第二章 物流运筹学——线性规划

对矩阵 ( A, b) 作初等变换：
a11 a12 … a21 a22 … ( A，b) = a a … m1 m 2 1 0 … 0 0 1 … 0 → 0 0 … 1 a1m a1,m +1 a2 m a2,m+1 …… amm am ,m +1 … amn a1n a2 n b1 b2 bm
第二节 线性规划模型的求解
图解法 单纯形法
• 满足所有约束条件的向量称为线性规划问题的可行解 • 所有可行解构成的集合称为可行域。 • 在可行域中使得目标函数值最大（或最小）的可行解， 称为线性规划问题的最优解。 • 最优解的全体称为最优解集合。 • 最优解对应的目标函数值称为最优值。
图解法
【例 2-4】用图解法求解例 2-1。 max z = 12 x1 + 9 x2
解
设从仓库 Ai 运往 B j 的产品数量设为 xij ， i = 1, 2 ，
j = 1, 2,3, 4 ，该运输问题可用数学模型表示为
min z = ∑∑ cij xij
i =1 j =1
2
4
xi1 + xi 2 + xi 3 + xi 4 = ai ，i = 1， 2 s.t. x1 j + x2 j = b j ，j = 1， 3， 2，4 2； 2，4 xij ≥ 0 ，i = 1， j = 1， 3，
2．紧缩形式
max(min) z = c1 x1 + L + cn xn n 2，…，m ∑ aij x j ≥ (=, ≤)bi ，i = 1， s.t. j =1 x ≥ 0 , j = 1， 2，…，n j
3．矩阵和向量的形式
max(min) z = CX ≥ AX ≤ (= ， )b s.t. X ≥0
一般称这个线性规划问题为例2-1线性规划 问题的对偶问题 对偶问题，例2-1称为原问题 原问题。 对偶问题 原问题
表2-6 原问题与对偶问题的对应关系
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 对偶问题（或原问题） 目标函数 min
z
ω
n个 ≥ 0 变量 ≤ 0 无约束 m个 ≤ 约束条件 ≥ =
1 0 M 0
0 0 M 1
a1' j
' a2 j
a1' n a '2 n M a 'mn
′ cn − ∑ cBi ain
i =1 m
M
' a mj
m
σ j = cj − zj
0
0
′ c j − ∑ cBi aij
i =1
单纯形法的计算步骤
步骤 1：求初始基可行解，列出它的单纯形表。 步骤 2：最优性检验。若 σ j ≤ 0, j = 1,L , n ，则最优解已找到， 计算终止；否则，令 σ k = max{σ j | σ j > 0} ， xk 作为换入基变量。
得到新的单纯形表
cj →
c1
c2 x2
0 1 0 0
c3 x3
0 0 1 0
c4 x4
2 1 -1 -1/2
c5 x5
0 0 0 -1/2
CB
0 1 -2
基
b
13/2 5/2 1/2
x1
1 0 0 0
x1 x2 x3
σ j = cj − zj
σ j ≤ 0, j = 1,L ,5 ，迭代终止
最优解： X = (13 / 2,5 / 2,1/ 2, 0, 0)T ， 最优值： z = − x2 + 2 x3 = −3 / 2 。
第一节 线性规划问题及其数学模型
问题的提出 线性规划问题的标准形式
问题的提出
【例2-1】某企业要将产品包装成Ⅰ、Ⅱ两种规格， 需要A、B两种原材料的数量、获利情况及两种材 料数量限制见表2-1，两种规格的产品各包装多少 件可获利最多？
表2-1 产品 规格 Ⅰ Ⅱ 材料限制 A 4 5 20 B 2 1 8 利润/（元/件） 12 9
Bx B + Nx N = b
两边同时左乘 B 得 x B
−1 −1
−1
max z = CX
x B = B b − B Nx N 。令 x N =0， X = ( B b, 0 ) 。
−1 T
+ B −1 Nx N = B −1b ，从而
设 B 是约束矩阵 A 的一个 m 阶满秩子方阵，则称 B 为一个 基； B 中 m 个线性无关的列向量称为基向量，变量 X 中与之对 应的 m 个分量称为基变量，其余变量为非基变量，令所有的非基 变量取值为 0，得到的解 X = B b, 0
min w = Y T b ATY ≥ C T s.t. T Y ≥ 0 ,Y =(y1，y2，…，ym )
（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。 （2）弱对偶性：设 X 是原问题的可行解， Y 是对偶问题的可行解， 则C X ≤ Y b 。
T
（3）强对偶性：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且 目标函数值相同。 （4） 互补松弛性： 在线性规划的最优解当中， X * 、 * 是问题 若 （2-5） Y 和问题（2-6）的可行解， X s 和 Ys 是它的松弛变量，则 X 、 Y 是 最优解当且仅当 Ys X = 0 和 Y X s = 0 。
约束条件右端项 目标函数变量的系数
பைடு நூலகம்
n个 ≥ 约束条件 ≤ = ≥0 变量 ≤0 无约束 m个
目标函数变量的系数 约束条件右端项
对偶问题的基本性质
考虑下面的原问题和其对偶问题
原问题 对偶问题
max z = CX AX ≤ b s.t. X ≥ 0
2 1 2
x1
1 0 0
x2
-2 1 1
x3
1 -3 1 -2
x4
0 1 0
x5
0 0 1
x1 x4 x5
σ j = cj − zj
0
1
0
0
σ 2 > 0 ，则 X = (2, 0, 0,1, 2)T 不是最优解， x2 作为换入基变量。
bi′ 1 2 ′2 > 0} = min{ , } = 1 ，因此选 x4 作为换出基变量。 θ = min{ | ai 1≤i ≤3 a′ 1 1 i2
′ 步骤 3：若对于1 ≤ i ≤ m, aik ≤ 0 ，则该线性规划问题有无界解；
bi′ b′ ′ > 0} = l ，则 xl 作为换出基变量。 否则，计算 θ = min{ | aik 1≤i ≤ m a′ al′ ik
步骤 4：求得在新的基变量下的单纯形表，转步骤 2。
【例 2-6】用单纯形法求解下面线性规划问题
' a1,m+1 … a1' n b1' a '2,m+1 … a '2 n b2' …… ' ' ' a m ,m+1 … a mn bm
表 2-2 单纯形表
cj →
CB
基
c1
b
…
cm xm
…
cj
xj
…
cn xn
x1
…
…
…
c1 c2 M cm
x1 x2 M xm
b1′ ′ b2 M ′ bm
* *
*
*
对偶问题最优解的经济解释：影子价格。 线性规划问题中，当某资源增加一个单位而其 他资源都不变时，所引起目标函数最优值的增量称 为资源的影子价格。影子价格是对资源在生产中作 i 出的贡献而做的估价。
i
灵敏度分析
• 目标函数的灵敏度分析 • 约束右端向量的灵敏度分析 • 约束方程系数的灵敏度分析 • 增加一个新变量的灵敏度分析 • 增加一个约束的灵敏度分析
得到新的单纯形表
cj →
0 1 -2 0 0
CB
0 1 0
基
b
4 1 1
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x3
-5 -3 2
x4
2 1 -1
x5
0 0 1
x1 x2 x5
σ j = cj − zj
0
0
1
-1
0
σ 3 > 0 ，则 X = (4,1, 0, 0,1)T 不是最优解， x3 作为换入基变量
bi′ 2 ′3 > 0} = min{ } = 1 ，因此选 x5 作为换出基变量 θ = min{ | ai 1≤ i ≤ 3 a ′ 2 i3
−1 −1
(
−1
)
T
称为相应于 B 的基解。
若 B b ≥ 0 则称基解为基可行解，这时对应的基 B 为可行基。 如果 B b > 0 则称该基可行解为非退化的，如果一个线性 规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化的。
单纯形法的基本原理： 寻找一种规则，从一个基可行解转移 到另一个基可行解，目标函数值是增大 的，即“顶点转换，目标上升”。
线性规划定义
求取一组变量，使之既满足线性约束条件， 又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极 小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称 线性规划（LP）。决策变量、约束条件和目标函 数是其三个基本要素。
1．线性规划问题模型的一般形式 max(min) z = c1 x1 + L + cn xn a11 x1 + L + a1n xn ≤ (= ， )b1 ≥ ≥ a21 x1 + L + a2 n xn ≤ (= ， )b2 s.t. …… a x + L + a x ≤ (= ， )b ≥ n m1 1 mn n j 2，…，n x j ≥ 0， = 1，
解 设 x1 ， x2 分别为Ⅰ、Ⅱ两种规格产品的包装件数， 该包装问题可用数学模型表示为：
max z = 12 x1 + 9 x2 4 x1 + 5 x2 ≤ 20 s.t. 2 x1 + x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 1 2
【例 2-2】某物流公司要把若干单位的产品从两个仓库 Ai （ i = 1, 2 ） 发送到零售点 B j （ j = 1, 2, 3, 4 ） ，仓库 Ai 供应的产品数量为 ai ，零 售点 B j 所需的产品的数量为 b j 。假设供给总量和需求总量相等， 且已知从仓库 Ai 运一个单位产品往 B j 的运价为 cij 。问应如何组织 运输才能使总运费最小？
第三节 线性规划对偶问题与 灵敏度分析
对偶问题的提出 对偶问题的基本性质 灵敏度分析
对偶问题的提出
从另一个角度来考虑例 2-1，假设决策者不想包装这两种产品， 而是把原材料出售，那么决策者就要考虑给每种材料定价的问 题。设 y1 , y2 分别表示原材料的单价，则需求解线性规划问题
min ω = 20 y1 + 8 y2 4 y1 + 2 y2 ≥ 12 s.t. 5 y1 + y2 ≥ 9 y , y ≥ 0 1 2
线性规划问题的标准形式
max z = CX AX = b s.t. X ≥0
【例 2-3】将下列线性规划问题化为标准形： min z = x1 + 2 x2 + 3 x3
−2 x1 + x2 + x3 ≤ 9 −3 x + x + 2 x ≥ 4 1 2 3 s.t. 4x1 − 2 x2 − 3 x3 = − 6 x1 ≤ 0，x2 ≥ 0，3取值无约束 x
上面两个例子的共同特征： （1）每一个问题都由一组决策变量来表示某一方案， 一般情况下这些变量的取值是非负且连续的。 （2）存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一 组线性的等式或不等式来表示。 （3）都有一个要求达到的目标，它用决策变量的线 性函数（称为目标函数）来表示。按照具体问题的不 同，要求目标实现最小或最大。
第二章
线性规划
线性规划问题及其数学模型 线性规划模型的求解 线性规划对偶问题与灵敏度分析 线性规划在物流管理中的应用
学习目标
知识目标
掌握线性规划的基本形式及标准形式； 掌握单纯形法计算过程； 理解对偶问题； 掌握对偶问题的求法及性质； 了解灵敏度分析。
技能目标
能够结合实际情况建立线性规划的模型，并可利用单 纯形法求解。
4 x1 + 5 x2 ≤ 20 s.t. 2 x1 + x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 1 2
x2
z
2 x1 + x2 = 8
4 Q
4 x1 + 5 x 2 = 2 0
0
4
5
x1
线性规划解的可能情况
唯一最优解 无穷多最优解 无界解 无可行解
考虑线性规划的标准形式：
单 AX = b s.t. 纯 X ≥0 形 法 A = ( B, N ) ， X = ( xB , xN )T ，由 AX = b 知 令
min z = − x2 + 2 x3 x1 − 2 x2 + x3 = 2 x − 3x + x = 1 2 3 4 s.t. x2 − x3 + x5 = 2 x j ≥ 0， = 1， j 2，…， 5
解 初始单纯形表
cj →
0 1 -2 0 0
CB
0 0 0
基
b