二阶系统动态性能指标

第三章 自动控制系统的时域分析
本章主要内容
稳定性、劳斯（Routh）稳定判据； 典型输入信号、阶跃响应性能指标； 一、二阶系统动态性能指标； 闭环主导极点； 稳态误差分析； 基本控制规律（P、PI、PD、PID）。
第一节 稳定性和代数稳定判据
一、稳定的概念 一个自动控制系统必须是稳定的
自动控制系统稳定的定义：
0 K 14
例 （哈尔滨工业大学2000年）系统结构图如下。 求：为使系统闭环稳定，确定K的取值范围。
R(s) +
K
C(s)
-
s(0.1s 1)(0.25s 1)
• 解： • 系统方程 • 列劳斯表 • 根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于0，解出K
的取值范围
•
0<K<14
例 （华东理工大学2000年）某控制系统如下图 所示，试确定K1，K2使系统闭环稳定。
5、调节时间t s
( 00..0025)
e 1 C()(对单位阶跃输入) ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
用ε代表0, 此时有一虚根存在,系统是不稳定的. 根为: +j, -j, -1, -2
[例] S5+ S4+3S3+3S2+2S +2 =0 判稳
解: S 5 | 1 3 2 S4 | 1 3 2 S 3 | 0 0 0 系统不稳定，若要了解根的分布
则作辅助方程 Q(s) s4 3s2 2 0
R(s) + +
-
-
100 s2 4
K2s
C(s)
• 解：
K1s
• 系统方程
• 列劳斯表
• 根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于0，解出 K1，K2的取值范围
•
第四次作业
P133
3-1(1) 3-2(5) 3-3(1)
第二节 典型输入信号和阶跃响应性能指标
一. 典型输入信号
1(t)
1.单位阶跃函数
i 1 n
]
e p jt j
(s p j )
j 1
j 1
lim c(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
an sn an1 sn1 a1 s a0 0
必要条件
ai 0. ai 0
求导 4 s3 6s 0
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
由辅助方程导数系数构成
解辅助方程： s4 3 s2 2 (s2 1) (s2 2) 0
j, j 2,1
[例]
开环传递函数
Gk
(s)

s(0.1s
m
设闭环的传递函数：
(s)

c(s) R(s)

k
(s zi )
i 1
n
(s p j )
Pj 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
Fra Baidu bibliotek
(s p j ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (s zi )
n
c(t ) L1[c(s)] L1[
解: s4 |
1
3
5
s3 |
2
4
0
s2 |
13
24 1
2
15
20 5
2
24

s1 |
15 6
1
0
15

s0 |
6 0 5
6
Routh表第一列元素符号改变2次, 有2个正实部的根, 系统不稳定
[例] s4 3 s3 3 s2 3s 2 0 判稳
解: s4 | 1 3 2 s3 | 3 3 s2 | 2 2 s1 | s0 | 2
K 1)(0.25 s
1)单位负反馈.
求实系统稳定的 K的取值范围
解:
GB
(s)

GK (s) 1 GK (s)
,
1 GK (s)闭环特征方程
s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0
s3 14 s2 40s 40K 0
K 0 14 40 1 40K 0
1 t 0 1(t) 0 t 0
L[1(t)] 1 s
2.单位斜坡函数(速度阶跃函数)
1
0
t
r(t)
r (t )

t 0
s t 0 L[r(t)] t 0
1
2
1
0
1
t
3.单位抛物线函数(加速度阶跃函数)
r(t)

(t )

1

2
t
2
t0
0 t 0
三.劳斯稳定判据的应用
例: a3 s3 a2 s2 a1 s a0 0 判稳
s3
a3
a1
0
s2
a2
a0
0
s1 a1a2 a3 a0 0 a2
s0
a0
三阶系统稳定的充要条件是: ai 0且 a1a2 a3 a0 0
[例] s4 2 s3 3s2 4s 5 0 判稳
劳斯表
sn | an s a n1 |
n1
s b n2 | 1
s c n3 | 1 |
s1 | s0 |
an2 an3 b2 c2



an4

an an2
an5
b1
b3
an1 an3 a n 1
c3
an1 an3

c1
b1 b2 b1
L[
1 2
t
2]

1
s3
0
t
二. 阶跃响应的性能指标
C(t) C max
C() 1 C() 2
tdtr t p
6、振荡次数N
e 7、稳态误差 ss
1、延迟时间t d
2、上升时间t r
t 3、峰值时间 p

误差带
4、最大超调量 %
C C()
% max
100%
C()
ts
设系统处于某一起始的平衡状态，在外作用影响下它离 开平衡状态，当外作用消失后，若经过足够长的时间它能回 复到原来的平衡状态，则称这样的系统是稳定的，或称系统 具有稳定性，否则是不稳定的或不具有稳定性。
线性系统的稳定的充要条件是：
系统特性方程的根（即闭环极点）均为负实数（实部）。
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
ai 是实数
an an4
b2
an1 an5 a n 1
an1 an5
c2
b1 b3 b1
劳斯判据:
系统稳定的充分必要条件: 特征方程的全部系数都是正数, 且劳斯表第一列元素都是正数
在劳斯表中,同一个正整数去除或乘某一行,不会改变劳 斯判据的结论
位于右半S平面根的个数=劳斯表第一列元素符号改变的 次数