数学思想方法三：分类讨论思想课件
思想方法 第3讲 分类讨论思想
思想方法第3讲分类讨论思想 思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P (0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则当|AB |＝23时，直线l 的方程为( )A ．x ＝0B ．15x －8y －8＝0C ．3x －4y ＋4＝0或x ＝0D ．3x ＋4y －4＝0或x ＝0________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则下列选项不正确的是( )A ．{a 2n －1}是等比数列B.∑i ＝15(a 2i －1＋2)＝－10C ．{a 2n }是等比数列D.∑i ＝110a i ＝52________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n 需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二 由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究． 例2设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (x )[f (x )]2＋a的最大值为25，则正实数a ＝________.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．。
中考数学专题复习课件：数学思想方法ppt 通用
此时C(0，2)或C(0，-2). 如图，②当点C位于x轴上时，设C(a，0).
则|- -a|+|a- |=6，即2a=6或-2a=6，
解得a=3或a=-3，
5
5
此时C(-3，0)或C(3，0).
综上所述，点C的坐标是(0，2),(0，-2),(-3，0),(3，0). 答案：(0,2)(0，-2)(-3,0)(3,0)
【解析】(1)当x=0时,
3-1的偶数次方等于1， (2)当x≠0时,只有1x=1和
所以
(
0 =(-2) =1成立. x x
2)
x ①当 -2=1 时,解得x=27. 3 x 此时( -2)x=127=1成立, 3 x 3
-2=±1.
②当 x-2=-1时ຫໍສະໝຸດ 解得x=3.3x 3 此时( -2) =(-1) =-1≠1,不成立. x
专题一 数学思想方法
考点 一
分类讨论思想 分类讨论思想常见的五种类型
1.二次根式中的分类讨论思想:对于二次根式
的化简,往
往需要对字母的取值情况进行分类讨论.当a≥0时, 当a<0时,
2
a2
=a;
=-a.
a2
a 2.方程中的分类讨论思想 :若含有字母系数的方程有实数根
时,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论.
3.三角形问题中的分类讨论思想:在直角三角形中,如果没有 指明哪条边是直角边、斜边,这需要分类讨论;在等腰三角形 中,无论边还是顶角与底角不确定或底边与腰不确定的情况下 , 都需要分类讨论;与三角形的高有关的问题,有时要分钝角三 角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决. 4.相似三角形中的分类讨论思想:如果题目中出现两个三角形
高三数学专题三 分类整合的思想方法课件
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4.直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的 单位向量.在直角三角形ABC中，若 AB =2i+j, AC =3i+kj，则 k的可能值个数是 A.1 B.2 ( ) C.3 D.4
［解析］ ∵ AB =(2,1), AC =(3,k)，则 BC ＝(1,k－1).
若 AB AC , 则AB· AC 0, 即有6＋k＝0,即k＝－6；
第一部分 常用数学思想方法 专题三 分类整合的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（5） 规律总结 ……………………………………………（17）
专题概览
在研究与解答某些数学问题时，数学对象的本质属性存
在相同点与不同点，或研究问题时出发点的原因，情况进行讨论 .有关几何问题
中，由于几何元素的形状、位置关系不确定常常需要讨论. ［答案］ B
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5. 设集合 I={1,2,3,4,5}, 选择 I 的两个非空子集 A 和 B ， 要使B中最小的数大于 A中最大的数，则不同的选择方法 共有 ( )
A. 50种
应对数函数的单调性有影响，因此，应就a的不同取值进行
分类求解. ［答案］ C 返回目录
模拟训练
3.求和Sn =a+a2+…+an= .
［解析］ 当a=0时，Sn=0;当a≠0时，为等比数列求和.
a(1 a n ) ①若a≠1，则由求和公式得 S n ； 1 a
a(1 a n ) (a 1), ②若a=1时，Sn=n.综合得 S n 1 a n (a 1).
时出现不定性，这样，对象就划分为不同的种类或多种情况， 不同种类或不同情况的解法又不完全相同，必然要对不同种
分类讨论思想转化与划归思想ppt课件
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数 运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单 调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
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归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和 －1－m1－m2，＋∞ 上 单 调 递 减 ， 在
分类讨论思想ppt课件演示文稿
1 cos 2 x 2 | sin x | 解析：f x cos x cos x 2 tan x, x [2k ,2k ) [2k ,2k ) 2 2 . 2 tan x, x [2k ,2k 3 ) [2k 3 ,2k 2 ) 2 2
2．引入分类讨论的主要原因
1由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、
直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；
2 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算
中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
3由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； 4 由图形的不确定引起的分类讨论； 5由参数的变化引起的分类讨论； 6 按实际问题的情况而分类讨论．
考点1 由数学概念引起的分类讨论
例1.设a为实数，函数f x 2x 2 x a x a .
1 若f 0 1，求a的取值范围； 2 求f x 的最小值．
分析：由f 0 1，知 a a 1，然后根据 绝对值的定义解此不等式可解得第 1 小题； 而第 2 小题利用绝对值的定义化函数为分 段函数，然后分别求其最值．
【思维启迪】由数学运算性质类型、公式和定理、 法则有范围或者条件限制，或者是分类给出 的，在解答中注意分类讨论思想的应用．本题 Sn 中利用an Sn S n1 n 1与n 2讨论． n 1 n 2 求出an 就须分
分析：分两类n 1与n 2进行解答，但须注
解析：当n 2时，an Sn S n 1
2 2n 2n 2 n 1 2 n 1 4n， 所以an 4n(n 2，n N* )． 2
数学分类讨论思想与“零点分段法”(8班)精品PPT课件
③当 1＜m1 ＜e，即1e＜m＜1 时，
函数 f (x)在 (1，m1 )上单调递增，在(m1 ，e)上单调递减，
则 f (x) max＝f (m1 )＝－lnm－1．…………………………7 分1，e)， f ′(x)＜0，函数 f (x)在(1，e)上单调递减，
即 3x2 3a 1 0 无解……………4 分
0 4 3(3a 1) 0
a 1 3
………………6 分
法 2： f / (x) 3x2 3a 3a ，……………4 分
要使直线 x y m 0 对任意的 mR 都不是曲线
y f (x) 的切线，当且仅当 1 3a 时成立，
（2）若直线 x y m 0 对任意的 m R 都不是曲线 y f (x)
的切线，求 a 的取值范围；
（3）设 g(x) | f (x) |, x [1,1]，求 g(x) 的最大值 F (a) 的
解析式． （惠州市 2013 届高三上学期期末）
解：（1）当a 1时, f ' (x) 3x2 3,令f ' (x) 0,得x 1或x 1……1 分 当 x (1,1) 时 ， f ' (x) 0,当x (,1] [1,) 时 ，
x a ex
…2 分
因为 x 0 为 f x 的极值点,
所以由 f 0 ae0 0 ,解得 a 0 ……………3 分
检验,当 a 0 时, f x xex ,当 x 0 时, f x 0 ,当 x 0
时, f x 0.
所以 x 0 为 f x 的极值点,故 a 0 .……………4 分
(Ⅱ) 当 a 0 时,不等式
f
x
x
1
1 2
x2
x
高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》
由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
专题八第3讲分类讨论思想
2015 届高三直升班第二轮复习专题八数学思想方法第 3 讲分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．行分类与整合，分类标准等对问题实于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型（1）由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．（6）由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则（1）不重不漏．（2）标准要统一，层次要分明．（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤（1）确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．（2）对所讨论的对象进行合理的分类．（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．（4）归纳总结，将各类情况总结归纳.热点分类突破解析高考aw. 2.\-i I- J 百 t F t —J t V W F,IV. fF ■ H / V2 -3 -2 —k/I^\1 I 2 3 %—.\S 3 = 3a i = 2，显然成立; a 1q 2= a3 = I ， 当q^l 时，由题意，得3驾亠=S 3= 2.1 — q 2r 2 3a 1q = 2， 所以a 1(1 + q + q 2)= Q,热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 【例11 (1) (2014浙江) 设函数 f (x )= , +2X ，X <0， 若 f (f (a )) W2—x 2, x >0 则实数a 的取值范围是 (2) 在等比数列｛a n ｝中, 3 Q 「已知 a 3 = ^，S 3=Q ，贝V a i = 答案 (1)解析(1) f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a )) W2时，得f (a )2, 而满足 f (a )由①②，得卡=3, 22q — q — 1 =0,(2)当 q = 1 时,3 2,1所以q =—㊁或q = 1 （舍去）.当 q = — 2时，a i = q^2= 6.综上可知，a i = |或 ^1= 6.2 q 1思维升华（1）由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；（| ）运算引起的分类讨论有很多， 如除法运算中除数不为零， 偶次方根为非负，对数运算中真数与底数 的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等. Iog 2（x + 1）, x>3,i x —3+1, xp 满足（（a ）=3'则（-5）的值为（） 17 3 A. Iog i 3B.^6C.| D . 1（2 ）已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = p n — 1 （ p 是常数），则数列｛a n ｝是f ） A .等差数列 B .等比数列C .等差数列或等比数列D .以上都不对 答案 （1） C （2） D所以 f （a — 5）= 22—3 + 1= 2,故选 C.（2）T S n = p n — 1,a1 = p— 1, a n = S n — S n -1 =（ P — 1） p 1（n》2）,当p^l 且pMO 时，｛a n ｝是等比数列； 当p = 1时，｛a n ｝是等差数列； 当p= 0时，a1=— 1, a n = 0 （n 》2,此时｛ an ｝既不是等差数列也不是等比数列. 热点二 由图形位置或形状引起的讨论x —y +3>Q【例2】（1）不等式组"x + y >0表示的平面区域内有 __________ 个整点（把横、纵坐标都是伙<2整数的点称为整点）.（2）设圆锥曲线T 的两个焦点分别为 F 1, F 2,若曲线T 上存在点P 满足IPFf : IF 1F 2I ： |PF 2| = 4 : 3 : 2,则曲线T 的离心率为 __________________ .立£汨班1（1）已知函数f （x ）= 解析 （1）分两种情况分析, a <32a —3+ 1 = 3a>3 ①或者cIog 2（a + 1）②，①无解，由②得, a = 7,1 3答案 (1) 20 (2)㊁或3解析（1）画出不等式组表示的平面区域（如图）结合图中的可行域可知3x € [ - 3, 2], y€ [ —2,5].由图形及不等式组，知—x* + 3,1 3 口—2^x<2 且x € Z.当x=—1时，1今W2有2个整点；当x= 0时，Owy wj有4个整点；当x= 1时，一1今W4有6个整点；当x= 2时，一2<y<5有8个整点；所以平面区域内的整点共有 2 + 4+ 6+ 8= 20 （个）.（2）不妨设|PFf = 4t, |F1F2| = 3t, |PF2= 2t ,若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|+ |PF2= 6t = 2a , |F1F2|= 3t = 2c, e=詈=營=6 =；；若该圆锥曲线是双曲线，则有門|—|PF2= 2t = 2a,_ _ c 2c 3t 3|F1F2|= 3t=2c，e= a=易=3 = 2所以圆锥曲线T的离心率为1或3.思维升华求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.x>0变式讹练富（1）已知变量x, y满足的不等式组b>2x, 表示的是一个直角三角形围成kx—y + 1 >0的平面区域，则实数k等于（）1 1A . —2 B.2C. 0D. —2 或02 2(2)设F 1, F 2为椭圆扌+才=1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知 P , F 1, F 2是 形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|,则韜的值为1由图形可知斜率k 的值为0或一］(2)若/ PF 2F 1= 90°则 |PF 『=|PF 2|2+ IF 1F 2I 2, •「IPF 1I + |PF 2|= 6, |F 1F 2|= 2 .5, 解得|PF1| =茅1PF 2|= = 若/ F 2PF 1= 90°,则 |F 1F 2|2=|PF 『+ |PF 2|2 = |PF 『+( 6 — |PF 1|) 2, 解得 |PF j | = 4, |PF 2|= 2, •••制=2.综上所述，黑十2或F热点三 由参数引起的分类讨论 【例3】(2014四川改编)已知函数 f (x )= e x — ax 2— bx — 1，其中a , b € R , e = 2.718 28…为自 然对数的底数.设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数 g (x )在区间［0,1］上的最小值. 解 由 f (x )= e x — ax 2— bx — 1, 有 g (x )= f' (x )= e x — 2ax — b. 所以 g ' (x )= e x — 2a.因此，当 x € ［0,1］时，g'( x )€ ［1 — 2a , e — 2a ］.个直角三角答案(1)D ( 2) 2 或7解析(1) x >0不等式组丿y 》2,ikx — y + 1 >0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式x >0 组』y >2,ikx — y + 1 >0表示的平面区域是直角三角形, 只有直线y = kx + 1与直线x = 0垂直(如图①)或直线y = kx + 1与直线y = 2x 垂直(如图②)1当a毫时,g ( x) >0所以g (x)在［0,1］上单调递增，因此g (x)在［0,1］上的最小值是g (0)= 1 —b;当a誇时，g(x) WQ所以g (x)在［0,1］上单调递减，因此g (x)在［0,1］上的最小值是g (1)= e—2a —b;1 e当2<a<2时，令g (x)= 0 得x= In (2a)€( 0,1),所以函数g (x)在区间［0, In (2a)］上单调递减，在区间(In (2a), 1］上单调递增.于是，g (x)在［0,1］上的最小值是g (In (2a)) = 2a —2aln (2a) —b.综上所述，当a冷时，g (x)在［0,1］上的最小值是g (0)= 1 —b ；当1<a<|时，g (X)在［0,1］上的最小值是g (In (2a)) = 2a —2aln (2a) —b;当a>2时，g (x)在［0,1］上的最小值是g (1)= e— 2a —b.思维升华一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏.嫌3已知函数g (x)= -ax~ (a € R), f (x)= In (x+ 1)+ g (x).x I 1(1)若函数g (x)过点(1,1)，求函数f (x)的图象在x= 0处的切线方程；(2 )判断函数f (x)的单调性.a2x 解 (1)因为函数g (x)过点(1,1),所以1=—-，解得a= 2,所以f (x) = In (x+ 1) + -1 + 1 x + 11 2 x + 3由f'(x )=不+冇，则f '(0) = 3,所以所求的切线的斜率为3•又f (0)=0, 所以切点为(0,0),故所求的切线方程为 y = 3x.ax因为 f (x )= ln ( X + 1)+石(x > — 1 )，L /、 1 a(x + 1) — ax x + 1 + a f (X )^ + 2 2x +1 (x +1) (x +1) ■a >0时，因为 x> — 1，所以 f' (x ) >0, 故f (x )在(—1,+〜上单调递增.f(x)<°，得-1<x<— 1 — a ,x> — 1 ,故f (x )在(—1，— 1 — a )上单调递减;T 得 x>— 1 — a ,x> — 1,故f (x )在(—1 — a ,+〜上单调递增.综上，当时，函数f (x )在(—1,+~ 上单调递增;当a<0时，函数f (x )在(一1, — 1 — a ) 上单调递减, 在(—1 — a ,+ x)上单调递增.I 本讲规律总结I -----------------------------分类讨论思想的本质是 化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程： 明确讨论的对象和动机 T 确定分类的标准 T 逐类进行讨论 T 归纳综合结论 T 检验分类是否完备 (即分类对象彼此交集为空集，并集为全集) .做到 确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有：(1 )集合：注意集合中空集 ？的讨论. (2)函数：对数函数或指数函数中的底数 a , 一般应分a>1和0<a<1的讨论；函数y = ax 2 + bx+ c 有时候分a = 0和aK 的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3) 数列：由S n 求a n 分n = 1和n>1的讨论；等比数列中分公比 q = 1和q^l 的讨论. (4 )三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5) 不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6) 立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(2) 所以 ①当②当a<0时，由(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分 b = 0和b工0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题.(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.真题与押题备岐高務【真题感悟】11.(2014课标全国n)钝角三角形ABC的面积是2，AB= 1 , BC= 2，则AC等于( )A . 5 B. 5C. 2D. 1答案B解析•/ &ABC= ^AB BC sin B=1 X1 >42sin B = 2，/• sin B n-1"2,.，. B=n或3n2 4 4 .当B= 争寸，根据余弦定理有AC2= AB2+ BC2—2AB BC cos B = 1 + 2+ 2 = 5，所以AC= .5，此时厶ABC为钝角三角形，符合题意；当B= 41时，根据余弦定理有AC2= AB2+ BC2—2AB BC cos B = 1 + 2 —2= 1,所以AC = 1,此时AB2+ AC2= BC2,^ ABC为直角三角形，不符合题意.故AC= .5.2.(2013安徽)a w 0是函数f (x)= | (ax—1) x|在区间(0,+〜内单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件答案C解析当a= 0时，f (x)= | ( ax—1) x|= |x|在区间(0,+〜上单调递增；当a<0时，结合函数f (x)= | (ax—1) x|= |ax2—x|的图象知函数在(0,+ *)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f (x)= | (ax—1) x| = |ax2—x|的图象知函数在(0,+ ^)上先增后减再增,不符合条件，如图（2）所示.所以，要使函数f （x ）= | （ax — 1） %在（0,+〜上单调递增只需 即a < 0是 函数f （x ）= | （ax — 1） x|在区间（0,+x ）内单调递增 3. (2014 广东)设集合 A = { (X 1, X 2, X 3, x 4, X 5)|X i € { — 1,0,1},满足条件“1爲|+ |X 21+ |X 3| + |X 41+ |X 5| <的元素个数为(B. 90C. 120 答案 D解析 在x 1, x 2, x 3, x 4, x 5这五个数中，因为 x i € ｛ — 1,0,1｝ , i = 1,2,3,4,5，所以满足条件1<|| + |X 2|+|X 3|+ |X 4|+ |X 5| W 的可能情况有 ①一个1 （或—1）,四个0，有C?X2种；②两个1 （或—1 ）, 三个0,有C ：X2种；③一个—1, 两个0,有C 2C !X 2种；⑤三个1X2+ C 3 >2 = 130 （种），故选 D.【押题精练】A . (0,+ x) C . [ —1,0) 答案 C解析 若a = 0,则f （x ）在定义域的两个区间内都是常函数， 不具备单调性；若a>0,函数f （x ） 在两段上都是单调递增的，要使函数在 R 上单调递增，只要（a + 2） e °wi, 即卩a 匚1,与a>0矛、1D . — 1 或 2答案当公比q = 1时，a 1= a 2= a 3=乙S 3= 3a 1 = 21,符合要求.当qzi 时，a 1q2= 7，叫—心=21,解之得，q=-殳或q= 1（舍去）.综上可知，q= 1或—；”的充要条件.i = 123,4,5｝，那么集合 A 中D . 130一个1，三个0,有A 5种；④两个1 （或—1）, 一个—1（或1）, （或一1）,两个0,有C 3疋种.故共有 7x2+ &疋+ A 5+ && 1 .已知函数f （ x ）=ax 2 + 1,axKa + 2)ex<0 x >0 为R 上的单调函数，贝U 实数a 的取值范围是（B . [ — 2,0) D . [ — 1 ,+ x)盾，此时无解.若— 2<a<0, 则函数在定义域的两段上都是单调递减的.要使函数在 R 上单调递减，只要a + 2》1即 即一1<a<0.当a <— 2时，函数f （x ）不可能在 R 上单调 综上，a 的取值范围是［—1,0）.等比数列｛a n ｝中, a 3= 7, 前3项之和S 3= 21,则公比q 的值是（）或-1 2解析3 •抛物线y2= 4px ( p>0 )的焦点为F, P为其上的一点，0为坐标原点，若△ OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为( )A • 2B • 3C • 4D • 6答案C解析当|PO|=|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|0P|= |0F| 时，点P的位置也有两个；对|F0|= |FP|的情形，点P不存在.事实上，F ( p,0),若设P ( x, y), 则|F0 |= p, |FP|= (x—p)2+ y2,若(x—p)2+ y2= p，则有x2—2px+ y2= 0,又■/y2= 4px,「. x2 + 2px= 0，解得x= 0或x=—2p,当x= 0时，不构成三角形.当x=—2p (p>0)时，与点P在抛物线上矛盾•所以符合要求的点P一共有4个.4 • 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品•已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A • 1 或3B • 1 或4C • 2 或3D • 2 或4答案D解析设6位同学分别用a, b, c, d, e, f表示.若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1 )由3人构成的2次交换，如a —b和a —c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b, c两人.(2)由4人构成的2次交换，如a —b和c—e之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a, b, c, e四人.故选D.5. 已知等差数列｛a n｝的前3项和为6，前8项和为一4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)设b n=( 4—a n) q n 1(q MQ n € N ),求数列｛b n｝的前n 项和S n.解(1)设数列｛a n｝的公差为d,3a〔+ 3d= 6, a1= 3,由已知，得f 解得壬8a〔+ 28d=—4, d =—1.故a n= 3—( n—1) = 4 —n.(2 )由(1)可得b n = n q n—S于是5= 1 q0+ 2 q1+ 3q2+…+ nq n—1.若q^l,将上式两边同乘q,得热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论qS n = 1 q 1 + 2 q 2 + …+( n — 1) q n 1 + n q n .两式相减，得(q — 1) S n = nq n — 1 — q 1 — q 2—…一q n 1，+ g 上单调递减.综上，当a >0时，f （乂）在（0,+〜 上单调递增; 当a <— 1时，f （乂）在（0,+ g ）上单调递减;当一1<a<0时，f （x ）在b ，p — ^+^ 上单调递增, a|+1,+ g 上单调递减.了X 2 + X , x<0,[例 1(1) (2014浙江)设函数f (x )=「 2 若f (f (a)) <2贝y 实数a 的取值范| — x , x ^0,围是 ________ .=nq — nq —1q — 1nq n +1— n + 1)q n + 1q —.nq n +1 — (n + 1)q n + 12(q — 1)q = 1，贝U S n = 1 + 2+ 3 +•••+ n =n(n + 1)2■综上，S n =n(n + 1)2 (q = 1),nq n+ — (n + 1)q n + 1(q r(q — 1)26 .已知函数f (x ) = ( a + 1) In x + ax 2 + 1,试讨论函数f (x )的单调性. 解 由题意知f (x )的定义域为(0 ,+g,2a + 1 2ax + a + 1f ' (x )= + 2ax =x①当a >0时，f' （x ） >0,故f （乂）在（0,+〜上单调递增. ②当a w — 1时，f ' （x ） <0,故f （乂）在（0,+〜 上单调递减. ③当一1<a<0时，令f ' （x ）= 0,解得x =a + 1 "2F ，则当x € g,a + 1 2a,f ' (x ) >0;故f (x )在0,—詈上单调递增,当x €2aa + 1，+ ,f'(x ) <0.在3 9(2)在等比数列｛a n｝中，已知a3 = 3，S3= 9贝V a i = _________ .]log2(x+1), x>3,(3)已知函数f (x)= 满足f(a)= 3,则f (a- 5)的值为( )+ 1, x<3A.log 2317B. 163C. 2D. 1执占一八、、八、、----- 由图形位置或形状引起的讨论1x—y + 3【例2】(1)不等式组x+ y>0表示的平面区域内有个整点(把横、纵坐标都是1x<2整数的点称为整点).(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F i, F2,若曲线T上存在点P满足|PF i| : |F i F2| ：|PF2| =4 : 3 : 2,则曲线T的离心率为(3 )已知变量x, y满足的不等式组x>0y》2, 表示的是kx—y + 1 >0个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于( )A. —1 B -1C. 0 D . —1或02 2(4 )设F i, F2为椭圆行+ y = 1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P, F i, F2是一个直角三角9 4形的三个顶点，且|PF i|>|PF2|,则吐1的值为____________ .|PF2|热点三由参数引起的分类讨论【例3 (2014四川改编)已知函数f(x)= e x- ax2—bx—1，其中a, b € R, e= 2.718 28…为自然对数的底数•设g (x)是函数f (x)的导函数，求函数g (x)在区间［0,1］上的最小值.(2 )已知函数g ( x)= (a€ R), f (x)= In (x+ 1)+ g (x) •x+ 1(1)若函数g (x)过点(1,1),求函数f (x)的图象在x= 0处的切线方程;(2 )判断函数f (x)的单调性.11.(2014课标全国n)钝角三角形 ABC 的面积是2， AB = 1 , BC = 2，则AC 等于()A. 5B . ,'5C . 2D . 12.(2013安徽)a w 0是函数f (x )= | (ax — 1) x|在区间(0,+〜内单调递增”的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3. (2014 广东)设集合 A =｛ (X 1, X 2, X 3, X 4, X 5) |X i € ｛ — 1,0,1｝, i =1,2,3,4,5｝，那么集合A 中满足条件"1W 1|+ |X 21+ |X 3| + |X 41+ |X 5| w 的元素个数为()形，则这样的点 P 的个数为(4 . 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 6位同学之间共进行了 13次交换，则收到4份纪念品的同学 人数为( )A . 1 或 3B . 1 或 4C . 2 或 3D . 2 或 45 .已知等差数列｛a n ｝的前3项和为6，前8项和为一4. (1 )求数列｛a n ｝的通项公式； (2)设 b n =( 4— a n ) q n 1(q MQ n € N ),求数列｛b n ｝的前 n 项和 S n .6. 已知函数f (x ) = ( a + 1) ln x + ax 2 + 1,试讨论函数f (x )的单调性.A . 60B . 90C . 120D . 130已知函数 f ( X )=ax 2 +1,z — ax(a + 2)ex<0X >0,为R 上的单调函数，贝U 实数a 的取值范围是()B. [ — 2,0)C. [ — 1,0) 等比数列 {a n }中, a 3= 7,前3项之和S 3= 21,则公比的值是(2抛物线y = 4px(p>0 )的焦点为 P 为其上的一点, O 为坐标原点，若△ OPF 为等腰三角。
专题 解题有魂——领悟贯通4大数学思想 2023高考数学二轮复习课件
|技法点拨| 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系， 得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．
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在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为
3 15，b－c＝2，cos A＝－14，则 a＝____8____．
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构造函数关系解决问题 在高考试题中，综合问题的比较大小、求最值等，一般均需利用构 造函数法才能完成．如何正确的构造出恰当的函数，是解决此类问题的 关键，因此充分挖掘原问题的条件与结论间的隐含关系，通过类比、联 想、抽象、概括等手段，构造出恰当的函数，在此基础上利用函数思想 和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．
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|技法点拨| 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为 主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解， 是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数 y＝x1＋ln x 的 单调性巧妙地求出实数 k 的取值范围．此法也叫主元法．
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已知函数 f(x)＝33xx－ ＋11＋x＋sin x，若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k) ＜0 成立，则实数 k 的取值范围是__(_－__1_，__＋__∞__)__． 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数． 又 f′(x)＝（2l3nx＋3·1）3x2＋1＋cos x＞0 在 x∈[－2，1]上恒成立，函数 f(x)在 x∈[－ 2，1]上单调递增．若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k)＜0 成立，则 f(x2＋x)＜－f(x－k)⇒f(x2＋x)＜f(k－x)⇒x2＋x＜k－x，故问题转化为存在 x∈[－2，1]，k＞x2＋2x，即 k＞(x2＋2x)min，当 x∈[－2，1]时，y＝x2＋2x＝ (x＋1)2－1 的最小值为－1.故实数 k 的取值范围是(－1，＋∞)．
高三数学课件：下学期_分类讨论思想方法(1.p
4 − x 2 ≥ −1 恒成立
由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2； ， ＞ ， ＜ ；
x 4 − x2 ≥ 1 (2)当x＜0时， =-1，原不等式等价于 当 ＜ 时 x ，
4-x2≥0
由
ห้องสมุดไป่ตู้4-x2≥1
得-√3≤x<0
x＜0 ＜ 所以原不等式的解集为{x｜ 所以原不等式的解集为 ｜-√3≤x＜0或0＜x≤2}．故应选 ＜ 或 ＜ ． (B)． ．
三.示范性题组
是首项为1，公比为q（ 例1．设数列 n}是首项为 ，公比为 （q>0）的等比数列， ．设数列{a 是首项为 ）的等比数列， sn + 1 求 lim Tn 其前n项和为 项和为S 其前 项和为 n, Tn = 解：（1）当q=1时，Sn=n, Sn+1=n+1, ：（ ） 时 n+1 ∴ lim Tn = lim n = 1 n→ ∞ n→ ∞ 1 − q n+1 （2）当q≠1时，lim Tn = lim 1 − q n ） 时 n→ ∞ n→ ∞ ①若0<q<1，lim Tn = 1 ， n→ ∞ 1 n ( ) −q q =q ② 若q>1, lim Tn = lim 1 n→ ∞ n→ ∞ ( )n − 1 q Tn = 1 0<q≤1 综上， 综上， lim n→ ∞ q q>1
①0<a<1时，0<f(x) 时 a ②-1<a<0时， 1 = a 时
a2 = 1 a2 + 1 ≤ a+ a − a2
2
+1
≤f(x)<0
又当x=0时，f(x)=0; ∴原函数的值域为： 时 原函数的值域为： 又当
初中数学---常用的思想方法PPT课件
5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再 进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧， 配方法在分解因式、解方程、讨论二次函某个或某些字母的式子作为 一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的 一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问 题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化 难为易的目的。
初中数学---常用的思想方法 PPT课件
1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的 内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数 量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合， 寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互 转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。 在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易， 化繁为简。 如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的 转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件 追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件 的成立还不显然；则再把它当作结论，进一步研究它成立 的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证 明。这种思维过程通常称为“执果寻因”
8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已 知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为 “由因导果”
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对 象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考 的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要 的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形 式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可 以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往 往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或 方程组就使问题得到解决。
第三讲分类讨论思想课件
1 1．“m＝2”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0 与直线(m －2)x＋(m＋2)y－3＝0 相互垂直”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1 解析 当 m＝2时，两条直线斜率的乘积为－1，从而可 得两条直线垂直；当 m＝－2 时，两条直线中一条直线的斜 率为 0，另一条直线的斜率不存在，但两条直线仍然垂直， 1 因此 m＝2是题目中给出的两条直线相互垂直的充分不必要 条件．
解析 若 p 真，则 0＜a＜1，若 p 假，则 a＞1，
若 q 真，因为函数 y＝|x－2a|＋x 在 R 上的最小值为 2a，
1 1 由 2a＞1，得 a＞2；若 q 假，则 0＜a≤2. 1 ①若 p 真 q 假， 0＜a≤2； 则 ②若 p 假 q 真， a＞1； 则 1 故 a 的取值范围是 0＜a≤2或 a＞1.
a，a如图(1)，
此时 a 可以取最大值，可知 AD＝ 3， SD＝ a2－1，则有 a2－1＜2＋ 3， 即 a2＜8＋4 3＝( 6＋ 2)2，
即有 a＜ 6＋ 2，又 2a＞2，∴1＜a＜ 6＋ 2；
图(1)
图(2)
(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，
如图(2)，此时a＞0且a＜4，即0＜a＜4.
2．分类讨论的常见类型： (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是 分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函 数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有 的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件 下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数 的单调性等． (3)由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数 不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求， 指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正 数、负数，三角函数的定义域等．
第二部分第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
内
容
索
引
01
一、分类讨论思想
02
二、转化化归思想
一、分类讨论思想
思想方法诠释
1.分类讨论的思想含义
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象
按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类
结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零
1- < 0,
由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1.
综上,可得q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的
单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,
或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5,
14
4
解得|PF1|= ,|PF2|= ,
3
3
所以
1
2
=
7
.
2
若∠F1PF2=90°,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以
1
2
综上知,
(1 + ) + (2 + ) = ,
(1 + )·(2 + ) =
1
.
2
1 + 2 = -,
1 ·2 =
1
分类讨论课件
第40课时 分类思想
3.如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点， 把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分 线上时，DE的长为 ．
第40课时 分类思想
• 真题演练•层层推进
基础题
1.（2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ A ） A、17 B、15 C、13 D、13或17 2.（2014佛山）把24个边长为1的小正方体木块拼成一个长方体(要全部用完)，则不同 的拼法(不考虑放置的位置，形状和大小一样的拼法即为相同的拼法)的种数是( B ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ C ） A ．5 B．6 C．11 D．16 4．(2014深圳)如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法 证明△ABC≌△DEF（ C ）
直线x=2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数思路分析式
为 .
第40课时 分类思想课时作业
三、解答题 11.一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，C为坐标轴上一点，且△ABC 为等腰三角形，求点C的坐标. 解：∵当x=0时，y=4 ，当y=0时，x=-4 ， ∴A(-4,0)，B(0,4) ， ∴AB= ， 要使△ABC是等腰三角形，还应分三种情况讨论： ①当AB=AC时，点C的坐标为(- -4,0)或( -4,0) ； ②当BA=BC时，点C的坐标为 (4,0)； ③当AC=BC时，点C的坐标为(0,0) ； 综上所述，点C坐标为(- -4,0)或( -4,0)或(4,0)或(0,0).
【解析】本题需分类讨论：对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯 一解，而一元二次方程根的情况由根的判别式确定