高中数学专题突破练习-数列中的典型题型与创新题型

高中数学专题突破练习-数列中的典型题型与创新题型

一、选择题

1．如果等差数列{a n}中,a3＋a4＋a5＝12,那么a1＋a2＋…＋a7等于( )

A．14 B．21 C．28 D．35

答案 C

解析∵a3＋a4＋a5＝12,∴3a4＝12,a4＝4．∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a

5

)＋a4＝7a4＝28．故选C．

2．在等比数列{a n}中,a1＝1,公比|q|≠1．若a m＝a1a2a3a4a5,则m等于( )

A．9 B．10 C．11 D．12

答案 C

解析a m＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝a23·

a2

3

·a3＝a53＝a51·q10．因为a1＝1,|q|≠1,

所以a m＝a51·q10＝a1q10,所以m＝11．故选C．

3．在递减等差数列{a n}中,若a1＋a5＝0,则S n取最大值时n等于( )

A．2 B．3 C．4 D．2或3

答案 D

解析∵a1＋a5＝2a3＝0,∴a3＝0．

∵d<0,∴{a n}的第一项和第二项为正值,从第四项开始为负值,故S n取最大值时n等于2或3．故选D．

4．在等差数列{a n}中,首项a1＝0,公差d≠0,若a k＝a10＋a11＋…＋a100,则k＝( )

A．496 B．469 C．4914 D．4915

答案 D

解析因为数列{a n}是等差数列,所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d,因为a k＝a10＋a11＋…＋

a 100,所以a k＝100a1＋

100×99

2

d－9a

1

＋

9×8

2

d＝4914d,又a

k

＝(k－1)d,所以(k－1)d＝4914d,所

以k＝4915．故选D．

5．已知数列{a n}的通项为a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的n叫做“优数”,则在(0,2018]内的所有“优数”的和为( )

A．1024 B．2012 C．2026 D．2036

答案 C

解析设a1·a2·a3·…·a n＝log23·log34·log45·…·log n＋1(n＋2)＝log2(n＋2)＝k,k∈Z,则0

＋…＋(210－2)＝22(1－29)

1－2

－18＝211－22＝2026．故选C．

6．约瑟夫规则:将1,2,3,…,n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上,然后从1开始,按逆时针方向,每隔一个数删除一个数,直至剩余一个数为止,删除的数依次为1,3,5,7,…．当n ＝65时,剩余的一个数为( )

A．1 B．2 C．4 D．8

答案 B

解析将1,2,3,…,65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上,然后从1开始,按逆时针方向,每隔一个数删除一个数,首先删除的数为1,3,5,7,…,65(删除33个,剩余32个)；然后循环,删除的数的个数分别为16,8,4,2,1,最后剩余2．故选B．

7．已知数列{a n}中,a n＋1＝3S n,则下列关于{a n}的说法正确的是( )

A．一定为等差数列

B．一定为等比数列

C．可能为等差数列,但不会为等比数列

D．可能为等比数列,但不会为等差数列

答案 C

解析若数列{a n}中所有的项都为0,则满足a n＋1＝3S n,所以数列{a n}可能为等差数列,故B,D不正确；由a n＋1＝3S n,得a n＋2＝3S n＋1,则a n＋2－a n＋1＝3(S n＋1－S n)＝3a n＋1,所以a n＋2＝4a n＋1,当

a 1≠0时,易知a n＋1≠0,所以

a

n＋2

a

n＋1

＝4,由a n＋1＝3S n,得a2＝3a1,即

a

2

a

1

＝3,此时数列{a n}既不是等比数

列又不是等差数列,故A不正确,C正确．故选C．

8．(江西南昌测试二)已知各项均为正数的递增数列{a n }的前n项和为S n满足2S n＝a n

＋1,b n＝

a

n

a

n

＋t

,若b1,b2,b m成等差数列,则

t

m

的最大值为( )

A．2

7

B．

3

5

C．

3

8

D．

5

4

答案 D

解析由题2S n＝a n＋1,则4S n＝(a n＋1)2,4S n＋1＝(a n＋1＋1)2,作差得a n＋1－a n＝2,2S1＝a1

＋1⇒a1＝1,a n＝2n－1,由b1,b2,b m成等差数列,可得b m＝2b2－b1,

2m－1

2m－1＋t

＝

6

3＋t

－

1

1＋t

,分离m

化简得m＝3＋

4

t－1

,故(t,m)＝(2,7),(3,5),(5,4),

t

m max

＝

5

4

．故选D．

9．(河南信阳高级中学模拟)给定函数y＝f(x)的图象在下列四个选项中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}满足a n＋1

答案 A

解析由题对于给定函数y＝f(x)的图象在下列四个选项中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}满足a n＋1

10．杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡(1623～1662)是在1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年．右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了,这又是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列前16项和为( )

A．120 B．163 C．164 D．165

答案 C

解析考查每行第二个数组成的数列:2,3,4,5,…,归纳推理可知其通项公式为b n＝n＋1,

其前8项和S8＝8×2＋8×7

2

×1＝44；每行第三个数组成的数列:1,3,6,10,…,归纳推理可知其

通项公式为c n＝n(n＋1)

2

＝

1

2

(n2＋n),其前8项和