14.
在△ABC 中，sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A ×cos C ＋cos A ×sin C ＝32×1314＋12×3314＝437，
∴S △ABC ＝12ac ×sin B ＝12×7×3×4
7 3＝6 3.
星期二 (数列) 2018年____月____日
【题目2】 (本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *). (1)证明：{a n }是等比数列；
(2)在a n 和a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数成等差数列.记插入的n 个数的和为T n ，求T n 的最大值. (1)证明 因为3a n ＋S n ＝4， 所以S n ＝4－3a n (n ∈N *)，
所以，当n ≥2时，有S n －1＝4－3a n －1， 上述两式相减，得a n ＝－3a n ＋3a n －1，
即当n ≥2时，
a n a n －1＝3
4
.又n ＝1时，a 1＝4－3a 1，a 1＝1. 所以{a n }是首项为1，公比为3
4的等比数列. (2)解 由(1)得a n ＝a 1·q
n －1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34n －1， 所以T n ＝n （a n ＋a n ＋1）2＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＝7n 8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1
， 因为T n ＋1－T n ＝7（n ＋1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －7n 8⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1
＝7（3－n ）32⎝ ⎛⎭
⎪⎫34n －1
， 所以T 1T 5>T 6>…， 所以T n 的最大值为T 3＝T 4＝189128.
星期三 (立体几何) 2018年____月____日
【题目3】 (本小题满分12分)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点.
(1)求证：BF ∥平面ADP ； (2)求二面角B －DF －P 的余弦值.
(1)证明 取PD 的中点为G ，连接FG ，AG ， ∵F 是CE 的中点，∴FG 是梯形CDPE 的中位线， ∵CD ＝3PE ，∴FG ＝2PE ，∵FG ∥CD ∥AB ，AB ＝2PE ， ∴AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形. ∴BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ， ∴BF ∥平面ADP .
(2)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥PD ，又AD ⊥DC ，PD ⊥DC ， ∴AD ，DC ，PD 两两垂直，
以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，
设PE ＝1.
则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，3，0)，D (0，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，2).
∴DB
→＝(2，2，0)，又F (0，2，1)， ∴DF
→＝(0，2，1)， 设平面BDF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·
DF →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0，
令y ＝1，则z ＝－2，x ＝－1，∴n ＝(－1，1，－2)， ∵平面PDF 的一个法向量为DA →＝(2，0，0)， 且二面角B －DF －P 的平面角为钝角，
∴二面角B －DF －P 的余弦值为－|cos 〈DA
→，n 〉|＝－66
.
星期四 (概率统计) 2018年____月____日
【题目4】 (本小题满分12分)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长(单位：小时)，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们
最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过22小时，则称为“过度熬夜”.
(1)请根据样本数据，估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习总时长的平均值；
(2) 从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；
(3)从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望E (X ).
解 (1)甲班样本数据的平均值为1
6(9＋11＋13＋20＋24＋37)＝19，由此估计甲班学生平均每周自我熬夜学习的
总时长为19小时；乙班样本数据的平均值为1
6(11＋12＋21＋25＋27＋36)＝22，由此估计乙班学生平均每周熬夜学习的总时长为22小时.
(2)因为从甲班的6个样本数据中随机抽取1个的数据为“过度熬夜”的概率是13，
所以从甲班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度熬夜”的概率为P ＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝4
9. (3)X 的可能取值为0，1，2，3，4.
P (X ＝0)＝C 24C 23C 26C 26＝2
25，P (X ＝1)＝C 14C 12C 23＋C 24C 13C 13C 26C 2
6＝2675， P (X ＝2)＝C 22C 23＋C 24C 23＋C 14C 12C 13C 1
3C 26C 2
6
＝31
75， P (X ＝3)＝C 22C 13C 13＋C 14C 12C 23C 26C 26＝11
75，P (X ＝4)＝C 22C 23C 26C 26
＝175. X 的分布列是：
X 0 1 2 3 4 P
2
25
2675
3175
1175
175
E (X )＝0×225＋1×2675＋2×3175＋3×1175＋4×175＝5
3.
星期五 (解析几何) 2018年____月____日
【题目5】 (本小题满分12分)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＜x ＜32，
过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值.
解 (1)由题意得P (x ，x 2)，－12＜x ＜32. 设直线AP 的斜率为k ，
