新人教A版(选修1-2)2.2《直接证明与间接证明》word教案

2．2直接证明与间接证明

教学目标：

（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；

（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；

（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；

（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力.

教学建议：

1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）

2．重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；

②综合性问题证明方法的选择．

（1）不等式证明的意义

不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析

①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．

②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．

由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．

③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.

④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．

（3）综合法证明不等式的分析

①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证

明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．

③综合法证明不等式的逻辑关系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析

①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．

有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．

②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．

③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）

④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.

（5）关于分析法与综合法关系

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论

已知.

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．

③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．

综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．

④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．

第一课时不等式的证明（比较法）

教学目标

1．掌握证明不等式的方法——比较法；

2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．

教学重点:比较法的意义和基本步骤.

教学难点:常见的变形技巧.

教学方法；启发引导法.

教学过程：

（－）导入新课

教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？

找学生回答问题．

（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差

值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．

目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

作差比较法

[问题] 求证

教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．

学生研究证明不等式，尝试完成问题．

［本问点评］

①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．

②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

③理论依据是：

④由，，知：要证明只需证

；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．

目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．

【例题示范，学会应用】

教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．

例1．求证

［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得

，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知

函数的最小值大干零，从而使问题获证．

证明：∵

＝