离散数学阶段性作业41

中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院

离散数学课程作业4（共 4 次作业）

学习层次：专科涉及章节：第5－6章

1．设N是所有自然数的集合，对下面每一种情况，判断*是否结合运算：

a.a*b=max(a,b);

b.a*b=min(a,2);

c.a*b=a+b+3;

d.a*b=a+2b

2．设是一个代数相系统，其中★是一个二元运算，证明对A中的任意a 和b，有a★b=a.

(a)证明★是可结合的运算。

(b)★是可交换的吗？

3. 设是一个半群，对于每一个a和b，若a≠b，有a*b≠b* a.

(a) 证明对A中的一切a,有

a*a == a.

(b) 证明对A中的一切a和b,有

a*b*a= a.

(c) 对A中的一切a、b和c,证明：

a*b*c= a *c

(提示:注意,条件等价于若a*b=b* a.有a=b.)

4. 设是一个半群，a是A中的一个元素,使得A中的任意x,A中就存在满足

下面条件的u和v:

a*u= v* a

证明A中存在单位元.

5. 设是一个半群,且e是一个左单位元,而且对A中的任意x,A中存在xˆ,使

得xˆ*x=e .

(a) 证明对A中的一切a、b和c, 如果a*b= a *c,则b=c

(b) 用证明e是单位元来证明是一个群.

6. 设G 是所有非零实数集合,且a*b=2

ab , 证明是一个阿贝尔群 7. 设是一个独异点 ,如果G a ∈∀,都有e a a =*.其中e 是单位元,证明是一个阿贝尔群.

8. 证明在一个独异点中所有左可逆元的集合形成一个子独异点。

9. 在整数集Z 上定义二元运算*,x *y=x+y-2, 求出单位元,对存在逆的元素，

求其逆元

10. 证明在一个可交换的独异点中所有的幂等元的集合构成独异点. 11. 设是一个群，定义G 的子集H 为

H={|,**}a x G a x x a ∀∈= 试问H 对于运算能否构成的子群。 〈H ，*〉是〈G ，*〉的子群

12．在整数集Z 上定义二元运算*,x *y=x+y-xy, 无单位元,

任意元素x ≠1,x 无逆元. 命题正确与否?

参考答案

1.解: a ). 可结合(a *b)*c =c max(a,b,c)= a *(b *c)

b ). 可结合(a *b)*

c =min(min( a,2),2)= min( a,2)= a *(b *c)

c). 可结合(a *b)*c=(a+b+3) *c =a+b+c+6= a *(b *c)

d). 不可结合因为(a *b)*c=(a+2b) *c =a+2b+2c

≠ a *(b *c)=a *(b+2c)=a+2b+4c

2．

证明: a ). 因为(a ★b)★c= a ★c=a =a ★(b ★c), 所以★是可结合的

b). 因为a ★b=a ≠ b ★a =b 所以★是不可交换的.

3.

a ). 证明: 因为 (a *a ) * a == a *( a *a ) 所以 a *a = a .

(b) 证明对A 中的一切a 和b,有

a *

b *a = a .

(c) 证明:因为 a *b * c = a *b *(c * a *c) = a *b *c *(a *c) ( 注意 a *b *a = a ; (c * a *c) =c)

a *

b * c=(a *

c *a) * b * c=( a *c )*a * b * c

所以 a *b *c *(a *c) =( a *c )*a * b * c, 即a *b *c= a *c

4. 证明: 因为取x=a 由已知 存在u a ,v a 使得 a *u a = v a* a

对于任意b ∈A ， 存在v b ∈A ，使得 v b* a=b (注意条件)

而 b *u a =( v b* a) * u a =v b* ( a * u a )= v b* a=b 即u a 是的右单位元,同理, v a 是的左单位元,而u a = u a*v a = v a 所以u a (= v a ) 是的单位元.

5. 证明: a ) b=e *b =a

ˆ*(a *b)= a ˆ*(a *c)= (a ˆ*a)*c=e *c=c b) 任意y ∈A y

ˆ*(y *e)= (y ˆ*y)*e=e *e=e=y ˆ*y 说明了 y *e= y, e 是右单位元e 是单位元,所以是一个群.

6. 证明 1).由乘法的结合律知*有结合律;

2). 由乘法在R 上封闭知*封闭;

3). 由乘法的交换律知*有交换律;

4).单位元e=2,任意元素a,a -1=4/a. 所以是阿贝尔群.

7.

证明:可结合,有单位元, a -1=a, 只证可交换:

因为 a*b= a -1* b -1=( b * a) –1= b * a 可交换,所以是阿贝尔群.

8. 证明 设H 是独异点中所有左可逆元的集合，e 是的单位元。因

为e*e=e ，所以e 是左可逆元，故e ∈H 且H 非空。设a,b ∈H ，则必存在元素1l a - ， 1l b -∈S ，使得 1l a -* a = e , 1l b - * b = e ,