已知△A B C ，以A B 为直径的⊙O分别交A C ，B C 于点D ，E．连接OE，OD ，D E，且ED ＝EC ．(1)求证:点E为B C 的中点．(2)填空:①若A B ＝6，B C ＝4，则C D ＝；②当∠A ＝°时，四边形OD C E是菱形．22．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直结果分为”非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图:根据图中信息，解答下列问题:(1)在扇形统计图中，”非常重视”所占的圆心角的度数为，并补全条形统计图；(2)该校共有学生4000人，请你估计该校对视力保护”比较重视”的学生人数；(3)对视力”非常重视”的4人有A 1，A 2两名男生，其中A 1是七年级学生，A 2是八年级学生；B 1，B 2两名女生，其中B 1是八年级，B 2是九年级．若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请求出恰好抽到不同年级、不同性别的学生的概率．23．已知，如图1，Rt△A B C 中，A B ＝A C ，∠B A C ＝90°，D 为△A B C 外一点，且∠A D C ＝90°，E为B C 中点，A F∥B C ，连接EF交A D 于点G，且EF⊥ED 交A C 于点H，A F＝1．(1)若＝，求EF的长；(2)在(1)的条件下，求C D 的值；(3)如图2，连接B D ，B G，若B D ＝A C ，求证:B G⊥A D ．参考答案一．选择题(共10小题，满分40分)1．在实数0，﹣π，，﹣4中，最小的数是()A ．0B ．﹣πC ．D ．﹣4【分析】首先根据负数小于0，0小于正数，然后判断﹣π和﹣4的大小即可得到结果．【解答】解:由于负数小于0，0小于正数，又∵π＜4，∴﹣π＞﹣4，故选:D ．【点评】本题考查实数大小的比较，利用不等式的性质比较实数的大小是解本题的关键．2．下列运算正确的是()A ．A 4•A 2＝A 8B ．(2A 3)2＝2A 6C ．(A B )6÷(A B )2＝A 4B 4D ．(A +B )(A ﹣B )＝A 2+B 2【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及平方差公式逐一判断即可．【解答】解:A 、A 4•A 2＝A 6，故本选项不合题意；B 、(2A 3)2＝4A 6，故本选项不合题意；C 、(A B )6÷(A B )2＝(A B )2＝A 4B 4，故本选项符合题意；D 、(A +B )(A ﹣B )＝A 2﹣B 2，故本选项不合题意；故选:C ．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．3．2020年10月22日，南京集成电路大学揭牌，系全国首个”芯片大学”．已知某种芯片的厚度约为0.00012米，其中”0.00012”用科学记数法可表示为()A ．12×10﹣4B ．1.2×10﹣4C ．1.2×10﹣5D ．1.2×10﹣3【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为A ×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解:0.00012＝1.2×10﹣4．故选:B ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为A ×10﹣n，其中1≤|A |＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的左视图是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解:从左边看，底层是一个矩形，上层是一个等腰梯形，故选:C ．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．5．下列分解因式正确的一项是()A ．9x2﹣1＝(3x+1)(3x﹣1)B ．4xy+6x＝x(4y+6)C ．x2﹣2x﹣1＝(x﹣1)2D ．x2+xy+y2＝(x+y)2【分析】利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案．【解答】解:选项A :运用平方差公式得9x2﹣1＝(3x+1)(3x﹣1)，符合题意；选项B :运用提取公因式法得4xy+6x＝2x(2y+3)，不符合题意；选项C :x2﹣2x﹣1不能进行因式分解，不符合题意；选项D :x2+xy+y2不能进行因式分解，不符合题意．故选:A ．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6．每年春秋季节，流感盛行，极具传染性．如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确的是()A ．(x+1)2＝81B ．1+x+x2＝81C ．1+x+(x+1)2＝81D ．1+(x+1)+(1+x)2＝81【分析】设每人每轮平均感染x人，根据经过两轮后共有81人得流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解:设每人每轮平均感染x人，∵1人患流感，一个人传染x人，∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；∴第二轮传染的人数为(1+x)x，此时患病总人数为1+x+(1+x)x＝(1+x)2，∵经过两轮后共有81人得流感，∴可列方程为:(1+x)2＝81．故选:A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．如图，将等边△A B C 的顶点B 放在一组平行线的直线B 上，边A B ，A C 分别交直线A 于D ，E 两点，若∠1＝40°，则∠2的大小为()A ．24°B ．22°C ．20°D ．18°【分析】过点C 作C F∥A ，则C F∥A ∥B ，再利用平行线的性质和等边三角形的内角是60°可得∠2的度数．【解答】解:过点C 作C F∥A ，则C F∥A ∥B ，∴∠1＝∠A C F＝40°，∠2＝∠B C F．∵等边三角形A B C 中，∠A C B ＝60°，∴∠B C F＝60°﹣40°＝20°，∴∠2＝∠B C F＝20°．故选:C ．【点评】本题考查平行线的性质和等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．8．莱洛三角形，也称作崭洛三角形或圆弧三角形，它的应用广泛，不仅用于建筑、商品的外包装设计，还用在工业方面．莱洛三角形形状的钻头可钻出正万形内孔，发动机的原件上也有莱洛三角形．如图1，分别以等边△A B C 的顶点小A ，B ，C 为圆心，以A B 长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做莱洛三角形，如图2，若A B ＝3，则莱洛三角形的面积为()A ．π﹣B ．π+C ．π﹣D ．π﹣【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解:过A 作A D ⊥B C 于D ，∵A B ＝A C ＝B C ＝3，∠B A C ＝∠A B C ＝∠A C B ＝60°，∵A D ⊥B C ，∴B D ＝C D ＝，A D ＝ B D ＝，∴△A B C 的面积为•B C •A D ＝，S扇形B A C ＝＝π，∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝π﹣，故选:D ．【点评】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积＝三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(t，3)、(t，0)，点D 是直线y＝kx+1与y轴的交点，若点A 关于直线y＝kx+1的对称点A ′恰好落在四边形OA B C 内部(不包括正好落在边上)，则t的取值范围为()A ．﹣2＜t＜2B ．﹣2＜t＜2C ．﹣2＜t＜﹣2或2＜t＜2D ．以上答案都不对【分析】根据条件，可以求得点A 关于直线B D 的对称点E的坐标，再根据E在图形中的位置，得到关于t的方程组【解答】解:∵点B (t，3)在直线y＝kx+1上，∴3＝kt+1，得到，于是直线B D 的表达式是．于是过点A (0，3)与直线B D 垂直的直线解析式为．联立方程组，解得，则交点M．根据中点坐标公式可以得到点E，∵点E在长方形A B C O的内部∴，解得或者．本题答案:或者．故选:C ．【点评】该题涉及直线垂直时”k”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．计算量较大．10．如图，在矩形A B C D 中，A D ＝ A B ，∠B A D 的平分线交B C 于点E．D H⊥A E于点H，连接B H并延长交C D 于点F，连接D E交B F于点O，下列结论:①A D ＝A E；②∠A ED ＝∠C ED ；③OE＝OD ；④B H＝HF；⑤B C ﹣C F＝2HE，其中正确的有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】①由角平分线的性质和平行线的性质可证A B ＝B E，由勾股定理可得A D ＝A E＝ A B ，从而判断出①正确；②由”A A S”可证△A B E和△A HD 全等，则有B E＝D H，再根据等腰三角形两底角相等求出∠A D E ＝∠A ED ＝67.5°，求出∠C ED ＝67.5°，从而判断出②正确；③求出∠A HB ＝67.5°，∠D HO＝∠OD H＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD ＝OH，判断出③正确；④求出∠EB H＝∠OHD ＝22.5°，∠A EB ＝∠HD F＝45°，然后利用”角边角”证明△B EH和△HD F 全等，根据全等三角形对应边相等可得B H＝HF，判断出④正确；⑤根据全等三角形对应边相等可得D F＝HE，然后根据HE＝A E﹣A H＝B C ﹣C D ，B C ﹣C F＝B C ﹣(C D ﹣D F)＝2HE，判断出⑤正确．【解答】解:①∵A E平分∠B A D ，∴∠B A E＝∠D A E＝∠B A D ＝45°，∵A D ∥B C ，∴∠D A E＝∠A EB ＝45°，∴∠A EB ＝∠B A E＝45°，∴A B ＝B E，∴A E＝ A B ，∵A D ＝ A B ，∴A D ＝A E，故①正确；②在△A B E和△A HD 中，，∴△A B E≌△A HD (A A S)，∴B E＝D H，∴A B ＝B E＝A H＝HD ，∴∠A D E＝∠A ED ＝(180°﹣45°)＝67.5°，∴∠C ED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠A ED ＝∠C ED ，故②正确；∵A B ＝A H，∵∠A HB ＝(180°﹣45°)＝67.5°，∠OHE＝∠A HB (对顶角相等)，∴∠OHE＝67.5°＝∠A ED ，∴OE＝OH，∵∠D HO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠OD H＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠D HO＝∠OD H，∴OH＝OD ，∴OE＝OD ＝OH，故③正确；∵∠EB H＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠EB H＝∠OHD ，在△B EH和△HD F中，，∴△B EH≌△HD F(A SA )，∴B H＝HF，HE＝D F，故④正确；∵HE＝A E﹣A H＝B C ﹣C D ，∴B C ﹣C F＝B C ﹣(C D ﹣D F)＝B C ﹣(C D ﹣HE)＝(B C ﹣C D )+HE＝HE+HE＝2HE．故⑤正确；故选:D ．【点评】本题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识．熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．二．填空题(共4小题)11．如果抛物线y＝A x2+B x+C 在对称轴左侧呈上升趋势，那么A 的取值范围是 A ＜0．【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，即可求解．【解答】解:∵抛物线y＝A x2+B x+C 在对称轴左侧呈上升趋势，∴抛物线开口向下，∴A ＜0，故答案为A ＜0．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数A 决定抛物线的开口方向和大小．当A ＞0时，抛物线向上开口；当A ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数B 和二次项系数A 共同决定对称轴的位置:当A 与B 同号时，对称轴在y轴左；当A 与B 异号时，对称轴在y轴右．12．不等式5x+1≥3x﹣5的解集为x≥﹣3．【分析】不等式移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集．【解答】解:不等式移项得:5x﹣3x≥﹣5﹣1，合并得:2x≥﹣6，解得:x≥﹣3．故答案为:x≥﹣3．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．13．在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝A x2+3A x﹣4A (A 是常数，且A ＜0)，直线A B 过点(0，n)(﹣5＜n＜5)且垂直于y轴．(1)该抛物线顶点的纵坐标为﹣ A (用含A 的代数式表示)．(2)当A ＝﹣1时，沿直线A B 将该抛物线在直线上方的部分翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为y2，且当﹣5≤x≤2时，函数y2的最大值与最小值之差小于7，则n的取值范围为﹣＜n＜1．【分析】(1)把抛物线y1＝A x2+3A x﹣4A 化成顶点式即可求得；(2)先求得顶点M的坐标，然后根据轴对称的性质求得对称点M′的坐标，由题意可知当x＝﹣5时y1的值与当x＝2时y1的值相等，为y1＝﹣6，易得函数y2的最大值为n，若2n﹣≥﹣6，即n≥时，y2的最小值为﹣6，即可得出n﹣(﹣6)＜7，即n＜1，得到≤n＜1；若2n﹣＜﹣6，即n＜时，y2的最小值为2n﹣，即可得出n﹣(2n﹣)＜7，即n＞﹣，得到﹣＜n＜，进而即可得到﹣＜n＜1．【解答】解:(1)y1＝A x2+3A x﹣4A ＝A (x+3)2﹣ A ，∴该抛物线顶点的纵坐标为﹣ A ，故答案为﹣ A ；(2)当A ＝﹣1时，y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣(x+)2+，抛物线的顶点M(﹣，)，∵直线A B ⊥y轴且过点(0，n)(﹣5＜n＜5)，∴点M关于直线A B 的对称点M′(﹣，2n﹣)，∵抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣，且自变量x的取值范围为﹣5≤x≤2，∴当x＝﹣5时y1的值与当x＝2时y1的值相等，为y1＝﹣22﹣3×2+4＝﹣6，由题意易得函数y2的最大值为n，若2n﹣≥﹣6，即n≥时，y2的最小值为﹣6，∵函数y2的最大值与最小值之差小于7，∴n﹣(﹣6)＜7，即n＜1，∴≤n＜1，若2n﹣＜﹣6，即n＜时，y2的最小值为2n﹣，∵函数y2的最大值与最小值之差小于7，∴n﹣(2n﹣)＜7，即n＞﹣，∴﹣＜n＜，综上，﹣＜n＜1，故答案为﹣＜n＜1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．14．如图，∠A OB ＝45°，点M，N在边OA 上，OM＝x，ON＝x+2，点P是边OB 上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是2﹣2≤x≤2或x＝2或x＝﹣1．【分析】考虑四种特殊位置，求出x的值即可解决问题；【解答】解:如图1中，当△P2MN是等边三角形时满足条件，作P2H⊥OA 于H．在Rt△P2HN中，P2H＝NH＝，∵∠O＝∠HP2O＝45°，∴OH＝HP2＝，∴x＝OM＝OH﹣MH＝﹣1．如图2中，当⊙M与OB 相切于P1，MP1＝MN＝2时，x＝OM＝2，此时满足条件；如图3中，如图当⊙M经过点O时，x＝OM＝2，此时满足条件的点P有2个．如图4中，当⊙N与OB 相切于P1时，x＝OM＝2﹣2，观察图3和图4可知:当2﹣2＜x≤2时，满足条件，综上所述，满足条件的x的值为:2﹣2＜x≤2或x＝2或x＝﹣1，故答案为2﹣2＜x≤2或x＝2或x＝﹣1．【点评】本题考查等腰三角形的判定、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题(共9小题)15．计算:(π﹣2021)0+2﹣3﹣+2C os45°．【分析】直接利用零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解:原式＝1+﹣2+2×＝1+﹣2+＝1﹣．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．我国古代问题:以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是:用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？【分析】设绳长是x尺，井深是y尺，根据把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程组即可．【解答】解:设绳长是x尺，井深是y尺，依题意有:，解得:，答:绳长是36尺，井深是8尺．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．17．如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中，给出了格点△A B C (格点为网格线的交点)．(1)画出△A B C 关于直线l对称的△A 'B 'C '；(2)画出将△A 'B 'C ′绕B '点逆时针旋转一定的角度得到的△A ″B 'C ″，且点A ″和点C ″均为格点．【分析】(1)分别作出A ，B ，C 的对应点A ′，B ′，C ′即可．(2)将△A ′B ′C ′绕点B ′逆时针旋转90°即可．【解答】解:(1)如图，△A 'B 'C '即为所求作．(2)如图，△A ″B 'C ″即为所求作．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．观察下列等式:①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，…(1)请按以上规律写出第⑥个等式:＝7+；(2)猜想并写出第n个等式:＝(n+1)+；并证明猜想的正确性．(3)利用上述规律，直接写出下列算式的结果:+++…+＝4753．【分析】(1)根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；(2)根据发现的规律写出第n个等式并计算可进行验证；(3)根据＝1，＝2，＝3…可得原式＝1+2+3……+97，进而可得答案．【解答】解:(1)第⑥个式子为:＝7+；故答案为:＝7+；(2)猜想第n个等式为:＝(n+1)+，证明:∵左边＝＝＝(n+1)+＝右边，故答案为:＝(n+1)+；(3)原式＝1+2+3+…+97＝＝4753．故答案为:4753．【点评】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键．19．关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m＝0．(1)求证:方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．【分析】(1)计算判别式的值得到△＝4m2+1，利用非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；(2)根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，利用x12+x22＝3得到(2m+1)2﹣2×m＝3，然后解方程即可．【解答】(1)证明:△＝(2m+1)2﹣4m＝4m2+1，∵4m2≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解:∵x1，x2是该方程的两根，则x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，∵x12+x22＝3，∴(x1+x2)2﹣2x1x2＝3，∴(2m+1)2﹣2×m＝3，解得m＝或﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程A x2+B x+C ＝0(A ≠0)的根的判别式△＝B 2﹣4A C :当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．20．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+B (k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象相交于A 、B 两点，且点B 的纵坐标为﹣6，过点A 作A E⊥x轴于点E，tA n∠A OE＝，A E＝2．求:(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)求△A OB 的面积．(3)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【分析】(1)首先根据A E⊥x轴于点E，tA n∠A OE＝，A E＝2等条件求出A 点的坐标，然后把A 点坐标代入反比例函数的解析式中，求出m的值，再根据B 点在反比例函数的图象上，进而求出k，根据两点式即可求出一次函数的解析式，(2)首先求出一次函数与y轴的交点坐标，然后再根据S△A OB ＝S△OB D +S△A OD 求面积；(3)根据图象即可求得．【解答】解:(1)在Rt△OEA 中:∵tA n∠A OE＝＝，∵A E＝2，∴OE＝6，∴点A 的坐标为(6，2)，∵A 在反比例函数y＝(m≠0)的图象上，∴m＝6×2＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，设B 点坐标为(A ，﹣6)，把(A ，﹣6)代入y＝，解得A ＝﹣2，把A (6，2)和B (﹣2，﹣6)代入y＝kx+B 中，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x﹣4；(2)直线y＝x﹣4与y的交点为D ，故D 点坐标为(0，﹣4)，∴S△A OB ＝S△OB D +S△A OD ＝×4×6+×4×2＝12+4＝16；(3)观察图象，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数交点问题的知识点，解答本题的关键是根据题干条件求出A 点的坐标，进而求出反比例函数和一次函数的解析式，本题难度一般，是一道很不错的试题．21．如图，已知△ABC ，以A B 为直径的⊙O分别交A C ，B C 于点D ，E．连接OE，OD ，D E，且ED ＝EC ．(1)求证:点E为B C 的中点．(2)填空:①若A B ＝6，B C ＝4，则C D ＝；②当∠A ＝60°时，四边形OD C E是菱形．【分析】(1)连接A E，如图，先证明∠B ＝∠C 得到△A B C 为等腰三角形，再根据圆周角定理得到∠A EB ＝90°，即A E⊥B E，然后根据等腰三角形的性质得到结论；(2)①证明△C D E∽△C B A ，利用相似比可求出C D 的长；①当∠A ＝60°，证明△A OD 和△A B C 、△C D E、△OB D 都为等边三角形，则OD ＝D C ＝C E ＝OE，然后判定四边形OD C E是菱形．【解答】(1)证明:连接A E，如图，∵ED ＝EC ，∴∠C ＝∠ED C ，∵∠ED C ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴△A B C 为等腰三角形，∵A B 为直径，∴∠A EB ＝90°，即A E⊥B E，∴B E＝C E，即点E为B C 的中点；(2)①∵∠D C E＝∠B C A ，∠ED C ＝∠B ，∴△C D E∽△C B A ，∴C D :B C ＝D E:A B ，即C D :4＝2:6，∴C D ＝；①当∠A ＝60°，∵OA ＝OD ，A B ＝A C ，∴△A OD 和△A B C 都为等边三角形，∴OD ＝OA ，同理可得△C D E、△OB D 都为等边三角形，∴C D ＝C E＝D E＝B E＝OB ，∴OD ＝D C ＝C E＝OE，∴四边形OD C E是菱形．故答案为；60．【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质和菱形的判定．22．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直结果分为”非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图:根据图中信息，解答下列问题:(1)在扇形统计图中，”非常重视”所占的圆心角的度数为18°，并补全条形统计图；(2)该校共有学生4000人，请你估计该校对视力保护”比较重视”的学生人数；(3)对视力”非常重视”的4人有A 1，A 2两名男生，其中A 1是七年级学生，A 2是八年级学生；B 1，B 2两名女生，其中B 1是八年级，B 2是九年级．若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请求出恰好抽到不同年级、不同性别的学生的概率．【分析】(1)先由”不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以”非常重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出”重视”的人数，补全条形统计图即可；(2)由该校共有学生人数乘以”比较重视”的学生所占比例即可；(3)画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有6个，再由概率公式求解即可．【解答】解:(1)调查的学生人数为16÷20%＝80(人)，∴”非常重视”所占的圆心角的度数为360°×＝18°，故答案为:18°，“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24(人)，补全条形统计图如图:(2)由题意得:4000×＝1800(人)，即估计该校对视力保护”比较重视”的学生人数为1800人；(3)画树状图如图:共有12个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有6个，∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．23．已知，如图1，Rt△A B C 中，A B ＝A C ，∠B A C ＝90°，D 为△A B C 外一点，且∠A D C ＝90°，E为B C 中点，A F∥B C ，连接EF交A D 于点G，且EF⊥ED 交A C 于点H，A F＝1．(1)若＝，求EF的长；(2)在(1)的条件下，求C D 的值；(3)如图2，连接B D ，B G，若B D ＝A C ，求证:B G⊥A D ．【分析】(1)判断出△A HF∽△C HE，得出比例式，求出C E，最后用勾股定理，即可得出结论；(2)先求出A C ＝3，再判断出△A EG≌△C ED (A SA )，得出EG＝ED ，再判断出△A EF∽△D A C ，得出比例式，即可得出结论；(3)先判断出△B ED ∽△B D C ，得出，进而判断出A G＝GD ，即可得出结论．【解答】解:(1)如图1，连接A E，∵A F∥B C ，∴△A HF∽△C HE，∴，∴A F＝1，，∴，∴C E＝3，在Rt△A B C 中，A B ＝A C ，点E是B C 的中点，∴A E＝ B C ＝C E，A E⊥B C ，∴C E＝3，∵A F∥B C ，∴A E⊥A F，∴∠EA F＝90°，根据勾股定理得，EF＝＝；(2)由(1)知，EF＝，C E＝3，∴B C ＝2C E＝6，∴A C ＝3，∵∠A EP＝∠C D P，∠A PE＝∠C PD ，∴∠EA G＝∠PC D ，∵∠A EG＝∠C ED ，A E＝C E，∴△A EG≌△C ED (A SA )，∴EG＝ED ，∴∠ED G＝45°＝∠A C E，∵∠A PC ＝∠EPD ，∴∠PED ＝∠C A P，∴∠FEA ＝∠C A D ，∴△A EF∽△D A C ，∴，∴，∴C D ＝．(3)如图2，在Rt△A B C 中，A B ＝A C ，∴，，连接A E，∵，，∴，∵∠EB D ＝∠D B C ，∴△B ED ∽△B D C ，∴，∴C D ＝ D E＝GD ，∵C D ＝A G，∴A G＝GD ，∵B D ＝A B ，∴B G⊥A D ．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理，构造出相似三角形是解本题的关键．。

2024年山东省威海市中考数学真题(含答案)

2024年山东省威海市中考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（）A．+7B．﹣5C．﹣3D．102．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（）A．1×10﹣5B．1×10﹣6C．1×10﹣7D．1×10﹣83．下列各数中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣（﹣2）C．−12D．−24．下列运算正确的是（）A．x5+x5＝x10B．m+n2•1n=mnC．a6÷a2＝a4D．（﹣a2）3＝﹣a55．下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A．B．C．D．6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交AB于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．237．定义新运算：①在平面直角坐标系中，{a ，b }表示动点从原点出发，沿着x 轴正方向（a ≥0）或负方向（a ＜0）平移|a |个单位长度，再沿着y 轴正方向（b ≥0）或负方向（b ＜0）平移|b |个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x 轴负方向平移2个单位长度，再沿着y 轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．②加法运算法则：{a ，b }+{c ，d }＝{a +c ，b +d }，其中a ，b ，c ，d 为实数．若{3，5}+{m ，n }＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（）A ．m ＝2，n ＝7B ．m ＝﹣4，n ＝﹣3C ．m ＝4，n ＝3D ．m ＝﹣4，n ＝38．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x 尺，井深y 尺，则符合题意的方程组是（）A ．3x−y =44x−y =1B ．3x +4=y4x +1=yC −y =4−y =1D +4=y +1=y 9．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，连接AE ，AF ，EF ，EF 交AC 于点G ．下列结论错误的是（）A ．若CE CF =ADAB ，则EF ∥BDB ．若AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，AE ＝AF ，则EF ∥BD C ．若EF ∥BD ，CE ＝CF ，则∠EAC ＝∠FAC D ．若AB ＝AD ，AE ＝AF ，则EF ∥BD10．同一条公路连接A ，B ，C 三地，B 地在A ，C 两地之间．甲、乙两车分别从A 地、B 地同时出发前往C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y （km ）与时间x （h ）的函数关系．下列结论正确的是（）A ．甲车行驶83h 与乙车相遇B ．A ，C 两地相距220km C ．甲车的速度是70km /h D ．乙车中途休息36分钟二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）11．计算：12−8×6= ．12．因式分解：（x +2）（x +4）+1＝　　．13．如图，在正六边形ABCDEF 中，AH ∥FG ，BI ⊥AH ，垂足为点I ．若∠EFG ＝20°，则∠ABI ＝　　.14．计算：4x−2+x 22−x =　　．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝ax +b （a ≠0）与双曲线y 2=kx （k ≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围．16．将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦•时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦•时．求一盏A型节能灯每年的用电量．18．（8分）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．表1：2月份测试成绩统计表个数0136810人数484121表2：本学期测试成绩统计表平均数/个众数/个中位数/个合格率2月 2.6a 120%3月 3.13425%4月44535%5月 4.555540%6月b86c请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a ，b ，c 的值；（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．19．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角成员组长：×××组员：×××，×××，×××测量工具竹竿，米尺测量示意图说明：AC 是一根笔直的竹竿．点D 是竹竿上一点，线段DE 的长度是点D 到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角测量数据…………（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程．（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为．20．（9分）感悟如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．21．（9分）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．应用如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB 延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为y cm2，点E的运动时间为x秒．（1）求证：BE＝EF；（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：①x1+x2 x3+x4；②x1﹣x3 x2﹣x4；③x2+x3 x1+x4．（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为916，求b的值．2024年山东省威海市中考数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．C2．B3．A4．C5．D6．B7．B8．C9．D10．A二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）11．−2312．（x+3）213．50°14．﹣x﹣215．﹣1≤x＜0或x≥216．3 2三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦•时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦•时，根据题意得：160002x−32=9600x，解得：x＝96，经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦•时）．答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦•时．18．（8分）解：（1）6月测试成绩中，引体向上3个的人数为20﹣4﹣1﹣6﹣4＝5（人），补充统计图如下：c =1+6+420×100%＝55%，根据表2可得a ＝1，b =120（4×1+5×3+1×6+6×8+4×10）＝5.65，（2）本次引体向上训练活动的效果明显，理由如下：从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，从中位数看，引体向上个数逐月增加，从众数看，引体向上的个数越来越大（答案不唯一，合理即可）；（3）400×55%＝220（人），答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数约220人．19．（8分）解：（1）需要的数据为：AB ＝a ，AC ＝c ，DE ＝e ，CD ＝f ；（2）过点A 作AM ⊥CB 于点M ，则∠AMB ＝90°，∵DE ⊥CB ，∴DE ∥AM ，∴△CDE∽△CAM，∴DEAM=CDCA，即eAM=fc，∴AM=ecf，∴sinα=AMAB=ecfa=ecaf；（3）∵sinα=ecaf，∴按键顺序为2ndF，sin，0，•，8，6，＝，故答案为：①．20．（9分）解：感悟：过点A作AH⊥BE于点H，∵AB＝AE，BC＝DE，∴∠BAH＝∠EAH，∠CAH＝∠DAH，∴∠BAC＝∠DAE；应用：（1）解：如图2：点D，E即为所求；（2）点D，E即为所求．21．（9分）解：（1）设经过x秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，则：|（﹣3+x）﹣（12﹣2x）|＝3，解得：x＝4或x＝6，答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，则y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|，当x≤3时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝3﹣x+12﹣2x＝﹣3x+15，当x＝3时，y值最小，为6，当3＜x≤6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x+12﹣2x＝﹣x+9，当x＝6时，y值最小，为3，当x＞6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x﹣12+2x＝3x﹣15，当x＝6时，y有极小值，为3，综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．22．（10分）（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BC＝CD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AF，∵EH平分∠FEG，∴∠FEH＝∠GEH，∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEH＝∠F+∠BAF，∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，∴∠BAF＝2∠BAC，∴∠F＝2∠H＝90°，∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF，∵OC是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠OCB+∠BCE＝90°，∴∠OBC+∠BAC＝90°，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BCE＝∠EAC，∵∠CEB＝∠CAE，∴△BCE∽△CAE，∴BE CE =CE AE =BC AC =24=12，∴CE 2＝BE •AE ，即16＝2AE ，解得AE ＝8，∴AB ＝8﹣2＝6，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC AC =12，∴BC =655，AC =1255，∵∠F ＝∠ACB ＝90°，∠FAC ＝∠BAC ，∴△FAC ∽△CAB ，∴AF AC =ACAB ，∴AF =AC 2AB =245．23．（10分）（1）证明：设CD 与EF 相交于点M ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ﹣＝DC ，∠BCE ＝∠DCE ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠DCF ＝60°，在△BCE 和△DCE 中，BC =DC ∠BCE =∠DCE СЕ=СЕ，∴△BCE ≌△DCE （SAS ），∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，又∵∠DEF＝∠DCF＝60°，∴∠CDE＝∠CFE，∴∠CBE＝∠CFE，∴BE＝EF；（2）解：过点E作EN⊥BC于N，则∠ENC＝90°，∵BE＝EF，∴BF＝2BN，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴ВС＝АВ＝10cm，∠АСВ＝∠BСD＝60°，即∠ECN＝60°，∵CE＝2x cm，∴EN＝CE•sin60°＝2x•32=3x（cm），CN＝CE•cos60°＝2x•12=x（cm），∴BN＝BC﹣CN＝10﹣x（cm），∴BF＝2（10﹣x）cm，∴у=12ВF•ЕN=12×2（10﹣х）×3х=−3х2+103х，∵0＜2x≤10，∴0＜x≤5，∴y=−3х2+103х（0＜x≤5）；（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，∴DE＝EF，∵∠DEF＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴DE＝DF﹣EF，∴BE＝DF，∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴АВ＝ВС，∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AE＝AB＝AC＝10cm，∵BE⊥AC，∴CE=12AC＝5cm，∴x=CE2=52，∴当x=52时，线段DF的长度最短．24．（12分）解：（1）∵y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴x1+x2＝﹣b，且抛物线开口向上，∵y1=x2+bx+c+1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x1＜x4，即y＝x2+bx+c（b＜0）向上平移1个单位，∴x1＜x3＜x4＜x2，且x1+x4＝﹣b，∴①x1+x2＝x1+x4；∵x2﹣x1＞x4﹣x3∴x2﹣x4＞x1﹣x3，即②x1﹣x5＜x2﹣x4；∴x1+x3＞x1+x4，即③x2+x3＞x1+x4，故答案为：＝；＜；＞；（2）∵x1＝1，2＜x2＜3，∴3＜x2+x1＜4∴3＜﹣b＜4，∴﹣4＜b＜﹣3；（3）抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为(−b2，4c−b24)，对称轴为直线x=−b2＞0，当x＝0时，y＝c；当x＝1时，y＝1+b+c；①当在x＝0 取得最大值，在x＝1取得最小值时，有c−(1+b+c)=916，解得b=−25 16；②当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，有c−4c−b24=916，解得b=32（舍去）或b=−32；③当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，有1+b+c−4c−b24=916，解得b=−72（舍去）或b=−12，综上所述，b的值为−32或−12或−2516．。

2024年云南省中考真题数学试卷含答案解析

2024年云南省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作（）A ．100米B ．100-米C ．200米D ．200-米【答案】B【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．【详解】解：若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作100-米，故选：B ．2．某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（）A ．45.7810⨯B ．357.810⨯C ．257810⨯D ．578010⨯【答案】A【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：457800 5.7810=⨯，故选：A ．3．下列计算正确的是（）A ．33456x x x +=B ．635x x x ÷=C ．()327a a =D ．()333ab a b =【答案】D【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可．【详解】解：A 、33356x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、633x x x ÷=，选项计算错误，不符合题意；C 、()326a a =，选项计算错误，不符合题意；D 、()333ab a b =，选项计算正确，符合题意；故选：D ．4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A ．0x >B ．0x ≥C ．0x <D ．0x ≤5．某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（）A ．正方体B ．圆柱C ．圆锥D ．长方体【答案】D【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据长方体三视图的特点确定结果．【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体．故选：D ．6．一个七边形的内角和等于（）A ．540︒B ．900︒C ．980︒D ．1080︒【答案】B【分析】本题考查多边形的内角和，根据n 边形的内角和为()2180n -⋅︒求解，即可解题．【详解】解：一个七边形的内角和等于()72180900-⨯︒=︒，故选：B ．7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数x 环）和方差2s 如下表所示：甲乙丙丁x9.99.58.28.52s 0.090.650.162.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，∴中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，故选：A ．8．已知AF 是等腰ABC 底边BC 上的高，若点F 到直线AB 的距离为3，则点F 到直线AC 的距离为（）A ．32B ．2C ．3D ．72【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到AF 平分BAC ∠，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵AF 是等腰ABC 底边BC 上的高，∴AF 平分BAC ∠，∴点F 到直线AB ，AC 的距离相等，∵点F 到直线AB 的距离为3，∴点F 到直线AC 的距离为3．故选：C ．9．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年⨯（1-平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x -=，故选：B ．10．按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，第n 个代数式是（）A ．2nx B ．()1nn x-C ．1n nx +D ．()1nn x+【答案】D【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，∴第n 个代数式是()1nn x +，11．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A ．爱B ．国C ．敬D ．业【答案】D【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）进行逐一判断即可．【详解】解：A 、图形不是轴对称图形，不符合题意；B 、图形不是轴对称图形，不符合题意；C 、图形不是轴对称图形，不符合题意；D 、图形是轴对称图形，符合题意；故选：D ．12．在Rt ABC △中，90B Ð=°，已知34AB BC ==，，则tan A 的值为（）A ．45B ．35C ．43D ．3413．如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若 AC BC=，36AOC ∠= ，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．4514．分解因式：39a a -=（）A ．()()33a a a -+B ．()29a a +C ．()()33a a -+D ．()29a a -【答案】A【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将39a a -先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：()()()329933a a a a a a a -=-=+-，故选：A ．15．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）A ．700π平方厘米B ．900π平方厘米C ．1200π平方厘米D ．1600π平方厘米【答案】C【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公二、填空题16．若关于x 的一元二次方程220x x c -+=无实数根，则c 的取值范围是．【答案】1c >/1c<【分析】利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4c ＜0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得Δ=（-2）2-4c ＜0，解得c ＞1．故答案为：c ＞1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．17．已知点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上，则n =．18．如图，AB 与CD 交于点O ，且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++，则AC BD=．19．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有人．【答案】120【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用1000乘以12%即可求解，看懂统计图是解题的关键．【详解】解：该校喜欢跳绳的学生大约有100012%120⨯=人，故答案为：120．三、解答题20．计算：12117sin3062-⎛⎫++---⎪⎝⎭．21．如图，在ABC 和AED △中，AB AE =，BAE CAD ∠=∠，AC AD =．求证：ABC AED ≌△△．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“SAS ”证明ABC AED ≌△△，即可解决问题．【详解】证明： BAE CAD ∠=∠，∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠，在ABC 和AED △中，AB AEBAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC AED ≌．22．某旅行社组织游客从A 地到B 地的航天科技馆参观，已知A 地到B 地的路程为300千米，乘坐C 型车比乘坐D 型车少用2小时，C 型车的平均速度是D 型车的平均速度的3倍，求D 型车的平均速度．【答案】D 型车的平均速度为100km /h【分析】本题考查分式方程的应用，设D 型车的平均速度为km /h x ，则C 型车的平均速度23．为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a，选择植物园b为b，选择科技馆c为c，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(),x y所有可能出现的结果总数；(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P．24．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，且AB CD ∥，AD BC ∥，四边形EFGH 是矩形．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若矩形EFGH 的周长为22，四边形ABCD 的面积为10，求AB 的长． ∴四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 中，点E 、25．A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．(1)求a、b的值；(2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的43，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．26．已知抛物线21y x bx =+-的对称轴是直线2x =．设m 是抛物线21y x bx =+-与x 轴交点的横坐标，记533109m M -=．(1)求b 的值；(2)比较M27．如图，AB 是O 的直径，点D 、F 是O 上异于A 、B 的点．点C 在O 外，CA CD =，延长BF 与CA 的延长线交于点M ，点N 在BA 的延长线上，AMN ABM ∠∠=，AM BM AB MN ⋅=⋅．点H 在直径AB 上，90AHD ∠= ，点E 是线段DH 的中点．(1)求AFB ∠的度数；(2)求证：直线CM 与O 相切：(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE 、线段EB 、线段CB 有关的三个结论：CE EB CB +<，CE EB CB +=，CE EB CB +>，你认为哪个正确？请说明理由．【答案】(1)90︒(2)见解析(3)CE EB CB +=，理由见解析∴点O在线段AD的中垂线上，=，∵CA CD∴点C在线段AD的中垂线上，⊥，∴OC AD。

2024年吉林省中考真题数学试卷含答案解析

2024年吉林省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A ．102.0410⨯B ．92.0410⨯C ．820.410⨯D ．100.20410⨯3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4．下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A ．()4,2--B ．()4,2-C ．()2,4D ．()4,2【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题7．当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为．8．因式分解：a 2﹣3a=．【答案】a （a ﹣3）【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为．【答案】23x <</32x >>【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11．正六边形的每个内角等于°．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为．13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为．【答案】()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为 2m （结果保留π）．三、解答题15．先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率17．如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴黑色琴键由：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．19．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD、，作直线GH，则直线GH即为所求；（2）解：如图所示，取格点G H⊥．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21．中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？(1)20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．(2)直接写出20192023(3)下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，②201920232020年全国居民人均可支配收入最低．【答案】(1)8485元(2)35128元(3)①【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【详解】（1）解：39218307338485-=元，答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．（2）解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；（3）解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）在Rt GAD 中，45EAD ∠=∴873tan DG AG DG EAD===∠在Rt GAC △中，37EAC ∠=∴tan 873CG AG EAC =⋅∠=∴873654.75CD DG CG =-=-23．综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mm x 16.519.823.126.429.7凳面的宽度/mm y 115.5132148.5165181.5【分析数据】如图③，小组根据表中x ，y 的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+(2)36mm【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【详解】（1），解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；（2）解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．25．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P从点A /s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．∵90C ∠=︒，30B ∠=∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=∴PAQ APQ =∠∠，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =∴QE QA =，即22AE AQ t ==∵30PAQ ∠=︒，∴1322PG AP ==∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ ===∴12S QE PG =⋅=∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而CE AE AC =-∴tan CF CE =⋅∠∴1S CE CF =⋅∵30DAC ∠=︒DCA ∠=由上知3DC =，∴23AD =，∴此时323PD t =-26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．(1)直接写出k ，a ，b 的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【详解】（1）解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；（2）解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y 当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程2ax +Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。

2024年山东省烟台市中考真题数学试卷含答案解析

2024年山东省烟台市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中的无理数是（）A ．23B ．3.14C D2．下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ． 12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．3．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A 、取走①时，左视图为，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意；B 、取走②时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C 、取走③时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C 不符合题意；D 、取走④时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D 不符合题意；故选：A ．4．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A ．3b c +>B ．0a c -<C ．a c >D ．22a b-<-【答案】B5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A ．30.1510⨯纳米B ．.41510⨯纳米C ．51510-⨯纳米D ．61.510-⨯纳米6．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（）A ．22S S >甲乙B ．22S S <甲乙C ．22S S =甲乙D ．无法确定【答案】A 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，∴22S S >甲乙；故选A ．7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP 为AOB ∠的平分线；第二个图，由作图可知：,OC OD OA OB ==，∴AC BD =，∵AOD BOC ∠=∠，∴AOD BOC ≌△△，∴OAD OBC ∠=∠，∵AC BD =，BPD APC ∠=∠，∴BPD APC ≌，∴AP BP =，∵,OA OB OP OP ==，∴AOP BOP ≌△△，∴AOP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第三个图，由作图可知,ACP AOB OC CP ∠=∠=，∴CP BO ∥，COP CPO ∠=∠，∴CPO BOPÐ=Ð∴COP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第四个图，由作图可知：OP CD ⊥，OC OD =，∴OP 为AOB ∠的平分线；故选D ．8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α∴OD OC =，ODC ∠=∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OD ∴EOF DOC ∽△△，9．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺故选：C ．10．如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（）A ．B ．C ．D ．∵菱形EFGH ，60E ∠=︒，依题意，MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则cos30NG =∴1sin 60S NG NG =⨯⨯⨯︒依题意，6EM EG t t =-=-，则EK ∴()211236223EKJ S EJ EM t =⋅=⨯- ∴EKJS S S =- 菱形当1114x <≤时，同理可得，3综上所述，当03x ≤≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当开口向下的一段抛物线，当68x <≤时，函数图象为一条线段，当开口向下的一段抛物线，当1114x <≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D ．二、填空题11x 的取值范围为．【答案】1x >/1x<【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：10x ->，解得：1x >；故答案为：1x >．12．关于x 的不等式12x m x -≤-有正数解，m 的值可以是（写出一个即可）．13．若一元二次方程22410x x --=的两根为m ，n ，则2234m m n -+的值为．14．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作 BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．设圆锥的底面圆的半径为∴3r =；故答案为：3．15．如图，在ABCD Y 中，120C ∠=︒，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF ' ，连接AD '，BD '，则ABD '△面积的最小值为．过C 作CN AB ⊥于N ，∵AB CD ∥，∴EM CN =，在Rt BCN 中，10BC =，CBN ∠16．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：x4-3-1-15y59527-下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x -<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y --均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x -或3x >．其中正确结论的序号为．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出a b c 、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把()4,0-，()1,9-，()1,5代入2y ax bx c =++得，164095a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴0abc >，故①正确；∵1a =-，2b =-，8c =，由2228y x y x x =-+⎧⎨=--+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =-⎧⎨=⎩，∴()2,0A ，()3,5B -，由图形可得，当3x <-或2x >时，2282x x x --+<-+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题17．利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：27442393mm m m m m --⎛⎫+÷⎪--+，再求值．18．“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)请补全条形统计图；(2)扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19．根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，1429α︒≤≤︒；夏至日时，4376α︒≤≤︒．sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈sin290.48︒≈，cos290.87≈︒，tan290.55≈︒sin430.68︒≈，cos430.73︒≈，tan430.93︒≈sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB 共11层，乙楼CD 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE 为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填14︒，29︒，43︒，76︒中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．【答案】任务一：冬至，14︒；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即14α=︒，故答案为：冬至，14︒；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，则90AFE ∠=︒，54EF =米，BF DF =，在Rt AFE 中，tan AFEFα=，∴tan14540.2513.5AF EF =⋅︒≈⨯=（米）∵11 3.336.3AB =⨯=（米），∴36.313.5DE BF AB AF ==-=-=22.8 3.37÷≈（层），20．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？21．如图，正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．(1)求反比例函数的表达式；(2)求n 的值及BCG 的面积．22．在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值．由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，BE 过点E 作EM BC ⊥交BC 于点由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴ACD DME ∠=∠，ADC ∠+∴CAD EDM ∠=∠由（2）得1DM AC ==，2EM CD ==，∴3CM CD DM =+=，∴2213CE CM EM =+=，∴2213sin 1313EM ECD CE ∠===．同理可得：ACD DME △≌△，∴1DM AC ==，2ME CD ==，∴211CM =-=，∴22215CE =+=，∴225sin 55EM ECD CE ∠===；23．如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点I 为ABC 的内心，连接CI 并延长交O于点D ，E 是 BC上任意一点，连接AD ，BD ，BE ，CE ．(1)若25ABC ∠=︒，求CEB ∠的度数；(2)找出图中所有与DI 相等的线段，并证明；(3)若CI =DI =ABC 的周长．【答案】(1)115︒(2)DI AD BD ==，证明见解析(3)30【分析】（1）利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再根据三角形的内角和定理求65CAB ∠=︒，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接A I ，由三角形的内心性质得到内心，CAI BAI ∠=∠，ACI BCI ∠=∠，然后利用圆周角定理得到DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，利用三角形的外角性质证得DAI DIA ∠=∠，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，利用解直角三角形求得2CF CP ==， 13AB =，进而可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，又25ABC ∠=︒，∴902565CAB ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABEC 是O 内接四边形，∴180CEB CAB ∠+∠=︒，∴180115CEB CAB ∠=︒-∠=︒；∵点I 为ABC 的内心，∴CAI BAI ∠=∠，ACI ∠∴ AD BD=，∴DAB DCB ACI ∠=∠=∠∵点I 为ABC 的内心，即为∴Q 、F 、P 分别为该内切圆与∴AQ AF =，CF CP =，∵22CI =，90IFC ∠=2AB AQ BQ CF=+++22AB CF=+21322=⨯+⨯30=．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24．如图，抛物线21y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OC OA =，4AB =，对称轴为直线1:1l x =-，将抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点D ，顶点为E ，对称轴为直线2l ．(1)分别求抛物线1y 和2y 的表达式；(2)如图1，点F 的坐标为()6,0-，动点M 在直线1l 上，过点M 作MN x ∥轴与直线2l 交于点N ，连接FM ，DN ．求FM MN DN ++的最小值；(3)如图2，点H 的坐标为()0,2-，动点P 在抛物线2y 上，试探究是否存在点P ，使2PEH DHE ∠=∠？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．由题意得2AG BG ==，∵对称轴为直线=1x -，∴()()1,0, 3.0B A -，∴3OC OA ==，∴()0,3C ，将A 、B 、C 分别代入21y ax bx c =++，得：09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴2123y x x =--+，∴()2212314y x x x =--+=-++，顶点为()1,4-∵抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，∴抛物线2y 的1a =，顶点为()1,4-，∴2y 的表达式为：()2214y x =--，即2223y x x =--（2）解：将点F 向右平移2个单位至F '，则2F F '=，()4,0F '-，过点D 作直线2l 的对称点为D ¢，连接,,F N F D ND ''''，∴ND ND '=，∵()2214y x =--，∴直线2l 为直线1x =，∵抛物线()2214y x =--，∴()1,4E -∵2l y ∥轴，∴1DHE ∠=∠，∵2PEH DHE ∠=∠，∴2112PEH ∠=∠=∠+∠，∴12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H '，则点H '在直线PE 上，∵点H 的坐标为()0,2-，直线2l ：1x =，∴()2,2H '-，设直线PE 的表达式为：()0y kx b k =+≠，代入()2,2H '-，()1,4E -,得：224k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得：26k b =⎧⎨=-⎩，∴直线PE 的表达式为26y x =-，联立222623y x y x x =-⎧⎨=--⎩，得：22326x x x --=-，解得：3x =或1x =（舍），∴()3,0P ；②当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，如图：。

2024年江苏省苏州市中考真题数学试卷含答案解析

2024年江苏省苏州市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）A．3-B．1C．2D．32．下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．3．苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（）A．102.4710⨯D．1224710⨯⨯C．12247102.4710⨯B．10【答案】C【分析】本题考查的是科学记数法-表示较大的数，把一个大于10的数记成10na⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．根据科学记数法-表示较大的数的方法解答．【详解】解：122470000000000 2.4710=⨯，故选：C ．4．若1a b >-，则下列结论一定正确的是（）A ．1a b+<B ．1a b -<C ．a b >D ．1a b+>【答案】D【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．直接利用不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：1a b >-，A 、1a b +>，故错误，该选项不合题意；B 、12a b ->-，故错误，该选项不合题意；C 、无法得出a b >，故错误，该选项不合题意；D 、1a b +>，故正确，该选项符合题意；故选：D ．5．如图，AB CD ，若165∠=︒，2120∠=︒，则3∠的度数为（）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒【答案】B 【分析】题目主要考查平行线的性质求角度，根据题意得出60BAD ∠=︒，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键【详解】解：∵AB CD ，2120∠=︒，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴3180155BAD ∠=︒-∠-∠=︒，故选：B6．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（）A ．甲、丁B ．乙、戊C ．丙、丁D ．丙、戊【答案】C 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案．【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊故选：C ．7．如图，点A 为反比例函数()10y x x =-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x =>的图象交于点B ，则AO BO 的值为（）A ．12B ．14C D ．13∴11122ACO S=⨯-= ，142BDO S =⨯= ∵OA OB ⊥，∴90AOC OBD BOD ∠=∠=︒-∠，∴AOC OBD △∽△，8．如图，矩形ABCD 中，AB ，1BC =，动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB ，CD 向终点B ，D 运动，过点E ，F 作直线l ，过点A 作直线l 的垂线，垂足为G ，则AG 的最大值为（）A B 2C ．2D ．1【答案】D 【分析】连接AC ，BD 交于点O ，取OA 中点H ，连接GH ，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G 的轨迹，从而求出AG 的最大值．∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，OA OC =，AB ∴在Rt ABC △中，AC AB =∴112OA OC AC ===，二、填空题9．计算：32x x ⋅= ．【答案】5x 【分析】利用同底数幂的乘法解题即可．【详解】解：32325x x x x +⋅==，故答案为：5x ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键．10．若2a b =+，则()2b a -= ．【答案】4【分析】本题考查了求代数式的值，把2a b =+整体代入化简计算即可．【详解】解：∵2a b =+，∴()2b a -()22b b ⎡⎤=-+⎣⎦()22b b =--()22=-4=，故答案为：4．11．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是．12．如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．∵OB OC =，OBC ∠∴OCB OBC ∠=∠∴801OC OC B ∠∠=︒-113．直线1:1l y x =-与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15︒，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是．设1l 与y 轴的交点为点B ，令0x =，得1y =-；令y =∴()1,0A ，()0,1B - ，∴1OA =，1OB =，即45OAB OBA ∠=∠=︒14．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ， AB 所在圆的圆心C 恰好是ABO 的内心，若AB == ．（结果保留π）∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴60,AOB OA ∠=︒=∴AOB 为等边三角形，∵圆心C 恰好是ABO 15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象过点()0,A m ，()1,B m -，()2,C n ，()3,D m -，其中m ，n 为常数，则mn的值为．16．如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE ，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD = ．则90AHE ACB ︒∠=∠=，又∴AHE ACB ∽，三、解答题17．计算：()042-+-．【答案】2【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．【详解】解：原式413=+-2=．18．解方程组：27233x y x y +=⎧⎨-=⎩．【答案】31x y =⎧⎨=⎩【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：27233x y x y +=⎧⎨-=⎩①②-①②得，44y =，解得，1y =．将1y =代入①得3x =．∴方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩19．先化简，再求值：2212124x x x x x +-⎛⎫+÷ ⎪--．其中3x =-．20．如图，ABC 中，AB AC =，分别以B ，C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧交于点D ，连接BD ，CD ，AD ，AD 与BC 交于点E ．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)若2BD =，120BDC ∠=︒，求BC 的长．21．一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．(1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；(2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春）春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为122．某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B （乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：根据以上信息，解决下列问题：(1)将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；(2)图②中项目E对应的圆心角的度数为______°；(3)根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．【答案】(1)见解析(2)72(3)本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可；（2）用360︒乘以E组所占百分比即可；（3）用800乘以B组所占百分比即可．÷=，【详解】（1）解：总人数为915%60D组人数为6061891215----=，补图如下：（2）解：123607260︒⨯=︒，故答案为：72；（3）解：1880024060⨯=（人）．答：本校七年级800名学生中选择项目23．图①是某种可调节支撑架，BC 为水平固定杆，竖直固定杆AB BC ⊥，活动杆AD 可绕点A 旋转，CD 为液压可伸缩支撑杆，已知10cm AB =，20cm BC =，50cm AD =．(1)如图②，当活动杆AD 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD 的长度（结果保留根号）；(2)如图③，当活动杆AD 绕点A 由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且3tan 4α=（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD 的长度（结果保留根号）．由题意可知，90B A ∠=∠=︒，又CE AD ⊥ ，∴四边形ABCE 为矩形．20BC =由题意可知，四边形ABFG 为矩形，90AGD ∴=︒△．在Rt AGD 中，tan DG AG α==34DG AG ∴=．24．如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A -，()6,0C ，反比例函数()0,0k y k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数()0,0k y k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．45∴∠=︒．BAC∥轴，PN x∴∠=∠=︒，∠NQM BLN BAC4525．如图，ABC 中，AB =D 为AB 中点，BAC BCD ∠=∠，cos ADC ∠=，O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长；(2)求O 的半径．又22，AD=DE=∴．1∴在Rt AED△中，22=-=AE AD DEBAC BCD△∽△，26．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D 1001次列车从A 站始发，经停B 站后到达C 站，G 1002次列车从A 站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表A 站B 站C 站车次发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻D 10018：009：309：5010：50G 10028：25途经B 站，不停车10：30请根据表格中的信息，解答下列问题：(1)D 1001次列车从A 站到B 站行驶了______分钟，从B 站到C 站行驶了______分钟；(2)记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1d ；G 1002次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d ．①12v v =______；②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d -=，求t 的值．27．如图①，二次函数2y x bx c =++的图象1C 与开口向下的二次函数图象2C 均过点()1,0A -，()3,0B ．(1)求图象1C 对应的函数表达式；(2)若图象2C 过点()0,6C ，点P 位于第一象限，且在图象2C 上，直线l 过点P 且与x 轴平行，与图象2C 的另一个交点为Q （Q 在P 左侧），直线l 与图象1C 的交点为M ，N （N 在M 左侧）．当PQ MP QN =+时，求点P 的坐标；(3)如图②，D ，E 分别为二次函数图象1C ，2C 的顶点，连接AD ，过点A 作AF AD ⊥．交图象2C 于点F ，连接EF ，当EF AD ∥时，求图象2C 对应的函数表达式．由二次函数的对称性得，∴PM NQ =．又PQ MP QN =+ ，而PQ PH PM ∴=．设()02PH t t =<<，则点将1x t =+代入(2y x =-+将21x t =+代入()(1y x =+P M y y = ，()(22t t ∴-+∴四边形IGJF 为矩形，IF GJ ∴=，IG FJ =．设2C 对应的函数表达式为点D ，E 分别为二次函数图象将1x =分别代入22y x =-得4,4D E y y a =-=-，∴()1,4D -，()1,4E a -，4DG ∴=，2AG =，EG =。

2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题(含解析)

2024年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学温馨提示：1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（）A.95.210⨯ B.110.5210⨯ C.95210⨯ D.105.210⨯3.将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（）A.100︒B.105︒C.115︒D.120︒4.下列计算正确的是（）A.235a a a+= B.222()a b a b+=+ C.632a a a÷= D.()236a a=5.在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误．．的是（）A.为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50B.了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性D.甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差2 2.5S=甲，2 2.3S=乙，则发挥稳定的是甲6.解不等式组()322211x x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.7.如图，是正n 边形纸片的一部分，其中l m ，是正n 边形两条边的一部分，若l m ，所在的直线相交形成的锐角为60︒，则n 的值是（）A.5B.6C.8D.108.某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（）视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数3941334047A.120B.200C.6960D.96009.等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A.17或13B.13或21C.17D.1310.如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A.61︒B.63︒C.65︒D.67︒11.用1块A 型钢板可制成3块C 型钢板和4块D 型钢板；用1块B 型钢板可制成5块C 型钢板和2块D 型钢板．现在需要58块C 型钢板、40块D 型钢板，问恰好用A 型钢板、B 型钢板各多少块？如果设用A 型钢板x 块，用B 型钢板y 块，则可列方程组为（）A.32404558x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.35404258x y x y +=⎧⎨+=⎩ C.35584240x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.34585240x y x y +=⎧⎨+=⎩12.如图，ABC 中，1AB BC ==，72C ∠=︒．将ABC 绕点A 顺时针旋转得到AB C ''△，点B'与点B 是对应点，点C '与点C 是对应点．若点C '恰好落在BC 边上，下列结论：①点B 在旋转过程中经过的路径长是15π；②B B A C '∥；③BD C D '=；④AB B B AC BD'=．其中正确的结论是（）A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④13.如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A.a b +B.a b -C.abD.a b-14.如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =-+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（）A.1m n +=B.1m n -=C.1mn = D.1mn=二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15.请写出一个比小的整数_____________16.因式分解：233am a -=______．17.综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB 的高度．如图，点C 处与古树底部A 处在同一水平面上，且10AC =米，无人机从C 处竖直上升到达D 处，测得古树顶部B 的俯角为45︒，古树底部A 的俯角为65︒，则古树AB 的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：sin 650.906︒≈，cos650.423︒≈，tan 65 2.145︒≈）．18.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：收割机编号A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E 所需时间（小时）2319202218则收割最快的一台收割机编号是________．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19.（1()0π12sin 602+++︒+-；（2）已知230a a --=，求代数式2(2)(1)(3)a a a -+-+的值．20.如图，在ABC 中，D 是AB 中点．（1）求作：AC 的垂直平分线l （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若l 交AC 于点E ，连接DE 并延长至点F ，使2EF DE =，连接BE CF ，．补全图形，并证明四边形BCFE 是平行四边形．21.某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：收集数据777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述数据成绩/分72747576777879808284858791人数/人11a433b111314分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：平均数众数中位数80c78解决问题（1）表格中的=a ______；b =______；c =______；（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；（3）学校要从91分的A ，B ，C ，D 四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率．22.一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？23.在平面直角坐标系中，对于点()11,M x y ，给出如下定义：当点()22,N x y ，满足1212x x y y +=+时，称点N 是点M 的等和点．（1）已知点()1,3M ，在()14,2N ，()23,1N -，()30,2N -中，是点M 等和点的有_____；（2）若点()3,2M -的等和点N 在直线y x b =+上，求b 的值；（3）已知，双曲线1ky x=和直线22y x =-，满足12y y <的x 取值范围是4x >或20x -<<．若点P 在双曲线1ky x=上，点P 的等和点Q 在直线22y x =-上，求点P 的坐标．24.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，O 经过B ，C 两点，与斜边AB 交于点E ，连接CO 并延长交AB 于点M ，交O 于点D ，过点E 作EF CD ∥，交AC 于点F ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若42BM =，1tan 2BCD ∠=，求OM 的长．25.如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A 处沿水滑道下滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．（1）如图1，点B 与地面的距离为2米，水滑道最低点C 与地面的距离为78米，点C 到点B 的水平距离为3米，则水滑道ACB 所在抛物线的解析式为______；（2）如图1，腾空点B 与对面水池边缘的水平距离12OE =米，人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD 的解析式；②此人腾空飞出后的落点D 是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M 处竖直支撑的钢架MN ，另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢架BM ．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．26.数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：（1）求证：AD AF =；（2）探究DF DE 与ADDC的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DFDE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DFDE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；（3）拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出APAD的值（用含m ，n 的式子表示）．参考答案一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1.【答案】A【解析】A ．是轴对称图形，故A 选项正确；B ．不是轴对称图形，故B 选项错误；C ．不是轴对称图形，故C 选项错误；D ．不是轴对称图形，故D 选项错误．故选：A ．2.【答案】D【解析】解：1052000000000 5.210=⨯，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：如图所示：由题意得：3230∠=∠=︒∴1180345105∠=︒-∠-︒=︒故选：B ．4.【答案】D【解析】解：A 、2a 与3a 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、()222222a b a ab b a b +=++≠+，故此选项不符合题意；C 、6332a a a a ÷=≠，故此选项不符合题意；D 、()236a a =，故此选项符合题意．故选：D ．5.【答案】D【解析】解：A 、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意；B 、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；C 、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意；D 、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差22.5S =甲，22.3S =乙，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意；故选：D ．6.【答案】C【解析】解：()322211x x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②解不等式①得，2x <，解不等式②得，3x ≥-，所以，不等式组的解集为：32x -≤<，在数轴上表示为：故选：C ．7.【答案】B【解析】解：如图，直线l m 、相交于点A ，则60A ∠=︒，∵正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等，∴1806012602︒-︒∠=∠==︒，∴360660n ︒==︒，故选：B．8.【答案】D 【解析】解：334047160009600200++⨯=，∴视力不低于4.8的人数是9600，故选：D ．9.【答案】C【解析】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．10.【答案】B【解析】解：∵半径OC AB ⊥，∴ AC BC=，∴42AOC BOC ∠=∠=︒，84AOB ∠=︒，∵ AC AC=，∴1212D AOC ∠=∠=︒，∴63OED AOB D ∠=∠-∠=︒，故选：B ．11.【答案】C【解析】解：设用A 型钢板x 块，用B 型钢板y 块，由题意得：35584240x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：C ．12.【答案】A【解析】解：∵AB BC =，72C ∠=︒，∴72BAC C ∠=∠=︒，180236ABC C ∠︒=︒-∠=，由旋转的性质得36AB C ABC ︒'∠=∠=，72B AC BAC ︒''∠=∠=，72AC B C ''∠︒=∠=，72AC B ADC ︒''∠=∠=，AC AC '=，∴72AC C C '∠=∠=︒，∴36CAC '∠=︒，∴36CAC BAC ''∠=∠=︒，∴723636B AB '∠=︒-︒=︒，由旋转的性质得AB AB '=，∴()118036722ABB AB B ''∠=∠=︒-︒=︒，①点B 在旋转过程中经过的路径长是36111805ππ⋅=；①说法正确；②∵36B AB ABC '∠=∠=︒，∴B B A C '∥；②说法正确；③∵18027236DC B '∠=︒-⨯︒=︒，∴36DC B ABC '∠=∠=︒，∴BD C D '=；③说法正确；④∵36BB D ABC '∠=∠=︒，72B BD BAC '∠=∠=︒，∴B BD BAC '∽△△，∴AB B B AC BD'=．④说法正确；综上，①②③④都是正确的，故选：A ．13.【答案】A【解析】解：数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，,∴AM a b a b =+-=、()BM b a b a =-+=-，∵AM BM >，∴原点在A ，M 之间，由它们的位置可得a<0，0b >且a b <，∴0a b +>，0a b -<，00ab a b <-<，，故运算结果一定是正数的是a b +．故选：A ．14.【答案】B【解析】解：如图，连接AC 、BD 交于点E ，过点A 作MN y ⊥轴于点M ，过点B 作BN MN ⊥于点N ，四边形ABCD 是正方形，AC ∴、BD 互相平分，AB AD =，90BAD ∠=︒，90BAN DAM ∴∠+∠=︒，90DAM ADM ∠+∠=︒，BAN ADM ∴∠=∠．90BNA AMD ∠=∠=︒ ，BA AD =，(AAS)ANB DMA ∴ ≌．AM NB ∴=，DM AN =．点A 、C 的横坐标分别为m 、n ，24(,)A m m ∴+-，2()4,C n n -+．(2m n E +∴，2282m n -+-，2(0,)4M m +-，设(0,)D b ，则22(,)8B m n m n b ++---，2()4,N m n m ++-，24BN n b ∴=-+-，AM m =，AN n =，24DM m b =-+．又AM NB =，DM AN =，24n m b +--∴=，24n m b =-+．24b n m ∴=--+．2244n m n m ∴=---+．∴()()m n m n m n +-=+．点A 、C 在y 轴的同侧，且点A 在点C 的右侧，0m n ∴+≠．1m n ∴-=．故选：B ．二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15.【答案】1（或2）【解析】23=<<= ，满足条件的数为小于或等于2的整数均可.16.【答案】()()311a m m +-【解析】解：()()()223331311am a a m a m m -=-=+-，故答案为：()()311a m m +-．17.【答案】11.5【解析】解：如图，过点D 作DM AB ⊥，交AB 的延长线于点M ，∴四边形ACDM 是矩形，∴10DM AC ==米，∵45BDM ∠=︒，65ADM ∠=︒，90M ∠=︒，∴BDM 是等腰直角三角形，∴10BM DM ==米，在Rt ADM △中，tan 10tan 6510 2.14521.45AM DM ADM =⋅∠=⋅︒≈⨯≈（米），∴21.451011.4511.5AB AM BM =-=-=≈（米），∴古树AB 的高度约为11.5米．故答案为：11.5．18.【答案】C【解析】解：同时启动A ，B 两台收割机，所需的时间为23小时，同时启动B ，C 两台收割机，所需的时间为19小时，得到C 比A 快；同时启动B ，C 两台收割机，所需的时间为19小时，同时启动C ，D 两台收割机，所需的时间为20小时，得到B 比D 快；同时启动A 、B 两台收割机，所需的时间为23小时，同时启动A ，E 两台收割机，所需的时间为18小时，得到E 比B 快；同时启动C ，D 两台收割机，所需的时间为20小时，同时启动D ，E 两台收割机，所需的时间为22小时，得到C 比E 快．综上，收割最快的一台收割机编号是C ．故答案为：C ．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19.【答案】（1）6；（2）7．【解析】解：（1）原式331222=++⨯+42=+-，6=；（2）∵230a a --=，∴23a a -=，∴()()()2213a a a -+-+224423a a a a =-+++-，2221a a =-+，()221a a =-+，231=⨯+，7=．20.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【小问1详解】解：直线l 如图所示，；【小问2详解】证明：补全图形，如图，由（1）作图知，E 为AC 的中点，∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥，12DE BC =，∵2EF DE =，即：12DE EF =，∴EF BC =，∵EF BC ∥，∴四边形BCFE 是平行四边形．21.【答案】（1）5；2；75（2）78；80（3）A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为16．【解析】【小问1详解】解：根据收集的数据知5a =；2b =；出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则75c =；故答案为：5；2；75；【小问2详解】解：∵由统计图可知中位数为78分，∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．故答案为：78；80；【小问3详解】解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，共有12种等可能结果，A ，B 两名队员恰好同时被选中的情况有2种，∴A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为21126==，答：A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为16．22.【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；（2）15天的工期，两队最多能修复公路105千米．【解析】【小问1详解】解：设甲队平均每天修复公路x 千米，则乙队平均每天修复公路()3x +千米，由题意得60903x x =+，解得6x =，经检验，6x =是原方程的解，且符合题意，39x +=，答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；【小问2详解】解：设甲队的工作时间为m 天，则乙队的工作时间为()15m -天，15天的工期，两队能修复公路w 千米，由题意得()69153135w m m m =+-=-+，()215m m ≥-，解得10m ≥，∵30-<，∴w 随m 的增加而减少，∴当10m =时，w 有最大值，最大值为310135105w =-⨯+=，答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．23.【答案】（1）()14,2N 和()30,2N -；（2）5b =；（3）()4,2--或()2,4．【解析】【小问1详解】解：由()1,3M ，()14,2N 得，12125x x y y +=+=，∴点()14,2N 是点M 的等和点；由()1,3M ，()23,1N -得，124x x +=，122y y +=，∵1212x x y y +≠+，∴()23,1N -不是点M 的等和点；由()1,3M ，()30,2N -得，12121x x y y +=+=，∴()30,2N -是点M 的等和点；故答案为：()14,2N 和()30,2N -；【小问2详解】解：设点N 的横坐标为a ，∵点N 是点()3,2M -的等和点，∴点N 的纵坐标为()325a a +--=+，∴点N 的坐标为(),5a a +，∵点N 在直线y x b =+上，∴5a a b +=+，∴5b =；【小问3详解】解：由题意可得，0k >，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A B 、，如图，由12y y <时x 的取值范围是4x >或20x -<<，可得点A 的横坐标为4，点B 的横坐标为2-，把4x =代入2y x =-得，422y =-=，∴()4,2A ，把()4,2A 代入1k y x =得，24k =，∴8k =，∴反比例函数解析式为18y x =，设8,P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点Q 的横坐标为n ，∵点Q 是点P 的等和点，∴点Q 的纵坐标为8m n m +-，∴8,Q n m n m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∵点Q 在直线22y x =-上，∴82m n n m +-=-，整理得，820m m -+=，去分母得，2280m m +-=，解得14m =-，12m =，经检验，4,2m m =-=是原方程的解，∴点P 的坐标为()4,2--或()2,4．24.【答案】（1）见解析（2）5OM =【解析】【小问1详解】证明：连接OE ，延长EO ，交O 于点P ，连接,,PD BD 如图，∵,90,AB BC ACB =∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=︒∵CD 是O 的直径，∴90,CBD ∠=︒∴904545,DBE CBD ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴45,EPD DBE ∠=∠=︒∴224590,DOE DPE ∠=∠=⨯︒=︒∵,EF CD ∥∴90,FEO DOE ∠=∠=︒即,OE EF ⊥∵OE 是O 的半径，∴EF 是O 的切线；【小问2详解】解：∵90DBC ∠=︒，1tan 2BCD ∠=，∴12DB BC =，∵,BC AC =∴12DB AC =，∵,DMB CMA ∠=∠A DBM ∠=∠，∴DBM ACM ∽ ，∴12BM DM DB AM CM AC ===，∵BM =，∴2AM BM ==∴AB AM BM =+=+=，在等腰直角三角形ABC 中，222AC BC AB +=,∴(2222AC AC AB +==，解得，12AC =，∴12AC BC ==，∴16,2DB BC ==在t R BDC 中，CD ==∴CO DO ==又12DM CM =，∴2,CM DM =∴2DM DM CD +==∴DM =∴OM OD DM =-==25.【答案】（1）()217388y x =++（2）①此人腾空后的最大高度是258米，解析式为()2125388y x =--+；②此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内，理由见解析（3）这条钢架的长度为米【解析】【小问1详解】解：根据题意得到水滑道ACB 所在抛物线的顶点坐标为73,8C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且过点()0,2B ，设水滑道ACB 所在抛物线的解析式为()2738y a x =++，将()0,2B 代入，得：()272038a =++，即998a =，18a ∴=，∴水滑道ACB 所在抛物线的解析式为()217388y x =++；【小问2详解】解：① 人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为()218y x b c =-++，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标与抛物线ACB 的顶点坐标73,8C ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于点()0,2B 成中心对称，()7250233,2288⨯--=⨯-=，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，即253,8b c ==，∴此人腾空后的最大高度是258米，人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：()2125388y x =--+；由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：()2125388y x =--+，令0y =，则()21253088x --+=，即()2325x -=∴8x =或2x =-（舍去，不符合题意），∴点()8,0D ，8OD ∴=，12OE =，43DE OE OD ∴=-=>，∴此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内；【小问3详解】解：根据题意可得M 点的纵坐标为4，令()2173488y x =++=，即()2325x +=，2x ∴=（舍去，不符合题意）或8x =-，()8,4M ∴-，设BM 所在直线的解析式为y kx b '=+，将()()8,4,0,2M B -代入得：248b k b =⎧⎨=-+''⎩，解得：214b k =-'⎧⎪⎨=⎪⎩，∴BM 所在直线的解析式为124y x =-+，如图，设这条钢架为GH ，与MN 交于点G ，与地面交于H，这条钢架与BM 平行，∴设该钢架GH 所在直线的解析式为14y x n =-+，联立()21417388y x n y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，即()21173488x n x -+=++，整理得：281680x x n ++-=，该钢架GH 与水滑道有唯一公共点，()2Δ8411680n ∴=-⨯⨯-=，∴0n =即该钢架所在直线的解析式为14y x =-，∴点H 与点O 重合， ()1824GN =-⨯-=，8NO =，90GNO ∠=︒，GH ∴==∴这条钢架的长度为米．26.【答案】（1）见解析（2）①73DF DE =②2DF DE m n=，证明见解析（3）2AP n AD m =【解析】【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵DE BC ⊥，∴90BEF CED ∠=∠=︒，∴90F B ∠=︒-∠，90CDE C ∠=︒-∠，且CDE ADF ∠=∠，∴F ADF ∠=∠，∴AD AF =；【小问2详解】解：①当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =，∴总结规律得：DF DE 是AD DC 的2倍，∴当76AD DC =时，14763DF DE ==；②当AD m DC n =时，猜想2DF DE m n =，证明：作AG EF ⊥于点G ，∵DE BC ⊥，∴AG CE ∥，∴AGD CED ∽△△，∵AD m DC n =，∴GD AD m DE DC n ==，由（1）知AD AF =，又AG EF ⊥，∴DG FG =，即2DF DG =，∴22GD m DE nDF DE ==；【小问3详解】2AP n AD m=，理由如下：过点D 作DG CF ⊥，∵ACF ACB ∠=∠，DE CE ⊥，∴DG DE =，由（2）知，当AD m DC n =时，2DF DE m n=，∴2DE n DF m =，∴2DG n DF m=，∵PF AC ⊥，∴90ACF CFP ∠+∠=︒，∵FE BC ⊥，∴90B AFD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴ACB B =∠∠，∴B ACF ∠=∠，∴AFD CFP ∠=∠，∴AFD PFD CFP PFD ∠-∠=∠-∠，∴AFP DFG ∠=∠，∴sin sin AFP DFG ∠=∠，∴2AP DG n AF DF m==，由（1）知AD AF =，∴2AP AP n AD AF m ==．。

中考综合模拟检测数学试题附答案解析

15.如图,△ABC中,点D、E在BC边上,∠BAD=∠CAE请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件,使△ABD≌△ACE．你所添加的条件是________
【答案】AB=AC
【解析】
【分析】
添加AB=AC,根据等边等角可得∠B=∠C,再利用ASA定理判定△ABD≌△ACE．
【详解】添加AB=AC．
8.从边长为的正方形内去掉-一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积,根据面积相等即可得出算式,即可选出选项．
排球
进价(元/个)
80
50
售价(元/个)
95
60
22.如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退20m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度( ,结果保留一位小数).
23.如图,在平面直角坐标系x0y中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 (m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n)．线段OA=5,E为x轴上一点,且sin∠AOE= ．
【答案】B
【解析】
试题分析：A． ,故错误；B． ,故正确；C． ,故错误；D．不能合并,故错误．
故选B．
考点：幂的运算性质．
5.如图所示,该几何体的俯视图是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】

中考数学圆的综合综合题及详细答案

中考数学圆的综合综合题及详细答案一、圆的综合1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，2而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．2．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．3．已知▱ABCD的周长为26，∠ABC=120°，BD为一条对角线，⊙O内切于△ABD，E，F，G 为切点，已知⊙O的半径为3▱ABCD的面积．【答案】3【解析】【分析】首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.【详解】设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F；平行四边形ABCD的面积为S；则S=2S△ABD=2×12(AB·OE+BD·OF+AD·3（AB+AD+BD）；∵平行四边形ABCD的周长为26，∴AB+AD=13，∴3；连接OA；由题意得：∠OAE=30°，∴AG=AE=3；同理可证DF=DG，BF=BE；∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7，即BD=7，∴S=3（13+7）=203．即平行四边形ABCD的面积为203．4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C 点，连接AC、BC．（Ⅰ）求∠ACB的大小；（Ⅱ）若⊙O半径为1，求四边形ACBP的面积．33【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（Ⅰ）连接OA，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OP平分∠APB，∠APB=30°，∴∠APO=12∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACO=12AOP=30°，同理可得∠BCP=30°，∴∠ACB=60°；（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，∴AP=3OA=3，OP=2OA=2，∴OP=2OC，而S△OPA=12×1×3，∴S△AOC=12S△PAO=3，∴S△ACP=33，∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=33．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．5．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，tan∠ACD＝3，求FC的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，∴FC⊥OC，∴FC是⊙O切线．(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=AE43 tan ACE33∠==，设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－4)2＋(43)2，解得r＝8.∴OE＝r－4＝4＝AE.∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，∴△AOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.在Rt△FOC中，∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，∴OF＝2OC＝16，∴FC＝22OF OC83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．6．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F 是PC延长线上的点，CF=PB，AB=13，PA=4．（1）求证：△ABP≌△ACF；（2）求证：AC2=PA•AE；（3）求PB和PC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP，于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判断△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC2=PA•AE计算出AE=134，则PE=AP-AE=34，再证△APF为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC 的长．试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，又∠ACP+∠ACF=180°，∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆．(2)在AEC ∆和ACP ∆中，∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ，∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中，∵∠BAP=∠ECP ，又∠APB=∠EPC=60°，∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =．∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，∴PB 和PC 的长分别是1和3。

2024年河北省中考真题数学试卷含答案解析

2024年河北省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．由五日气温为2,4,0,1,1---℃℃℃℃℃得到24->-，401-<<，11>-，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．【详解】解：由五日气温为2,4,0,1,1---℃℃℃℃℃得到24->-，401-<<，11>-∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．故选：A ．2．下列运算正确的是（）A ．734a a a -=B ．222326a a a ⋅=C ．33(2)8a a -=-D ．44a a a÷=【答案】C【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．【详解】解：A ．7a ，4a 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B ．224326a a a ⋅=，故此选项不符合题意；C ．()3328a a -=-，故此选项符合题意；D ．441a a ÷=，故此选项不符合题意．故选：C ．3．如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（）A ．AD BC⊥B ．AC PQ ⊥C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD∥【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可判断B 、C 选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D ．【详解】解：由轴对称图形的性质得到ABO CDO △≌△，,AC PQ BD PQ ⊥⊥，∴AC BD ∥，∴B 、C 、D 选项不符合题意，故选：A ．4．下列数中，能使不等式516x -<成立的x 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD 一定是ABC 的（）A ．角平分线B ．高线C ．中位线D ．中线【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得BD AC ⊥，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：BD AC ⊥，∴线段BD 一定是ABC 的高线；故选B6．如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键．【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有3列，每列上小正方体个数从左往右分别为3、1、1．故选：D ．7．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x 度，则能使用y 天．下列说法错误的是（）A ．若5x =，则100y =B ．若125y =，则4x =C ．若x 减小，则y 也减小D ．若x 减小一半，则y 增大一倍8．若a ，b 是正整数，且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b+=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b=+【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：()8822a b ⨯=，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．【详解】解：由题意得：()8822a b ⨯=，∴38222a b ⨯=，∴38a b +=，故选：A ．9．淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1C 1D ．11【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程221a a +=，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：221a a +=，10．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，ABC 中，AB AC =，AE 平分ABC 的外角CAN ∠，点M 是AC 的中点，连接BM 并延长交AE 于点D ，连接CD ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB AC =，∴3ABC ∠=∠．∵3CAN ABC ∠=∠+∠，12CAN ∠=∠+∠，12∠=∠，∴①______．又∵45∠=∠，MA MC =，∴MAD MCB △≌△（②______）．∴MD MB =．∴四边形ABCD 是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A ．13∠=∠，AASB ．13∠=∠，ASAC ．23∠∠=，AASD ．23∠∠=，ASA11．直线l 与正六边形ABCDEF 的边,AB EF 分别相交于点M ，N ，如图所示，则a β+=（）A ．115︒B ．120︒C ．135︒D ．144︒12．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D13．已知A 为整式，若计算22A y xy y x xy -++的结果为x y xy -，则A =（）A ．x B ．y C ．x y +D ．x y -14．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120︒时，扇面面积为S 、该折扇张开的角度为n ︒时，扇面面积为n S ，若n m SS =，则m 与n 关系的图象大致是（）D．15．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法⨯，运算结果为3036．图运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132232表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +则由题意得：20,5,2,mz nz ny nx a ====，∴4mz nz=，即4=m n ，∴当2,1n y ==时， 2.5z =不是正整数，不符合题意，故舍；当1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，如图：，∴A 、“20”左边的数是248⨯=，故本选项不符合题意；B 、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴a 上面的数应为4a ，如图：∴运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，∴D 选项符合题意，当2a =时，计算的结果大于6000，故C 选项不符合题意，故选：D ．16．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”()2,1P 按上述规则连续平移3次后，到达点()32,2P ，其平移过程如下：若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q -，则点Q 的坐标为（）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7-或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1【答案】D【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照16Q 的反向运动理解去分类讨论：①16Q 先向右1个单位，不符合题意；②16Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1．【详解】解：由点()32,2P 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到()42,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到()41,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q -，则按照“和点”16Q 反向运动16次求点Q 坐标理解，可以分为两种情况：①16Q 先向右1个单位得到()150,9Q ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是15Q 向右平移1个单位得到16Q ，故矛盾，不成立；②16Q 先向下1个单位得到()151,8Q -，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到16Q ，故符合题意，那么点16Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()17,98-+-，即()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1，故选：D ．二、填空题17．某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为．【答案】89【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数．根据众数的定义求解即可判断．【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，89出现的次数最多，∴以上数据的众数为89．故答案为：89．18．已知a，b，n均为正整数．（1）若1<<+，则n=；n n（2）若1,1-<<<<+，则满足条件的a的个数总比b的个数少个．n n n n2n 与()21n +之间的整数有2n 个，∴满足条件的a 的个数总比b 的个数少()2222222n n n n --=-+=（个），故答案为：2．19．如图，ABC 的面积为2，AD 为BC 边上的中线，点A ，1C ，2C ，3C 是线段4CC 的五等分点，点A ，1D ，2D 是线段3DD 的四等分点，点A 是线段1BB 的中点．（1）11AC D △的面积为；（2）143B C D △的面积为．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．三、解答题20．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为4-，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．(1)计算A ，B ，C 三点所对应的数的和，并求ABAC的值；(2)当点A 与点D 上下对齐时，点B ，C 恰好分别与点E ，F 上下对齐，求x 的值．21．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有,2,a b a b a b ++-，除正面的代数式不同外，其余均相同．a b +2a b +a b-a b +22a b+2a2a b+a b-2a(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当1,2a b ==-时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．22．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离4m BQ =，仰角为α；淇淇向前走了3m 后到达点D ，透过点P 恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ 的距离1.6m ==AB CD ，点P 到BQ 的距离2.6m PQ =，AC 的延长线交PQ 于点E ．（注：图中所有点均在同一平面）(1)求β的大小及tanα的值；∠的值．(2)求CP的长及sin APC∵1tan tan 4CH PAE AH α=∠==，设∴()22249x x AC +==，解得：31717x =，∴317CH =m，23．情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O 为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线EF ，GH 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段EF的长；（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．由拼接可得：HF FO KG '==由正方形的性质可得：45A ∠=∴AHG ，H G D '' ，AFE △为等腰直角三角形，∴G KH '' 为等腰直角三角形，设H K KG x ''==，此时2BP '=，222P Q ''=+=，符合要求，或以C 圆心，CO 为半径画弧，交BC 此时2CP CQ ==，222PQ =+=∴22BP =-，综上：BP 的长为2或22-．24．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x （分）换算为报告成绩y （分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：当0x p ≤<时，80x y p=；当150p x ≤≤时，()2080150x p y p -=+-．（其中p 是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p 及p 以上）为合格．(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若100p =，求甲、乙的报告成绩；(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p 的值：(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩（分）9510010511115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．25．已知O 的半径为3，弦MN =ABC 中，90,3,ABC AB BC ∠=︒==先将ABC 和O 按图1位置摆放（点B 与点N 重合，点A 在O 上，点C 在O 内），随后移动ABC ，使点B 在弦MN 上移动，点A 始终在O 上随之移动，设BN x =．(1)当点B与点N重合时，求劣弧 AN的长；∥时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；(2)当OA MN(3)设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧 MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．∵O 的半径为3，3AB =，∴3OA OB AB ===，∴AOB 为等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∴ AN 的长为60π3π180´=；∵25MN =，O H M N ⊥，∴5MH NH ==，而OM =∴222OH OM MH =-==∴点B 到OA 的距离为2；⊥于J，过O作过O作OJ BC∴四边形KOJB为矩形，=，∴OJ KB∵3AB=，32BC=，∴2233=+=，AC AB BC⊥于Q 如图，过A作AQ OB⊥∵B为MN中点，则OB MN∵90ABC AQB ∠=︒=∠，∴90OBJ ABO ABO ∠+∠=︒=∠∴OBJ BAQ ∠=∠，∴tan tan OBJ BAQ ∠=∠，∴122OJ BQ BJ AQ ==，26．如图，抛物线21:2C y ax x =-过点(4,0)，顶点为Q ．抛物线22211:()222C y x t t =--+-（其中t 为常数，且2t >），顶点为P ．(1)直接写出a 的值和点Q 的坐标．(2)嘉嘉说：无论t 为何值，将1C 的顶点Q 向左平移2个单位长度后一定落在2C 上．淇淇说：无论t 为何值，2C 总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．(3)当4t =时，①求直线PQ 的解析式；②作直线l PQ ∥，当l 与2C 的交点到x 轴的距离恰为6时，求l 与x 轴交点的横坐标．(4)设1C 与2C 的交点A ，B 的横坐标分别为,A B x x ，且A B x x <．点M 在1C 上，横坐标为()2B m m x ≤≤．点N 在2C 上，横坐标为()A n x n t ≤≤．若点M 是到直线PQ 的距离最大的点，最大距离为d ，点N 到直线PQ 的距离恰好也为d ，直接用含t 和m 的式子表示n ．∴交点()426,6J --，交点()426,6K +，由直线l PQ ∥，设直线l 为4y x b =+，∴()44266b -+=-，解得：8622b =-，∴直线l 为：48622y x =+-，∵()2,2P -，21,22Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴L 的横坐标为2t 2+，∵21,22M m m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,2N n n t ⎡--+⎢⎣∴L 的横坐标为2m n +，。

中考数学圆的综合综合经典题含详细答案

中考数学圆的综合综合经典题含详细答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出AD AC=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC ．设⊙O 的半径为r ．在Rt △AHC 中，tan ∠ACH =tan ∠G =AH HC =34，∵AH =33，∴HC =43，在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r ﹣33，HC =43，∴222(33)(43)r r -+=，∴r =2536，∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ，∵∠OEM =∠AHC ，∴△AHC ∽△MEO ，∴AH HC EM OE =，∴33432536EM =，∴EM =2538．点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．3．如图，AB 为O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O 的切线吗？请说明理由；()2求证：2AC CD BE =⋅．【答案】（1）结论：DE 是O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题.【详解】()1解：结论：DE 是O 的切线．理由：连接OD ．CDB ADE ∠=∠，ADC EDB ∴∠=∠，//CD AB ，CDA DAB ∴∠=∠，OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠，ADO EDB ∴∠=∠， AB 是直径，90ADB ∴∠=，90ADB ODE ∴∠=∠=，DE OD ∴⊥，DE ∴是O 的切线．()2//CD AB ，ADC DAB ∴∠=∠，CDB DBE ∠=∠，AC BD ∴=，AC BD ∴=，DCB DAB ∠=∠，EDB DAB ∠=∠，EDB DCB ∴∠=∠，CDB ∴∽DBE ，CD DB BD BE∴=， 2BD CD BE ∴=⋅，2AC CD BE ∴=⋅．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.4．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，扇形ABE的面积为12π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.5．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．38313 24313n+ 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ．本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 32，∴1＝32－1)2＋14a 22，解得a 283 . (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h ＝32 a n ，∴1＝14a n 2＋2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，解得a n ＝24331n n + .6．如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF ⊥AB 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG(1)判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB 2＝BC •BF ；(3)如图2，当∠DCE ＝2∠F ，CE ＝3，DG ＝2.5时，求DE 的长．【答案】（1）CG 与⊙O 相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE ＝2【解析】【分析】（1）连接CE ，由AB 是直径知△ECF 是直角三角形，结合G 为EF 中点知∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，再由OA ＝OC 知∠OCA ＝∠OAC ，根据OF ⊥AB 可得∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，据此即可得证；（2）证△ABC ∽△FBO 得BC AB BO BF =，结合AB ＝2BO 即可得；（3）证ECD ∽△EGC 得EC ED EG EC =，根据CE ＝3，DG ＝2.5知32.53DE DE =+，解之可得．【详解】解：（1）CG 与⊙O 相切，理由如下：如图1，连接CE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACF ＝90°，∵点G 是EF 的中点，∴GF ＝GE ＝GC ，∴∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OF ⊥AB ，∴∠OAC +∠AEO ＝90°，∴∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，∴CG 与⊙O 相切；（2）∵∠AOE ＝∠FCE ＝90°，∠AEO ＝∠FEC ，∴∠OAE ＝∠F ，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△FBO ， ∴BC AB BO BF=，即BO •AB ＝BC •BF ， ∵AB ＝2BO ，∴2OB 2＝BC •BF ；（3）由（1）知GC ＝GE ＝GF ，∴∠F ＝∠GCF ，∴∠EGC ＝2∠F ，又∵∠DCE ＝2∠F ，∴∠EGC ＝∠DCE ，∵∠DEC ＝∠CEG ，∴△ECD ∽△EGC ， ∴EC ED EG EC=， ∵CE ＝3，DG ＝2.5， ∴32.53DE DE =+，整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），故DE＝2．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．7．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，3PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD 为等边三角形，∴∠ODB=60°，3 ，∴∠BDF=30°，∵BC ∥DF ，∴∠DBP=30°，在Rt △DBP 中，PD=123 ，3，在Rt △DEP 中，∵37∴22(7)(3)- =2，∵OP ⊥BC ，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE ，∠BED=∠AEC ，∴△BDE ∽△ACE ，∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=17 ，∴AE=577∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ， ∴BE AE DF AD= ，即5757125DF = ，解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=123， ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣（扇形BOD 的面积﹣△BOD 的面积）=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯-3﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．8．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析（2）233π- 【解析】【分析】（1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）连接OD ．∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．∵AE DE =，∴OE ⊥AD ．∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604π⋅⋅=-⨯22233π=．【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）6334π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC ；（2）连接OE ，如图，∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B,∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形，∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º,∴∠ACD ＝∠B ＝30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA,同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=23,Rt △ACM 中，易得AC=23×32=3＝OC, ∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝3∵△CDO ≌△EDO(AAS)，∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.10．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ．【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=42． ∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ，又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯，解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14．（3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点，设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=C 2，∴NF=b c 2-，CK=a c 2-，又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a c b c (a b 222222=⨯+⨯++-）×c 2，化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴2==，即△CPF 的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．①求证：AG ＝GD ；②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？③若AB＝10，sin∠ABD＝35，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；（3）BC的长为145．【解析】【分析】（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE=，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan∠ABD34=，cos∠ABD＝45，再求出DF、BF，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD，∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AD AE=，∴∠ADE＝∠ABD，∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠ADE＝∠DAC，∴AG＝GD；（2）解：当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，∵DE⊥AB，∴∠DGF＝∠AGH＝90°﹣∠CAB＝60°，∴△DGF 是等边三角形；（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，∴BD ＝22AB BD -＝8，∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5BD AB ，在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝72×45＝145． ∴BC 的长为：145．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．12．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点C 的切线交AB 的延长线于点F ，连接DF .（1）求证：DF 是O 的切线；（2）连接BC ，若30BCF ∠=︒，2BF =，求CD 的长.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF，∠CDF=∠DCF，由∠CDO=∠OCD，再证∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，可得OD⊥DF，结论成立.(2) 由∠OCF=90°, ∠BCF=30°，得∠OCB=60°，再证ΔOCB为等边三角形，得∠COB=60°，可得∠CFO=30°，所以FO=2OC=2OB，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接OD∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF∴∠CDF=∠DCF∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切线（2）解：连接OD∵∠OCF=90°, ∠BCF=30°∴∠OCB=60°∵OC=OB∴ΔOCB为等边三角形，∴∠COB=60°∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB∴FB=OB= OC =2在直角三角形OCE中，∠CEO=90°∠COE=60°CE3∠==sin COEOC2∴CF3==∴CD=2 CF23【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形. 解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30°角的直角三角形性质，巧解直角三角形.13．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE＝36．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD＝OE，∠CDB＝∠AEO＝90°，∠B＝∠AOE，∴△CDB≌△AEO（AAS），∴CD＝AE，∵EC＝EA，∴AC＝2CD．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 22221AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=，在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3．【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.14．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．求证：（1）AD 是⊙B 的切线；（2）AD ＝AQ ；（3）BC 2＝CF×EG ．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】()1连接BD ，由DC AB ⊥，C 为AB 的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD BD =，再根据正方形的性质，可得90ADB ∠=；()2由BD BG =与//CD BE ，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得122.52G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=∠=，继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=，由等角对等边，可证得AD AQ =； ()3易求得67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，即可证得Rt DCF ∽Rt GED ，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．【详解】证明：()1连接BD ，四边形BCDE 是正方形，45DBA ∴∠=，90DCB ∠=，即DC AB ⊥，C 为AB 的中点，CD ∴是线段AB 的垂直平分线，AD BD ∴=，45DAB DBA ∴∠=∠=，90ADB ∴∠=，即BD AD ⊥，BD 为半径，AD ∴是B 的切线；()2BD BG =，BDG G ∴∠=∠，//CD BE ，CDG G ∴∠=∠，122.52G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=∠=， 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=，9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=， ADQ AQD ∴∠=∠，AD AQ ∴=；()3连接DF ，在BDF 中，BD BF =，BFD BDF ∴∠=∠，又45DBF ∠=，67.5BFD BDF ∴∠=∠=，22.5GDB ∠=，在Rt DEF 与Rt GCD 中，67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，Rt DCF ∴∽Rt GED ，CF CD ED EG∴=，又CD DE BC ==，2BC CF EG ∴=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．15．如图1，D 是⊙O 的直径BC 上的一点，过D 作DE ⊥BC 交⊙O 于E 、N ，F 是⊙O 上的一点，过F 的直线分别与CB 、DE 的延长线相交于A 、P ，连结CF 交PD 于M ，∠C ＝12∠P ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若∠A ＝30°，⊙O 的半径为4，DM ＝1，求PM 的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF 、BM ；在线段DN 上有一点H ，并且以H 、D 、C 为顶点的三角形与△BFM 相似，求DH 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM ＝43﹣2；（3）满足条件的DH 的值为632- 或122311+．【解析】【分析】（1）如图1中，作PH ⊥FM 于H ．想办法证明∠PFH=∠PMH ，∠C=∠OFC ，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD ，PD 即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF =． ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF=，分别构建方程即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，作PH ⊥FM 于H ．∵PD ⊥AC ，∴∠PHM ＝∠CDM ＝90°，∵∠PMH ＝∠DMC ，∴∠C ＝∠MPH ，∵∠C ＝12∠FPM ，∴∠HPF ＝∠HPM ， ∵∠HFP+∠HPF ＝90°，∠HMP+∠HPM ＝90°，∴∠PFH ＝∠PMH ，∵OF ＝OC ，∴∠C ＝∠OFC ，∵∠C+∠CMD ＝∠C+∠PMF ＝∠C+∠PFH ＝90°，∴∠OFC+∠PFC ＝90°，∴∠OFP ＝90°，∴直线PA 是⊙O 的切线．（2）解：如图1中，∵∠A ＝30°，∠AFO ＝90°，∴∠AOF ＝60°，∵∠AOF ＝∠OFC+∠OCF ，∠OFC ＝∠OCF ，∴∠C ＝30°，∵⊙O 的半径为4，DM ＝1，∴OA ＝2OF ＝8，CD ＝3DM ＝3 ，∴OD ＝OC ﹣CD ＝4﹣3 ，∴AD ＝OA+OD ＝8+4﹣3 ＝12﹣3 ，在Rt △ADP 中，DP ＝AD•tan30°＝（12﹣3 ）×33 ＝43 ﹣1， ∴PM ＝PD ﹣DM ＝4 3﹣2．（3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM 3BF ＝3，CM ＝2DM ＝2，CD 3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝3﹣2， ①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF = ， ∴34432=- ，∴DH ＝632 ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF =， ∴34432DH =-，∴DH 1223+ ， ∵DN ()22443833--=-，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH 的值为62- 或1211+．【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.。

中考综合模拟考试数学卷含答案解析

(1)当时,求证：；
(2)顺次连接、、、 ,设四边形的面积为 ,求出与自变量之间的函数关系式,并求的最小值．
22.如图,直线y=﹣ x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B．抛物线y=﹣ x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限抛物线上点,连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的关系式,并求出PQ与OQ的比值的最大值；
【答案】．
【解析】
【分析】
根据零次幂和负指数幂的运算法则计算即可．
【详解】原式=1﹣ = ．
故答案为：．
【点睛】本题考查零次幂与负指数幂,熟记 , ,是解题的关键．
12.写出一个满足的整数a的值为_____．
【答案】答案不唯一：2、3、4．
【解析】
【分析】
根据算术平方根性质估计两个无理数的大小,即1< < = 5,便可得出答案．
∴- =-1,a+b+c=0,
∴b=2a,c=-3a,
∵a＞0,
∴b＞0,c＜0,
∴abc＜0,故①错误,
∵抛物线对称轴x=-1,经过(1,0),
可知抛物线与x轴还有另外一个交点(-3,0)
∴抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac＞0,故②正确,
∵抛物线与x轴交于(-3,0),
∴9a-3b+c=0,故③正确,
19.某地2015年为做好”精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金年平均增长率为多少？

2024年四川省成都市中考真题数学试卷含答案解析

2024年四川省成都市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．﹣5的绝对值是（）A ．5B ．﹣5C ．15-D ．15【答案】A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A ．2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可．【详解】解：该几何体的主视图为，故选：A ．3．下列计算正确的是（）A ．()2233x x =B ．336x y xy+=C ．()222x y x y +=+D ．()()2224x x x +-=-【答案】D【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可．【详解】解：A ．()2239x x =，原计算错误，故该选项不符合题意；B ．3x 和3y 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；C ．()2222x y x y xy +=++，原计算错误，故该选项不符合题意；D ．()()2224x x x +-=-，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,4P -关于原点对称的点的坐标是（）A ．()1,4--B ．()1,4-C ．()1,4D ．()1,4-【答案】B【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．【详解】解：点()1,4P -关于原点对称的点的坐标为()1,4-；故选：B ．5．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA ”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（）A ．53B ．55C ．58D ．646．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB AD =B ．AC BD ⊥C ．AC BD =D ．ACB ACD∠=∠【答案】C【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AC BD =，AD BC ∥，则ACB DAC ∠=∠，∴选项A 中AB AD =不一定正确，故不符合题意；选项B 中AC BD ⊥不一定正确，故不符合题意；选项C 中AC BD =一定正确，故符合题意；选项D 中ACB ACD ∠=∠不一定正确，故不符合题意，故选：C ．7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x ，琎价为y ，则可列方程组为（）A ．142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩B ．142133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C ．142133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D ．142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩8．如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（）A ．ABE CBE ∠=∠B ．5BC =C ．DE DF =D ．53BE EF =【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF 为ABC ∠的角平分，利用平行线证明AEB ABE ∠=∠，从而得到3AE AB CD ===，再利用平行四边形的性质得到325BC AD AE ED ==+=+=，再证明AEB DEF △∽△，分别求出32BE EF =，2DF =，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，BF 为ABC ∠的角平分，∴ABE CBE ∠=∠，故A 正确；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,,AD BC AB CD AD BC == ，∵AD BC∥∴AEB CBE ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴3AE AB CD ===，∴325BC AD AE ED ==+=+=，故B 正确；∵AB CD =，∴ABE F ∠=∠，∵AEB DEF ∠=∠，∴AEB DEF △∽△，∴BE AB AEEF DF ED ==，∴332BE EF DF ==，∴32BE EF =，2DF =，故D 错误；∵2DE =，∴DE DF =，故C 正确，故选：D ．二、填空题9．若m ，n 为实数，且()240m +=，则()2m n +的值为．10．分式方程2x x=-的解是．【答案】x=3【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x ﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．考点：解分式方程11．如图，在扇形AOB 中，6OA =，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为．12．盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则xy的值为．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为．【答案】5【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A 关于直线l 的对称点A '，连A O '交直线l 于点C ，连AC ，得到AC A C '=，A A l '⊥，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当,,O P A '三点共线时，PO PA +的最小值为A O '，再利用勾股定理求A O '即可．【详解】解：取点A 关于直线l 的对称点A '，连A O '交直线l 于点C ，连AC ，则可知AC A C '=，A A l '⊥，∴PO PA PO PA A O ''+=+≥，即当,,O P A '三点共线时，PO PA +的最小值为A O '，∵直线l 垂直于y 轴，∴A A x '⊥轴，∵()3,0A ，()0,2B ，三、解答题14．（1）计算：()0162sin60π20242+︒--+-．（2）解不等式组：2311123x x x+≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩①②15．2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．游园线路人数国风古韵观赏线44世界公园打卡线x亲子互动慢游线48园艺小清新线y根据图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的员工共有______人，表中x的值为______：(2)在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；(3)若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．【答案】(1)160，40(2)99︒(3)385【分析】本题考查统计表和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．（1）根据选择“亲子互动慢游线”的人数及其所占的百分比可求得调查总人数，再根据选择“世界公园打卡线”对应的圆心角是90︒可求解x值；（2）由360︒乘以选择“国风古韵观赏线”所占的百分比可得答案；（3）先求得选择“园艺小清新线”的人数，再由单位总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”16．中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB 垂直于地面，AB 长8尺．在夏至时，杆子AB 在太阳光线AC 照射下产生的日影为BC ；在冬至时，杆子AB 在太阳光线AD 照射下产生的日影为BD ．已知73.4ACB ∠=︒，26.6ADB ∠=︒，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan26.60.50︒≈，sin73.40.96︒≈，cos73.40.29︒≈，tan73.4 3.35︒≈）17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为斜边AB 上一点，以BD 为直径作O ，交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ，DF ．(1)求证：BC DF BF CE ⋅=⋅；(2)若A CBF ∠=∠，tan BFC ∠=，AF =CF 的长和O 的直径．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+与直线2y x =相交于点()2,A a ，与x 轴交于点(),0B b ，点C 在反比例函数()0k y k x=<图象上．(1)求a ，b ，m 的值；(2)若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，求点C 的坐标和k 的值；(3)过A ，C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ，点E 与点D 关于y 轴对称．若有且只有一点C ，使得ABD △与ABE 相似，求k 的值．【答案】(1)4a =，6m =，6b =(2)点C 的坐标为()4,4-或()4,4-，16k =-(3)1-【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设(),C t s ，根据平行四边形的性质，分当OA 为对角线时，当OB 为对角线时，当OC 为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可；（3）设点(),0D x ，则(),0E x -，0x <，利用相似三角形的性质得2AB BE BD =⋅，进而解方程得2x =-，则()2,0D -，利用待定系数法求得直线AC 的表达式为2y x =+，联立方程组得220x x k +-=，根据题意，方程220x x k +-=有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可．【详解】（1）解：由题意，将()2,A a 代入2y x =中，得224a =⨯=，则()2,4A ，将()2,4A 代入y x m =-+中，得42m =-+，则6m =，∴6y x =-+，将(),0B b 代入6y x =-+中，得06b =-+，则6b =；（2）解：设(),C t s ，由（1）知()2,4A ，()6,0B 若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况：当OA 为对角线时，则026040t s +=+⎧⎨+=+⎩，解得44t s =-⎧⎨=⎩，∴()4,4C -，则4416k =-⨯=-；当OB 为对角线时，则062004t s+=+⎧⎨+=+⎩，解得44t s =⎧⎨=-⎩，∴()4,4C -，则4416k =-⨯=-；当OC 为对角线时，依题意，这种情况不存在，综上所述，满足条件的点C 的坐标为()4,4-或()4,4-，16k =-；（3）解：如图，设点(),0D x ，则(),0E x -，0x <，四、填空题19．如图，ABC CDE △≌△，若35D ∠=︒，45ACB ∠=︒，则DCE ∠的度数为．【答案】100︒/100度【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出45CED ACB ∠=∠=︒，再利用三角形内角和求出DCE ∠的度数即可．【详解】解：由ABC CDE △≌△，35D ∠=︒，∴45CED ACB ∠=∠=︒，∵35D ∠=︒，∴1801803545100DCE D CED ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：100︒20．若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．21．在综合实践活动中，数学兴趣小组对1n 这n 个自然数中，任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究．发现：当2n =时，只有{}1,2一种取法，即1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，即2k =；当4n =时，可得4k =；……．若6n =，则k 的值为；若24n =，则k 的值为．【答案】9144【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n 为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n 值所对应k 值，找到变化规律求解即可．22．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =．∵90ACB ∠=︒，E 为AD 中点，∴CE AE DE ==，又2CD =∴112CF DF CD ===，EAC ∠23．在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =-+-图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是．五、解答题24．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A ，B 两种水果共1500kg 进行销售，其中A 种水果收购单价10元/kg ，B 种水果收购单价15元/kg ．(1)求A ，B 两种水果各购进多少千克；(2)已知A 种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A 种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A 种水果的最低销售单价．【答案】(1)A 种水果购进1000千克，B 种水果购进500千克(2)A 种水果的最低销售单价为12.5元/kg【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，（1）设A 种水果购进x 千克，B 种水果购进y 千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可．（2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可．【详解】（1）解：设A 种水果购进x 千克，B 种水果购进y 千克，根据题意有：1500101517500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1000500x y =⎧⎨=⎩，∴A 种水果购进1000千克，B 种水果购进500千克（2）设A 种水果的销售单价为a 元/kg ，根据题意有：()()100014%120%100010a -≥+⨯⨯，解得12.5a ≥，故A 种水果的最低销售单价为12.5元/kg25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =-->与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．(1)求线段AB 的长；(2)当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；(3)延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB '' ．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．∴(12ACD D S CE x x =⋅- ∵ACD 的面积与ABD △∴222461n n n -++=-720⎛⎫则21,23AM n DM an an a =+=-++，∵AD DE =，∴1EM n =+，∵将ADB 沿DE 方向平移得到A EB '' ，()()1,0,3,0,A B -∴()()22,23,4,23,A n an an aB n an an a -+++-++''由题意知抛物线L 平移得到抛物线L '，设抛物线L '解析式为()20y ax bx c a =++>，∵点A '，B '都落在抛物线L '上∴()()2222232344an an a an bn c an an a a n b n c ⎧-++=++⎪⎨-++=++++⎪⎩，解得2463b an a c an a =--⎧⎨=+⎩，则抛物线L '解析式为()22463y ax an a x an a=+--++∵()22232463ax ax a ax an a x an a--=+--++整理得()133n x n +=+，解得3x =，∴抛物线L '与L 交于定点()3,0．【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．26．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC 和ADE 中，3AB AD ==，4BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒．【初步感知】（1）如图1，连接BD ，CE ，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究BD CE的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，当点D 恰好落在ABC 的中线BM 的延长线上时，延长ED 交AC 于点F ，求CF 的长．【拓展延伸】（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．（2）连接CE，延长BM交∠=∠，∴ABD ACE∵中线BM（3）如图，当AD与故1·2CDES CD DE==如图，当AD 在CA 的延长线上时，此时故(11·22CDE S CD DE ==⨯ 如图，当DE EC ⊥时，此时过点A 作AQ EC ⊥于点Q ∵5AE AC ==，1EQ QC EC ==，如图，当DC EC ⊥时，此时过点A 作AQ EC ⊥于点∴12EQ QC EC x ===，1EN EQ ==【点睛】本题考查了旋转的性质，用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．。

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2017年九年级数学中考综合题练习
1.某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期投资200万元，每生产1台这种新家电，后期还需其他投资0.3
万元，已知每台新家电可实现产值0.5万元．
（1）分别求总投资额y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；
（2）当新家电的总产量为900台时，该公司的盈亏情况如何？
（3）请你利用第（1）小题中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况．
（注：总投资=前期投资+后期其他投资，总利润=总产值﹣总投资）
2.某花店专卖某种进口品种的月季花苗，购进时每盆花苗的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售
单价是40元时，销售量是600盆，而销售单价每上涨1元，就会少售出10盆．
（1）设该种月季花苗的销售单价在40元的基础上涨了x元（x＞0），若要使得花店每盆的利润不得低于14元，且花店要完成不少于540盆的销售任务，求x的取值范围；
（2）在（1）问前提下，若设花店所获利润为W元，试用x表示W，并求出当销售单价为多少时W最大，最大利润是什么？
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