线性规划和匈牙利法
最大化指派问题匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。
最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。
下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。
1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。
算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。
寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。
如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。
修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。
重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。
相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。
可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。
3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。
项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。
资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。
4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。
在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。
匈牙利法
6.9.2线性规划的求解方法——匈牙利法例：某建筑公司有五个工程队，现准备去五个工地作业，由于工程队的设备、人力各不相同，五个工地的条件也各不相同，因此每个工程队在不同的工地工作所需的作业时间也不相同，设每个工程队在每个工地工作的计划时间见表 6.9.1，安排哪个工程队去哪个工地进行作业，才能使企业作业的总时间最少。
各工程队在各工地的计划工作时间匈牙利法：步骤1，在系数矩阵C ij的每行和每列中减去最小元素，使矩阵的每行和每列至少有一个零元素。
步骤2，按零元素最少的行优先进行指派。
由于零元素所对应的分配关系所消耗的时间最少，故在零元素最少的行优先选择零元素并将其用○圈起，零元素一旦选定，则说明该工程队不能再在其他工地工作、也不能再安排其他工程队，故应划掉与该零元素同行和同列的其他零元素，按此法一直到进行不下去为止。
步骤3，如果选中的零元素个数与矩阵维数相同，则选中的零元素所对应的分配关系即是最优方案；如果选取中的零元素个数小于矩阵维数，则说明有的工程队未分配工作、有的工地未安排工程队。
因此需要进行调整，调整方法的思路为：找出与未分配工作工队有冲突的工队，通过对有冲突工队工作时间的比较，找出“次快”的工作时间，使其变为零元素，再进行分配。
其方法如下：①在无○号的行标√号。
②在有√号行上的零元素所在的列标√号。
③再在标√号的列中有○号的零元素所对应的行标√。
④重复直至进行不下去为止。
⑤对无√号的行和有√号的列画直线，在直线未复盖的元素中选择最小元素。
⑥从有√号的行中减去该元素，在有√号的列上加上该元素，则得到一个新矩阵。
方法中①～④的主要目的是找出有冲突的工队，标有√标记的行，是有冲突的工队；⑤、⑥是找出有冲突的工队中第二快（次块）的工时，并使其为零。
步骤4在此新矩阵的基础上重复第二步～第四步即可得出最优解。
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
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一线性规划图解法1.线性规划的标准形式：(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。
(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y轴。
(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。
二单纯形法1.大M法（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。
（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.2.两阶段法（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。
（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。
3.单纯表特殊情况的解判断（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。
（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。
（因为比较比值大小时都是负的）。
（3）某个非基变量σ=0，无穷解。
（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。
σk相同，任选一个入基。
4.初等行变换✓某一行（列），乘以一个非零倍数。
✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。
✓某两行（列），互换。
三单纯形法灵敏度分析1.对偶问题原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T yAx≤b A T y≥c TX≥0 y≥0（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。
（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。
（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。
（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。
（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。
（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。
2.灵敏度分析（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。
（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。
判断b是否非负。
第五章 匈牙利法与最佳指派问题
7 2 2
4
3
8 3 5 3
11 8
4
4 1 4
情况一出现，即得到了最优解，其相应的解矩阵为：
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
xij
1
0
0
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
由此得知最优指派方案为甲完成任务B，乙完成任务
C，丙完成任务A，丁完成任务D，戊完成任务E，最少时
间为
min z 7 6 7 6 6 32
而总的最少时间为32天．
当然，由于方法中的第二步4中的情况二的出现，造成 指派问题的最优解常常是不唯一的，但不同最优解的 最优值总是相同的．
第三节 非标准指派问题
前一节的匈牙利法只适用于目标函数为极小、价值 系数矩阵为方阵且价值系数矩阵中元素均为非负的情况。 当指派问题不满足上述三个条件时，就应先化成标准的 指派问题，然后再用匈牙利法求解．
解：
ABC DEF
甲 16 10 12 15 0 0 8 2
甲 16 10 12 15 0 0
8
2
乙 11 12 10 18 0 0 3 2 3
乙
11
12
10
18
0
0
3
2
3
丙 8 17 13 16 0 0 7 3 1
丙
8
17 13 16
0
0
7
3
1
8 10 10 15
本例经过反复的行、列检验后得到如下矩阵：
5 2 2
2
3
10 5 7 5
9
8
4
6 3 6 2
情况三出现，亦即未得到完全分配方案，求解过程 按以下步骤继续进行。
【高项第四版教材第21章】项目管理科学基础(运筹学计算)
3 最小生成树 如：改造路线最小长度方案 熟练掌握
4 匈牙利法 如：每人只能做一项任务，如何进行任务的分配 熟练掌握
5
最短（长）路径如：计算网络图最短路径;路径上最少花费;复杂图里计 问题 算最长路径、关键路径
6 网络与最大流量 如：最大运力计算 掌握
7 不确定决型策决论策：如乐等观可主能义、、后悲悔观值主准义则、等折;灵中敏主度义分、析
0.5
（1-2）联立，得X=3/0.11，66题的选项,排除。 （1-3）联立，得X=1140/45.5，67题的选项,排除。 （2-3）联立,得X=15 , Y=30
答案:66-A，67-C
假设从甲采购X吨，乙采购Y吨；则
（ 1） （ 2）
（ 3）
而所花费总价格（含运费）为 Z＝2000x＋2900y（万元），画出可行域， 此时，当直线过B（15，30）时，总费用最少，故每季度应从A处采购15万 吨，从B处采购30万吨，总费用为11700万元。
将X=2 , Y=0代入（300X+200Y）得最低成本为600万，第二问选择C选项。
方法2：公司需要研发2个A，4个B。因为甲可支持1个A和两个B，所以2个甲可以满足要求。成本600元。
四个成本选项600下面还有个400，400的组成只有两个乙，但是两个乙不满足要求。所以选甲乙分别为
2，0，成本是600。
题型2【动态规划】投资收益最大的问题
【例5-11下】某公司现有400 万元用于投资甲、乙、丙三个项目，投资额以百元为单 位， 知甲、乙、丙三项投资的可能方案及相应获得的收益如下表所示:
项目-收益-投资额
1
甲
4
乙
3
丙
5
2
3
4
运筹学 工作指派问题
n
n
n
n
ij
) xij
n n
= M ∑∑ xij − ∑∑ cij xij = nM − ∑∑ cij xij
i =1 j =1
14
1 甲 乙 丙 丁 10 5 5 2 2 9 8 4 3 3 7 7 6 4 4 8 7 5 5
12
例1-15 求最大效率问题
上海港务局装卸队安排五个班组进行五条作 业线的配工，以往各班组完成某项作业的实 际效率的具体数据如下表所示。
项目 班组 甲 乙 丙 丁 戊 400 435 505 495 450 315 295 370 310 320 220 240 320 250 310 120 220 200 180 190 145 160 165 135 100 13 1 2 3 4 5
9
(4)画0元素的最少覆盖线：要用最少的覆盖线将矩 阵表格中的所有0元素都覆盖住。如果覆盖线的条 数少于矩阵的阶数，说明找不到最优解，要转下 步（继续变换矩阵，使0元素增加）。如果覆盖线 的条数等于矩阵的阶数，则说明可以从矩阵表格 的0元素中找出最优解。 画最少覆盖线的具体方法： ①对没有◎的行打√； ②对打√的行中，所有有0元素的列打√； ③对打√的列中，对有◎的行打√； ④重复②、③步直到得不出新的打√的行和列； ⑤对没有打√的行画横线，对打√的列画纵线，这 些横线和纵线就是能把全部0元素都覆盖的最少覆 盖线。
第一章 线性规划的基本 理论及其应用
1
第九节
工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题： 有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的 费用为 cij (i, j = 1, 2, , n),要求确定人和事之间的 一一对应的指派方案，使完成这n件事的总 费用最少。
项目管理匈牙利法
项目管理匈牙利法匈牙利法是一种有效的项目管理方法，它在项目规划、实施和监控过程中提供了清晰的框架和指导。
本文将介绍匈牙利法的定义、基本原则，以及在项目管理中的应用。
一、匈牙利法的定义匈牙利法（Hungarian notation）是由计算机科学家Charles Simonyi提出的一种命名规则，它的目的是为变量、常量和函数等命名提供规范。
匈牙利法的命名特点是在变量名前面加上前缀，该前缀表示该变量的数据类型或作用。
二、匈牙利法的基本原则1. 可读性：匈牙利法的前缀可以清晰地表达变量的类型或作用，提高代码的可读性和可维护性。
2. 一致性：匈牙利法要求在整个项目中保持一致的命名规则，避免混乱和不一致的命名方式。
3. 可扩展性：匈牙利法可以通过添加前缀来扩展变量的含义和作用，便于项目的发展和维护。
三、匈牙利法在项目管理中的应用1. 项目规划阶段：在项目规划阶段，匈牙利法可以用于命名项目中的不同组成部分，如项目名称、阶段名称、任务名称等。
通过使用一致的前缀命名规则，可以清晰地表达各个组成部分的作用和类型，方便项目团队的沟通和理解。
2. 项目实施阶段：在项目实施阶段，匈牙利法可以用于命名各个变量和参数，如成本变量、进度变量、风险变量等。
通过使用匈牙利法的命名规则，可以准确地描述变量的类型和作用，便于代码的编写和维护。
3. 项目监控阶段：在项目监控阶段，匈牙利法可以用于命名各个指标和报告，如成本指标、进度指标、风险报告等。
通过使用匈牙利法的命名规则，可以清晰地表达指标和报告的类型和用途，方便项目经理和其他相关人员进行监控和评估。
四、匈牙利法的优点和注意事项1. 优点：（1）提高代码的可读性和可维护性，减少开发和维护的难度；（2）促进团队成员之间的沟通和协作，减少误解和歧义；（3）减少错误和漏洞的发生，提高项目的质量和效率。
2. 注意事项：（1）匈牙利法要求在整个项目中保持一致的命名规则，需要进行规范和培训；（2）匈牙利法只是命名规则的一种方式，需要根据具体项目的需求和特点进行调整和变化；（3）匈牙利法不是万能的，需要结合其他项目管理方法和工具进行综合应用。
线性规划例题5分配问题及匈牙利算法
直角坐标系。 • （2）对每个约束（包括非负约束）条件，
先取其等式在坐标系中作出直线，通过
判断确定不等式所决定的半平面。各约束半 平面交出来的区域(存在或不存在），若存在， 其中的点表示的解称为此线性规划的可行解。 这些符合约束限制的点集合，称为可行集或 可行域。
同时，我们有一个追求目标，即获
取最大利润。于是可写出目标函数z
为相应的生产计划可以获得的总利
润：z=40x1+30x2 +50x3
【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品 的产量数学模型为：
mZ a 4 x x 1 0 3x 2 0 5x 3 0
3 x1 x 2 2 x3 200
问：如何分配，能使所需的 总时间最少？
人 工作 甲 乙 丙 丁
译英文 2 10 译日文 15 4 译德文 13 14 译俄文 4 15
97 14 8 16 11 13 9
1.1 数学模型 Mathematical Model
线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重 要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟， 借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函 数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线 性不等式或等式。
书本还例举了诸如合理用料问题;配料问题;投资问题;均衡配 套生产问题等.
• 线性规划的一般模型
max(min)Z c1x1 c2 x2 L cn xn
6
x 1 0 、 x 2 0
第2章 求解线性规划方法 (单纯形法+匈牙利法)
x3＝2－x1＋x4－x6 （13） 13） 14） x7＝1＋2x1―x2―2x4＋x5＋2x6 （14）
S＝4x1＋3x2＋8x3＋Mx6＋Mx7＝min(8)
第 二 次 判 定 S＝4x1＋3x2＋8(2－x1＋x4－x6 )＋Mx6＋ M(1＋2x1―x2―2x4＋x5＋2x6) (2M－ (3－M)x (8－2M)x ＝(2M－4)x1＋(3－M)x2＋(8－2M)x4＋ (3M－ 16） Mx5＋(3M－8)x6＋16 （16） 16）式可见x 的系数为负 由（16）式可见x2、x4的系数为负， 因此X(1)不是最优解。 因此X 不是最优解。
x3＝2－x1＋x4－x6 （13） 13） 14） x7＝5－x2－2x3＋x5＝1＋2x1―x2―2x4＋x5＋2x6 （14）
由（14）式得： 14）式得： 1/2＋ /2＋ /2＋ 18） x4＝1/2＋x1-x2/2＋x5/2＋x6-x7/2 （18） 由（13）、（18）式： 13）、（18） ）、（18 5/2- /2＋ /219） x3＝5/2-x2/2＋x5/2-x7/2 （19） 求解（18）、（19）式得： ）、（19 令x1＝x2＝x5＝x6＝x7＝0， 求解（18）、（19）式得： x3＝5/2 20） （20）是基础可行解 x4＝1/2 得到了新的顶点X 得到了新的顶点X(2)＝(0,0,5/2,1/2,0,0,0)T
(4－ (3－ 因为M为无限大值，所以(4 因为M为无限大值，所以(4－M)x1 、 (3－M)x2 、 (8－ 负值， 不是最优解。 (8－3M)x3是负值， S(X(0))不是最优解。
4. 换元 A、原则
将目标函数S 系数为负且最小的元换入（ 将目标函数S中系数为负且最小的元换入（本例为 的元换入 (8－ ），作为基本变量。 作为基本变量 (8－3M)x3），作为基本变量。 计算各约束条件式中比值： 计算各约束条件式中比值： 第 一 次 换 元
2019年线性规划和匈牙利法.doc
二、生产任务分配的匈牙利法在实际的生产管理工作中，常会遇到这样的问题，就是如何根据生产作业汁划将不同任务在不同的工人(或班组)之间分配，使完成任务总的消耗时间或费用最小。
解决这类问题的简便而有效的方法是匈牙利法，它是由匈牙利数学家D. Konig所提出。
例有4项任务A、B、C、D，分别由甲、乙、丙、丁4个人去完成，规定每人承担其中一项任务，不同的人完成同一任务所花时间(h)不同，见表3-3，求如何分配，使完成这4项任务的总时间最小。
匈牙利法求解此问题的步骤是：1）按表3-3列出矩阵2)将矩阵作行、列约简：首先进行行约简。
在矩阵的每一行中选取最小元素，然后将该行的各元素都减去此数，得到如下新矩阵行约简是比较一名工人担任不同任务时所花的时间，各行中减去最小值后的时间表示该工人担任其它任务时，所多花费的时间，每行中的“0”表示该工人承担这项任务最有利。
然后将经过行约筒后的矩阵中没有“0”的列再进行约简，即从该列中选出最小元素，并将其它元素减去此数，得到新矩阵列约简是比较一项任务有不同工人承担所托时间，各列中减去最小值后的时间表示任务由其他工人担任时，所多花费的时间，每列中的“0”表示这项任务由该工人承担最有利。
3) 检验是否已得最优分配方案；作零的覆盖线，即对有“0”的行和列，划上一条覆盖线，能覆盖所有零元素的最少覆盖线数称为维数，当覆盖线的维数等于矩阵阶数时，可知已得最优分配方案，若维数小于阶数，再作调整。
本例可用三条覆盖线覆盖住所有零元素，维数是3，矩阵的阶数是4，维数不等于阶数，因此矩阵还必须调整。
4) 矩阵的调整。
在上述矩阵中．有三种元素，一种是无线覆盖元素，另一种是单线覆盖元素，还有一种是双线覆盖元素。
在无线覆荒元素中找出最小值，本例为“1”，将无线覆盖得元素都减去“1”，而双线覆盖的元素加上“1”，单线覆盖的元素不变。
这样得到新矩阵5) 再检验——作覆盖线，方法与步骤3相同。
现在的最少覆盖线数为4，与矩阵阶数相等，可知已能进行最优分配。
运筹学匈牙利法PPT课件
（1）人数与工作数不等的处理 当人数>工作数时：假想工作数，使得
与人数能够匹配, 对应的效率设定为0值。
当工作数>人数时：假想人数，使得与 工作数能够匹配, 对应的效率设定为0值。
人数和工作数不等的指派问题
4 8 7 15
12 9 2 14
6 9 12 8
11 7 17 6
6 9 12 10
运筹学匈牙利法
一、0－1 整数规划——枚举法
x1 . x2. x3
( 0. 0. 0 ) ( 0. 0. 1 ) ( 0. 1. 0 ) ( 1. 0. 0 ) ( 0. 1. 1 ) ( 1. 0. 1 ) ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1. 1 )
满足约束条件（是∨ 否×） Z 值
(1) (2) (3) (4)
思考：如果将目标 函数变为下式会改 进吗？
max Z 2x2 3x1 5x3
三、指派问题的匈牙利法
指派问题（The Assignment Problem）
1、指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及一系列完成 任务的被指派者（assignees），所需要解决的问题就是 要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务
译日文：
44
min f
cij xij译德文：
i 1 j 1
译俄文：
工作 人 甲 乙 丙 丁 甲：
乙：
译英文 2 10 9
7 丙：
译日文 15 4 译德文 13 14
14 8 丁：
16 11
x21+ x22 + x23 + x24 =1 x31+ x32 + x33 + x34 =1 x41+ x42 + x43 + x44 =1 x11+ x21 + x31 + x41 =1 x12+ x22 + x32 + x42 =1 x13+ x23 + x33 + x43 =1 x14+ x24 + x34 + x44 =1
匈牙利法的基本步骤
匈牙利法是一种用于求解线性规划问题的算法，其基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最大化或最小化，约束条件为等式或不等式。
2. 构建一个成本矩阵，其中每行代表一个约束条件，每列代表一个变量。
3. 对成本矩阵进行行和列的减操作，使得每行和每列至少有一个零元素。
4. 选择一个零元素最少的行或列，用该行或列中的零元素覆盖其他行或列中的零元素。
5. 重复步骤 4，直到所有零元素都被覆盖。
6. 对于每个被覆盖的零元素，将其对应的变量标记为已分配。
7. 对于未被分配的变量，选择一个成本最小的变量，并将其分配给一个未被覆盖的零元素。
8. 重复步骤 7，直到所有变量都被分配。
9. 计算目标函数的值，并检查是否满足约束条件。
如果满足，则得到最优解；如果不满足，则需要重新选择分配变量。
匈牙利法是一种简单而有效的线性规划算法，但对于大规模问题可能会比较耗时。
在实际应用中，通常会使用更高效的算法来求解线性规划问题。
运筹学基本概念及判断题（含答案）
运筹学基本概念及判断题（含答案）第1章线性规划1.任何线性规划一定有最优解。
2.若线性规划有最优解,则一定有基本最优解。
3.线性规划可行域无界,则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为零。
5.检验数λj表示非基变量xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
7.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优值。
8.任何线性规划都可以化为下列标准形式:9.基本解对应的基是可行基。
10.任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
11.任何线性规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线性规划存在两个不同的最优解,则必有无穷个最优解。
13.两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为的形式,则求极大值问题时基可行解是最优解的充要条件是。
19.若矩阵B为一可行基,则|B|=0。
20.当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。
第2章线性规划的对偶理论21．原问题第i个约束是“≤”约束，则对偶变量yi≥0。
22．互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解。
23．原问题有多重解，对偶问题也有多重解。
24．对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解。
25．原问题无最优解，则对偶问题无可行解。
26．设X*、Y*分别是的可行解，则有（1）CX*≤Y*b；（2）CX*是w的上界（3）当X*、Y*为最优解时，CX*=Y*b；（4）当CX*=Y*b时，有 Y*Xs+Ys X*=0成立（5）X*为最优解且B是最优基时，则Y*=CBB－1是最优解；（6）松弛变量Ys的检验数是λs，则 X=－λS是基本解，若Ys是最优解，则X=－λS是最优解。
第5章运输与指派问题61.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述
摘要：
1.匈牙利算法简介
2.匈牙利算法的应用背景
3.匈牙利算法的基本思想
4.匈牙利算法的实现步骤
5.匈牙利算法的优缺点分析
6.结论
正文：
匈牙利算法是一种解决匈牙利问题的图论算法，也被称为Munkres算法。
它主要用于解决最大匹配问题和最小生成树问题。
匈牙利算法在运筹学、计算机科学、通信网络等领域具有广泛的应用背景。
匈牙利算法的基本思想是：通过不断地寻找增广路径来寻找最大匹配。
增广路径是指一条从已匹配顶点出发，到达未匹配顶点的路径。
算法的基本流程如下：
1.初始化未匹配顶点和已匹配顶点集合。
2.遍历所有未匹配顶点，找到一条增广路径。
3.将增广路径上的所有顶点标记为已匹配。
4.重复步骤2和3，直到找不到增广路径为止。
匈牙利算法的实现步骤如下：
1.初始化一个长度与顶点数相同的数组，用于记录每个顶点所在的连通分
量。
2.遍历所有边，对于每条边，如果两个顶点不在同一连通分量，则将它们合并到同一个连通分量中。
3.遍历所有顶点，如果一个顶点所在的连通分量只有一个顶点，则将其标记为已匹配。
4.重复步骤3，直到找不到未匹配顶点为止。
匈牙利算法的优缺点分析：
优点：
1.匈牙利算法的时间复杂度为O(nm)，其中n和m分别为顶点数和边数。
2.匈牙利算法可以保证找到最大匹配。
缺点：
1.匈牙利算法需要额外的存储空间来记录顶点所在的连通分量。
2.匈牙利算法不能保证找到最优解，因为可能存在多个最大匹配。
匈牙利解法
匈牙利解法1. 什么是匈牙利解法匈牙利解法，又被称为马尔科夫链匈牙利算法，是一种用于求解带权二部图最优的数学算法，该算法是Hungarianmathematician D.Kőnig在1930年发表的，是组合优化领域里最著名的算法之一，引起了众多数学家重视。
2. 匈牙利解法的基本概念简单地说，匈牙利解法可以把求解最优匹配的问题转换成一个线性规划问题，根据求出的最优值，可以得出最大权重的匹配方案。
匈牙利解法的核心思想是将人和工作、机器和工序之间的捆绑情况视为一个矩阵，根据权重进行分析。
解决矩阵匹配问题的方法就是在较小的花销下找出一个最优的权重，并使用这个最优的权重来进行匹配，从而实现满足要求的任务。
3. 匈牙利解法的主要步骤（1）确定矩阵尺寸：根据需要建立一个矩阵，由需要匹配的两组元素来构成，将矩阵中的每一元素都赋有相应的能力值，并确定矩阵的尺寸。
（2）确定最小权重：对矩阵的每一行，求出其中的最小值，并从该行中减去它；同样的，求出每一列的最小值，并从该列中减去它。
（3）求出最小权重：经过上述操作后，得出的矩阵里的元素，就是权重的最小值。
（4）得出最优结果：根据得到的最小权重值，来构建一个二部图，即使用一列最小值来匹配另一列，使得总权重最小。
4. 应用匈牙利解法可以用来解决很多实际上的问题，例如以最少花费排派最多的人，把人和机器配对，最终得到一个最优的解决方案；可以用来测定一篇文章中两个语料库之间的最大重合度，以及字频排序等。
匈牙利解法也可以用于最小距离网络流等问题，所以它是一种十分灵活且有效的数学计算算法。
管理运筹学 易错判断题整理
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
第一章：线性规划及单纯形法
2.1单纯形法和两阶段法大M法 主要内容
1 线性规划数学模型的结构及各要素的特征。 2 求解线性规划时可能出现哪几种结果。 3 叙述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解 的概念及上述解之间的关系。
4 单纯性法的计算步骤，如何在单纯性表中判别问题是具 有唯一最优解、无穷多最优解、无界解。
√ 4 动态规划的基本方程保证各阶段内决策的独立进行，可以不考虑这之前和之后 决策的如何进行。
√
第六章：网络规划
主要内容：
6.1 1 通常用G=（v,e）表示一个图，试描述符号V,E及表达式的含义。 2 解释下列名词，说明区别。1 端点，相邻，关联边， 2 环，多重边，简单图 3链，初等链 4. 圈，初等圈，简单圈。 5.回路，初等路6.节点的次，悬挂点，悬挂边，孤立点 7. 连通图，连通分图 ，支撑子图8. 有向图，基础图，赋权图 3 描述树，图的支撑树，最小支撑树的概念。 4 描述Dijkstra算法的基本思想和步骤。 5 最大流问题是线性规划问题，说明其线性形式。 6 什么是增光链，为什么不存在关于可行流f的增广链，就是最大流。 7截集，截量以及最大流最小截量定理。 8 最小费用最大流的概念。
整数规划解法-匈牙利 算法部分
max Z=CX
maxZ=CX (B) AX=b X 0
AX=b
(A) X 0
X为整数 (B)为(A)的松弛问题。
3
（2）替代问题的求解 max Z=CX
(B)
AX=b X 0
采用相应的方法（如图解法）求解出替代问题的 最优解，观察其是否满足整数解的要求。如其最 优解就为整数，则结束；如含有分数，则需要进 行分支定界操作。
实际含义：从事情的角度来考虑，表示此事分配给此人效率最高。
24
min
步骤二：继续产生零元素 方法：再找出矩阵每列的最小元素，再分 别从各列中减去它。
0 8 7 5 0 8 11 0 10 4 11 0 2 3 5 0 2 3 0 11 9 5 0 11
31
问
题
2 5 (0) 8 11 (0) 5 4 2 3 (0) 0 0 11 4 5
只能对三个零元素进行标定（代表独立的零 元素只有三个），后续如何操作？
32
非直观法-步骤3（第一种情形）
(3) 重复(1)、(2)两个步骤，可能出现三种 情况： ① 效率矩阵每行都有一个打( )号的零元 素，很显然，按上述步骤得到的打( )号 的零元素都位于不同行不同列，只要令 对应打( )号零元素对应的决策变量xij=1 就找到了问题的最优解；
人
从人的 角度看 从任务 角度看
工作 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文
甲 2 15 13 4
乙 10 4 14 15
丙 9 14 16 13
丁 7 8 11 9
12
指派问题的一般模型
假设： [aij]表示指派问题的效率矩阵 xij表示决策变量，决策变量的取值：
线性规划和匈牙利法.doc
一、线性规划l 线性规划的含义和数学模型的建立线性规划(Linear Programming)就是在一定的约束条件下，寻求某一个目标函数的最大值或最小值，以求取最优方案的一种规划方法。
在生产管理中运用线性规划时，首先要把所要解决的实际问题．如投资问题、计划安排问题、下料问题、运输问题、库存问题等，经过归纳和整理，建立数学模型，然后用相应的方法求出模型的最优解。
线性规划模型由两部分组成：目标函数和约束条件。
建立模型的步骤是：首先明确目标函数，即确定该生产问题所追求的目标，如利润、产量、成本等，和它所对应的决策变量，建立以决策变量表示的线性函数式。
当追求的目标是经济效果时，在函数式前冠以max ，这就是极大化问题；当追求的目标是资源消耗时，在函数式前冠以min ，这就是极小化问题。
其次建立为实现目标函数所需满足的各种约束条件，如设备、原材料、劳动力、能源的使用限制等，并以线性等式或不等式表示。
现举例说明线性规划模型的建立。
例 经市场调查研究，某工厂决定生产A 、B 两种产品，它们的生产条件、经济指标如表3-1所示，求工厂取得最大利润的生产方案。
解：设该工厂生产A 、B 两种产品的计划产量分别为x 1、x 2件，它们必须满足约束条件：钢材的限制情况30021≤+x x ；人力的限制情况400221≤+x x ；预测市场销售限制情况2502≤x ；x 1和x 2必须为非负。
其目标函数式可表达为：max z=50x 1+100x 2。
经整理上述的线性规划问题可建立如下的数学模型目标函数 max z=50x 1+100x 2约束条件0,25040030021221212≥≤≤+≤+x x xx x x x 2.线性规划的图解法对于一个仅含两个决策变量的线性规划问题，可用图解法求出其最优解。
现仍用上侧介绍具体求法。
首先，在平面图形上建立以x 1为横轴、x 2为纵轴的直角坐标系，因为线性规划数学模型中要求所有变量为非负数，因此只有在直角坐标系的第一象限的坐标点才有实际意义。
线性规划与计算复杂性简介
在一般n维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些困难。在图8.1中顶点可以看成为边界直线的交点，但这一几何概念的推广在一般n维空间中的几何意义并不十分直观。
定义8.1 称n 维空间中的区域R为一凸集，若x1 , x2 ∈ R及 λ∈(0, 1)，有λ x1 +（1－λ）x2 ∈ R。
例1的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2台乙机床时总利润最大，则 x1 、x2应满足
例8.2 min S.t i=1,…,m xj≥0,j=1,…,n
线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有非负要求（称这样的变量为自由变量）。为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标准形式为
（1）可行域R可能会出现多种情况。R可能是空集也可能是非空集合，当R非空时，它必定是若干个半平面的交集（ 除非遇到空间维数的退化）。R既可能是有界区域，也可能是无界区域。（2）在R非空时，线性规划既可以存在有限最优解，也可以不存在有限最优解（其目标函数值无界）。（3）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域R的“顶点”。
在线性规划的求解中，下列定理起了关键性的作用。在这里，我们不加证明地引入这些定理。。
定理8.1 （基本可行解与极点的等价定理） 设A为一个秩为m的m×n矩阵（n>m）b为m维列向量，记R为（8.3）的可行域。则x为R的极点的充分必要条件为 x 是 的基本可行解。 定理8.1既提供了求可行域R的极点的代数方法，又指明了线性规划可行域R的极点至多只有有限个.
设B为一非退化的可行基，x=（B-1b，0）为其对应的基本可行解。现在，我们先来讨论如何判别x0是否为最优解。为此，考察任一可行解 。由Ax=b可得（8.5）代入目标函数，得到
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二、生产任务分配的匈牙利法
在实际的生产管理工作中，常会遇到这样的问题，就是如何根据生产作业汁划将不同任务在不同的工人(或班组)之间分配，使完成任务总的消耗时间或费用最小。
解决这类问题的简便而有效的方法是匈牙利法，它是由匈牙利数学家D. Konig所提出。
例有4项任务A、B、C、D，分别由甲、乙、丙、丁4个人去完成，规定每人承担其中一项任务，不同的人完成同一任务所花时间(h)不同，见表3-3，求如何分配，使完成这4项任务的总时间最小。
匈牙利法求解此问题的步骤是：
1）按表3-3列出矩阵
2)将矩阵作行、列约简：首先进行行约简。
在矩阵的每一行中选取最小元素，
然后将该行的各元素都减去此数，得到如下新矩阵
行约简是比较一名工人担任不同任务时所花的时间，各行中减去最小值后的时间表示该工人担任其它任务时，所多花费的时间，每行中的“0”表示该工人承担这项任务最有利。
然后将经过行约筒后的矩阵中没有“0”的列再进行约简，即从该列中选出最小元素，并将其它元素减去此数，得到新矩阵
列约简是比较一项任务有不同工人承担所托时间，各列中减去最小值后的时间表示任务由其他工人担任时，所多花费的时间，每列中的“0”表示这项任务由该工人承担最有利。
3) 检验是否已得最优分配方案；作零的覆盖线，即对有“0”的行和列，划上一条覆盖线，能覆盖所有零元素的最少覆盖线数称为维数，当覆盖线的维数等于矩阵阶数时，可知已得最优分配方案，若维数小于阶数，再作调整。
本例可用三条覆盖线覆盖住所有零元素，维数是3，矩阵的阶数是4，维数不等于阶数，因此矩阵还必须调整。
4) 矩阵的调整。
在上述矩阵中．有三种元素，一种是无线覆盖元素，另一种是单线覆盖元素，还有一种是双线覆盖元素。
在无线覆荒元素中找出最小值，本例为“1”，将无线覆盖得元素都减去“1”，而双线覆盖的元素加上“1”，单线覆盖的元素不变。
这样得到新矩阵
5) 再检验——作覆盖线，方法与步骤3相同。
现在的最少覆盖线数为4，与矩阵阶数相等，可知已能进行最优分配。
6) 确定最优分配方案。
进行具体分配时，可以对只有一个零元素的列(行)先分配(记√号)，分配后，划去与该零元素同行(列)的其他零元素(记×号)这样依改做完各列(行)，得到分配结果。
如果矩阵能通过直接观察找到位于不同行不同列的零元素，那么就可以直接确定分配方案。
最优分配方案：甲——D，乙——B，丙——A，丁——C。
总消耗工时为：Z=7+5+4+5=21 (h)。