含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法

含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。

一、分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。

例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+

- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x +

->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，

设()23f x x x =-+，则()2

3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，则()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t

+=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322

a ∴-<< 二、分类讨论

在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分

类讨论的思想来解决。

例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2

3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。

（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73

a ∴≤又4a >所以a 不存在；

（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭

62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤

（3） 当22

a -> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<-

综上所得：72a -≤≤

三、确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：设()()

()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立， ()()()()()()2221210202021210

x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩

解得：1122x -++<< 四、利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

例5、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。

解：1log 1a x -<<

（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113

a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥

（2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a

⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103

a <≤或3a ≥ 五、数形结合

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

例6、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭

内恒成立，求实数a 的取值范围。 解：由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭

内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数

23y x =和log a y x = 观察两函数图象，当10,3x ⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭

时，若1a >函数log a y x =的图象显然在函

数23y x =图象的下方，所以不成立；

当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33⎛⎫

⎪⎝⎭或在这个点的上方，则，11log 33a

≥ 127a ∴≥ 1127

a ∴>≥ 综上得：1127a >≥ 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。