【三维设计】2014届高考数学(理)总复习课件：第八章 第5讲 椭圆(共56张PPT)
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又ac＝ 23，∴c＝ 3， ∴b＝1，故椭圆方程为x42＋y2＝1.
1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑 用定义来解题．
2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m ＞0，n＞0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，且 A≠B)．
1．(2012·张家界模拟)椭圆x42＋y2＝1 的两个焦点为 F1，F2，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，
则|PF2|＝
()
7 A.2 C. 3
3 B. 2 D．4
解析：因为 a2＝4，b2＝1，所以 a＝2，b＝1，c＝ 3. 不妨设 F1 为左焦点，P 在 x 轴上方，则 F1(－ 3，0)，设 P(－ 3，m)(m＞0)，则－4 32＋m2＝1，解得 m＝12，所以 |PF1|＝12根据椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－ |PF1|＝22－12＝72. 答案: A
5－m≠m＋3，
解得－3＜m＜5 且 m≠1. 答案：C
3．(2012·淮南五校联才考)椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，
则 k 的值为
()
A．－21
B．21
C．－1295或 21
D.1295或 21
解析：若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k，
由ac＝45，即 53－k＝45，得 k＝－1295；
椭圆的几何性质
[例 2] (1)F1、F2 是椭圆x42＋y2＝1 的左右焦点，点 P
()
[自主解答] ∵椭圆的离心率为 23，
∴ac＝
a2－b2＝ a
23，∴a＝2b.
故椭圆方程为 x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x±y＝0，
∴渐近线 x±y＝0 与椭圆 x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为
2
5
5b，25
5b，
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积
A．4
B．8
()
C．6
D．18
解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
答案：C
2．(教材习题改编)方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆，则 m 的
范围是
()
A．(－3,5)
B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5)
D．(－5,1)∪(1,3)
5－m＞0， 解析：由方程表示椭圆知m＋3＞0，
5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且 满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率 为________．
解析：在三角形 PF1F2 中，由正弦定理得
sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，
设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝ 3，
所以离心率
图形
标准 方程
__xa_22＋__by_22_＝__1_(_a＞___b＞___0_)
范围
_|x_|_≤__a_；__|y_|≤__b__
_ya_22_＋__bx_22＝__1_(_a_＞__b_＞__0_)__ _|x_|_≤__b_；__|y_|≤__a__
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
焦距
|F1F2|＝ 2c (c2＝ a2－b2 )
离心率
e＝∈ (0,1) ，其中c＝__a_2_－__b_2 _
通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 2b2 a
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)设 P 是椭圆x42＋y92＝1 的点，若 F1，F2
是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于
为255b×2 55b＝4，∴b2＝5，即 a2＝4b2＝20.
故椭圆 C 的方程为2x02＋y52＝1. [答案] D
本例中条件“双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有 四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16” 变为“此椭圆的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径” 问题不变．
解：∵圆 x2＋y2－2x－15＝0， ∴(x－1)2＋y2＝16，∴r＝4，即 2a＝4，a＝2.
[知识能否忆起]
超链接
1．椭圆的定义 ［动漫演示更形象,见配套课件］
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(_大__于__ |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点， 两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的 焦距 ．
2．椭圆的标准方程及其几何性质
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
椭圆的定义及标准方程
[例 1] (2012·山东高考)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
的离心率为 23.双曲线 x2－y2＝1 的渐近线与椭圆 C 有四个 交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C
的方程为 A.x82＋y22＝1
C.1x62 ＋y42＝1
B.1x22 ＋y62＝1 D.2x02 ＋y52＝1
若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5，
由ac＝45，即 k4－＋5k＝45，解得 k＝21. 答案：C
4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若 其离心率为12，焦距为 8.则该椭圆的方程是________．
解析：∵2c＝8，∴c＝4，
∴e＝ac＝4a＝12，故 a＝8. 又∵b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的方程为6y42 ＋4x82＝1. 答案：6y42 ＋4x82＝1
e＝22ac＝
3 3.
答案：
3 3
1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内 的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨 迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离 之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．
2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位 置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．
对称性
曲线关于__x_轴__、 _y_轴__、__原__点__对称
曲线关于_x_轴__、__ _y_轴__、__原__点__对称
顶点
长轴顶点_(_±__a_,0_) 短轴顶点_(_0_，__±__b)
长轴顶点_(_0_，__±__a) 短轴顶点__(±__b_,_0)
焦点
(_±__c_,0_)_
(_0_，__±__c_)
1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑 用定义来解题．
2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m ＞0，n＞0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，且 A≠B)．
1．(2012·张家界模拟)椭圆x42＋y2＝1 的两个焦点为 F1，F2，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，
则|PF2|＝
()
7 A.2 C. 3
3 B. 2 D．4
解析：因为 a2＝4，b2＝1，所以 a＝2，b＝1，c＝ 3. 不妨设 F1 为左焦点，P 在 x 轴上方，则 F1(－ 3，0)，设 P(－ 3，m)(m＞0)，则－4 32＋m2＝1，解得 m＝12，所以 |PF1|＝12根据椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－ |PF1|＝22－12＝72. 答案: A
5－m≠m＋3，
解得－3＜m＜5 且 m≠1. 答案：C
3．(2012·淮南五校联才考)椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，
则 k 的值为
()
A．－21
B．21
C．－1295或 21
D.1295或 21
解析：若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k，
由ac＝45，即 53－k＝45，得 k＝－1295；
椭圆的几何性质
[例 2] (1)F1、F2 是椭圆x42＋y2＝1 的左右焦点，点 P
()
[自主解答] ∵椭圆的离心率为 23，
∴ac＝
a2－b2＝ a
23，∴a＝2b.
故椭圆方程为 x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x±y＝0，
∴渐近线 x±y＝0 与椭圆 x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为
2
5
5b，25
5b，
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积
A．4
B．8
()
C．6
D．18
解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
答案：C
2．(教材习题改编)方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆，则 m 的
范围是
()
A．(－3,5)
B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5)
D．(－5,1)∪(1,3)
5－m＞0， 解析：由方程表示椭圆知m＋3＞0，
5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且 满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率 为________．
解析：在三角形 PF1F2 中，由正弦定理得
sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，
设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝ 3，
所以离心率
图形
标准 方程
__xa_22＋__by_22_＝__1_(_a＞___b＞___0_)
范围
_|x_|_≤__a_；__|y_|≤__b__
_ya_22_＋__bx_22＝__1_(_a_＞__b_＞__0_)__ _|x_|_≤__b_；__|y_|≤__a__
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
焦距
|F1F2|＝ 2c (c2＝ a2－b2 )
离心率
e＝∈ (0,1) ，其中c＝__a_2_－__b_2 _
通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 2b2 a
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)设 P 是椭圆x42＋y92＝1 的点，若 F1，F2
是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于
为255b×2 55b＝4，∴b2＝5，即 a2＝4b2＝20.
故椭圆 C 的方程为2x02＋y52＝1. [答案] D
本例中条件“双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有 四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16” 变为“此椭圆的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径” 问题不变．
解：∵圆 x2＋y2－2x－15＝0， ∴(x－1)2＋y2＝16，∴r＝4，即 2a＝4，a＝2.
[知识能否忆起]
超链接
1．椭圆的定义 ［动漫演示更形象,见配套课件］
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(_大__于__ |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点， 两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的 焦距 ．
2．椭圆的标准方程及其几何性质
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
椭圆的定义及标准方程
[例 1] (2012·山东高考)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
的离心率为 23.双曲线 x2－y2＝1 的渐近线与椭圆 C 有四个 交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C
的方程为 A.x82＋y22＝1
C.1x62 ＋y42＝1
B.1x22 ＋y62＝1 D.2x02 ＋y52＝1
若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5，
由ac＝45，即 k4－＋5k＝45，解得 k＝21. 答案：C
4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若 其离心率为12，焦距为 8.则该椭圆的方程是________．
解析：∵2c＝8，∴c＝4，
∴e＝ac＝4a＝12，故 a＝8. 又∵b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的方程为6y42 ＋4x82＝1. 答案：6y42 ＋4x82＝1
e＝22ac＝
3 3.
答案：
3 3
1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内 的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨 迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离 之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．
2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位 置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．
对称性
曲线关于__x_轴__、 _y_轴__、__原__点__对称
曲线关于_x_轴__、__ _y_轴__、__原__点__对称
顶点
长轴顶点_(_±__a_,0_) 短轴顶点_(_0_，__±__b)
长轴顶点_(_0_，__±__a) 短轴顶点__(±__b_,_0)
焦点
(_±__c_,0_)_
(_0_，__±__c_)