第九章 滑移线法

例：如图所示，在外力的作用下，有平冲头压入半无限高的坯料，
冲头与坯料之间完全光滑。试画出滑移线场并求出极限载荷 p 和单
位长度上的压力P。
p
（1）建场 如图：
（2）定族: 按照滑移线判断规则， 无论从C点分析，还是从D点分析， 都可以判断CD是β族滑移线。
（3）求边界点处的 、
在C点：
在D点：
(m,n
tan[ 1 2
来自百度文库
(m,n
m,n1)]
cot[ 1 2
(m,n

m1,n )]
m1,n )]
ym,n

ym,n1
( xm,n

xm,n1
)
tan[
1 2
(m,n
m,n1)]
-----(9)
9.4 滑移线场的速度场理论
一、格林盖尔速度方程
&&xy
情况1：
1 0 1 3 2K 3 2K m K
情况2：
3 0
11
3
2K
2
K
m K
（2）无摩擦的接触表面

4
r=0
β
σ3
无摩擦的接触表面
0 4α
情况1：
3 p 1 3 2k 1 2k p
9.3 滑移线场的几何性质
性质１：在同一条滑移线上，由点ａ 到点ｂ，平均应力的变化与滑移线 的切线的转角成正比。
a 2ka b 2kb a b 2k(a b ) 2k
由此可见，滑移线弯曲得越厉害，静水压力变化得就越剧烈。
性质２：在已知的滑移线场内，只要知道一点的静 水压力，即可求出场内任意一点的平均应力，从而 可以计算出各点的应力分量。
解：
δ
（1）建场，如图：
（2）定族: 按照滑移线判断规则，无论从C点分析，还 是从D点分析，都可以判断CD是β族滑移线。
（3）求边界点处的 、
在C点：
在D点：
3 p

1 1
3
2k

2k p
mc (1 3 ) / 2 k p
c / 4
σ1
K
σ3
σm
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）库仑摩擦接触表面:摩擦力为某一中间值的接触表面
0 xy K
1 cos1 xy
2K
xy
0

y
r


y
y m
3
m
xy
K
K
x xy
xy x
K
m
K
xy
y
m
a)
1 0
44
p 2k（1 ）
（5）、平冲头单位长度上的极限压力
P 4a（ k 1）
例: 已知具有角切口厚度为的板条（见图），请用 滑移线法求此板条极限载荷。 解： （1）建场，如图：
（2）定族:
（3）求边界点处的
（4）、代入亨盖应力定理 （5）、平冲头单位长度上的极限压力
3、用图解法和数值积分法建立滑移线场
逆时针方向

σ1方向（第一主方向）
KK
σ3方向
σ3方向 σ1方向
判断σ1、σ3方向
K
K
K
判断变化趋势

4
α
σ1
β
K
K
σ1

β
4
α
确定滑移线族别
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
9.2 汉基应力方程
汉基应力方程
m 2k C1 沿线
m 2k C2 沿线

& &
' x
' y

&( x &( y
m) m)
&xy & xy
……(10)
过P点取滑移线为坐标系
x , y ,&x ,&y & .
由于 , 是最大切应力所在平面上的
正应力
∴ m
因CD是β族滑移线，由汉基定理：
c d 2k c d 2kcd k p k 2（k ）
44
p 2（k 1 ）
2
（5）、平冲头单位长度上的极限压力
P 2b 1 p 2kb（2 ）
例：已知顶部被削平的对楔体（如图）的削平面上承受均匀压力， 若楔体夹角2δ，AB=2a，试求此楔体能承受的极限载荷p和单位长度 上的压力P(接触摩擦力为零)。
代入10得
& 0,& 0.
……(11a)
d 0,
dt
d 0.
dt

d 0,
……(11b)
d 0.
滑移线无线应变增 量。滑移线且有不 可伸缩的特性
根据滑移线不可压缩的性质
v (v dv ) cos(d) (v dv ) sin(d)
3 p
11
3
2k

2k p
mc (1 3 ) / 2 k p
c / 4
1 0

1 3
3
2k
2k
md (1 3) / 2 k
d / 4
（4）、代入汉基应力方程
σm
σ3
β
K K σm
m k p
σ1
σ1
情况2：
1 p 1 3 2k 3 2k p
代数值最大的
0
主应力σ1的作用线
σm K K σm
σ3
α
m k p 无摩擦接触表面处的滑移线
（3）粘着摩擦接触表面 xy K
高温塑性加工且无润滑时，如热挤压、热轧和热锻等，工件与工具间
tan[ 1 2
(m,n

m ,n 1 )]

ym,n

ym1,n

( xm,n

1 xm1,n ) cot[ 2
(m,n

m1,n )]
解方程组得
xm,n


ym1,n

ym,n1

xm,n1
tan[ 1 2
(m,n
m,n1)]
xm1,n
cot[ 1 2
v v dv v d
dv v d 0 (沿线) dv v d 0 (沿线)
……(12)
盖林格尔速度方程，可确定塑 性变形区内速度的分布
二、速度间断
若塑性区与刚性区之间或塑性区内相 邻两区之间可能有相对滑动，即速度 发生跳跃，此现象称速度不连续，或 称速度间断。
易出现全粘着现象，以致接触表面上的摩擦应力为最大。
一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
0 β
α
α
σn= σm 0
摩擦切应力为 K的接触面
α
β β
σm
σ1 K
σ3
σm
K
σ3
σ1
K β
σm
σ3
σm
K
σm α
0
代数值最大的 σm K 主应力σ1的作用线
0
K
K σ1 σm
σ1 σ1的作用线
x
塑性平面应变状态下一点的应力 状态、应力莫尔圆及物理平面
1 m k 2 m 3 m k
x m k sin 2 y m k sin 2 xy k cos 2
-----(1)
tan 2 x y 2 xy
-----(2)
将无限接近的剪应力方向连接起来，即到两族正交曲线，称为滑移线，其中沿第
一剪切方向所得的滑移线称为 族，沿第二剪切方向所得的滑移线称为 族。
第一主方向顺时针转45所得的滑移线为 线，线两旁的最大剪应力组成
顺时针方向
第一主方向顺时针转45所得的滑移线为 线，线两旁的最大剪应力组成

C1、C2在同一条滑移线上为常数
ma mb 2k(a b )
正号用于 线，负号 线
若采用静水压力，为：
则汉基应力方程为：
pm 2k C1 沿线 pm 2k C2 沿线
pma pmb 2k(a b )
负号用于 线，正号 线
(沿线) (沿 线)
-----(8)
以弦代替圆弧，取 弦的斜率等于端点 斜率的平均值。
由汉基第一定理得
m,n
m1,n
m ,n 1
m 1,n 1
m,n
m1,n
m ,n 1
m 1,n 1
ym,n

ym,n1

( xm,n

xm ,n 1 )
直线滑移线场，两族直线 简单滑移线场，一直一曲 有心和无心扇形场 直线与简单滑移线场组合 正交曲线滑移线场
正交对数螺线
正交圆摆线
等半径圆弧
自由表面或均布法向应力 粗糙平行刚性板压缩
9. 4 应力边界条件
塑性加工问题的应力边界条件，有四种情况： （1）自由表面
塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面， 如平冲头压入半无限体工件:
至此，定理得证。

推论：

同族滑移线中，某一线段是直线时，则这族滑移线的其他条
线段也是直线。但是，当由一条直线段转到另一条直线段时，
则其应力有变化。具有这种应力状态的滑移线场叫做简单应
力状态滑移线场。

同族滑移线必须具有相同方向的曲率。

如果一族滑移线是直线，那么与其正交的另一族滑移线将具
有４种类型，既为常见的几种滑移线场：
第九章 滑移线法
主要内容
9. 1 9.2 9. 4 9. 5
滑移线场的基本概念 汉基应力方程 应力边界条件 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
9. 1 滑移线场的基本概念
处于塑性平面应变下，设Z轴方向的应变为零。则塑性变形体内 一点P的应力状态可用塑性流动平面内平面应力单元体表示。
1 2
由于滑移线已知，即已知滑移线上各点的夹
角 可以求出。
，如又知道 a ，那么 b , c , d
由此可见，如果正确地绘出了滑移线场，又知 道了场内一点的静水压力，那么全部区域内的静水 压力问题都解决了。
性质３：直线滑移线上各点的静水压力相等（因直线滑移线上
各点的夹角相等，由性质１可知： 0 ，各点的 相
2
a
xy
x
x
m
b)
摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线
9. 5 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
金属塑性加工中，许多平面应变问题的滑移线场是由三角均匀场 和简单扇形场组合而成的，称为简单滑移线场问题，如平冲头压入半 无限体、平冲头压入、某些特定挤压比下的挤压、剪切乃至切削加工， 如图所示：
第一：平行直线场
第二：有心扇形场
第三：由一族直线与另一 族的曲线相互正交而构成的， 此种滑移线场称为一般简单 应力状态的滑移线场
第四，具有边界线的简单应力状态 的滑移线场（图ｄ）。这种场的特点 是直线滑移线是边界线（曲线滑移线 的渐屈线〕的切线，曲线滑移线乃是 边界线的渐开线。
常见的滑移线场类型
1 0

1 3
3
2k
2k
md (1 3) / 2 k
d / 4
（4）、代入亨盖应力定理 因CD是β族滑移线，由汉基定理：
c d 2kc d 2kcd 知： k p k 2k（ ）
(
1


3
)

k
1 2
(
1


3
)


m
z σz= σm= σ2
τxyτyxσy
0
y
σx
x
τ
σy （σm,+K）
τxy τyx
σ1 σ
x σx
2ω （σm,-K）
σ2= σm
σm +K
σ1
σy
σ1作用线
τ τyx
-K
xy
σm
P
σx
σ3
σ3
y

4 σm +K
P
ω σyτyx
-K τxy
σm
σx 0
建立滑移线场从已知的边界条件开始 已知两相交滑移线OA和OB，作出该两条滑移线所包围的塑性区
OACB内的滑移线场 （1）图解法：滑移线场的节点编号是用一有序数组（m，n）表
示，其中m为 线的序号 n为线的序号
dy y tg,
dx x
dy y cot ,
dx x
同）。
由此可以进一步看出，直线滑移线上各点的 x , y , xy
均不变。如果两族滑移线在整个域内都是正交直线族，那么 整个区域内、和均为常数，这是均匀的应力状态，这样的滑 移线场称为均匀直线场。
性质４：汉基第一定理。同族的两条滑移线与另一族滑移线相 交，其相交处两切线间的夹角是常数。
证明： 路线1、A——B——C 路线2、A——D——C
注： (1) 由此方程可知，在塑性区内，沿任意一滑移线上，Ｃ1或Ｃ2为一
常数，它们的数值可以根据边界条件定出；
(2)区如内果任利意用一滑点移的线网络m 的值特，性从绘而出求滑出移任线意场一，点那的么就x可,以y ,解 x出y 塑。性
(3) 从族滑移线中的一条滑移线转至另一条时，一般来说，Ｃｌ会改 变。同样，从族滑移线中的一条滑移线转至另一条时，Ｃ2也会改 变。