分段函数的几种常见题型与解法
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函数的概念和性质
考点 分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
2．求分段函数的函数值
例2．已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
222(10)
.()2(02)x
x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10)
.()2(02)x x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩
222(12)
.()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩
2
26(12)
.()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩
例5．函数|ln |
|1|x y e
x =--的图像大致是（ ）
C
D
6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x
f x =-, 设
()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数22(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数32
(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
9．解分段函数的方程
例10．设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1
()4f x =的x 的值为
10．解分段函数的不等式
例11．设函数1221(0)
()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
例12．
设函数2(1)
(1)()4(1)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为
（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃
反馈练习
1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2＋2x ，x ≤0，
ln x ＋1，x ＞0.
若|f (x )|≥ax ，则
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]
D ．[－2,0] 2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧
2x 3，x <0，
－tan x ，0≤x <π
2，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.
3．（2013北京，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
log 12
x ， x ≥1，
2x ， x <1
的值域为________．
4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x ≤1，
lg x ，x >1，
则f (f (10))＝( )
A ．lg 101
B ．2
C ．1
D ．0
5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
c