第07章 位移法概要

l l
(1)
FQAB
M AB
l
M BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
刚度矩阵中的系数称为刚度系数，表 示产生单位杆端位移所需施加的杆端 力矩。
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
刚度系数是只与杆件尺寸和材料性质 有关的常数，又称为形常数。
弯曲杆件刚度矩阵
将上式写成 矩阵形式：
第7章 位移法
位移法的提出 P
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本 方法。
力法：以未知力为基本未知量,运用位移协 调条件建立力法方程,求出未知力,计算出全 部的内力和相应的位移。
位移法：以结点的位移(角位移和线 位移）为基本未知量, 运用结点或截面的 平衡条件——建立位移法方程——求出 未知位移——利用位移与内力之间确定 的关系计算相应的内力。
单跨超静定梁
两端固定 一端固定一端铰支 一端固定一端定向
杆端位移与杆端力的正负号规定
①杆端转角A、B，弦转角 MAB
=/l均以顺时针方向转动 A
②为杆正端；弯矩对杆端以顺时针FQAB A
为正，对结点或支座以逆时
l
针为正；
杆端剪力的正负号规定同前。 A
MAB＞0
B
B'
B
FMQBBAA
B MBA＜0
M
AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i l
6i l
A
B
FQAB
6i
l
6i l
12i
l 2
几种不同远端支座的刚度方程
⑴ 远端为固定支座
MAB
A
MBA
EI
l
⑵ 远端为固定铰支座
MAB
A
EI
l
M AB
4i A
2iB
6i
l
M BA
2i A
4iB
6i
l
(1)
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
(7 8)
因MBA = 0，代入(1)式可得
M AB
3i A
3i
l
(7 9)
⑶ 远端为滑动支座 MAB
A
EI
l
因B 0, FQAB FQBA 0
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
MAB
由平衡条件求杆端剪力FQAB 和FQBA ：
EI
MB 0, FQABl M AB MBA 0
FF QAB
A
B
MBA
l
FF QBA
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
位移法的基本作法：先拆散，后组装。
① 把结构拆成杆件，进行杆件分析－－杆件在巳知端点位移和巳知荷载 作用下的计算。 ② 把杆件组装成刚架，进行整体分析－－利用刚架平衡条件，建立位移 法基本方程，解方程求出基本未知量。
2、位移法的基本未知量和基本方程
由前面的简例，可以归纳出位移法的要点：
（1）位移法的基本未知量——结点位移。
几何条件
FNi sin i FP
平衡条件
FNi
EAi li
sin i
FNi
EAi li
sin i
EAi li
sin 2
i
FP
EAi li
sin 2
i
FP
FP
EAi li
sin2 i
位移法计算刚架的基本思路
A
A
FP C
M AB
M AC
A
FP
C
A
A
A
q
q
B
B
用位移法计算刚架，结点位移仍是处于关键地位的未知量。
A
C
2
EI l
A
4
E lΒιβλιοθήκη Baidu
I
θA
A
M AC
4
EI l
A
ql 2 12
M CA
2
EI l
A
ql 2 12
M AB
4
EI l
A
B
ql2/48
M A 0 M AB M AC 0
4
EI l
A
ql 2 12
4
EI l
A
0
A
4
E l
I
A
θA
B
2
EI l
A
M AC
M AB
A
ql3 96 EI
§7–2 杆件单元的形常数和载常数
■ 对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移Δ。 ■ 若求出位移Δ，则各杆件的变形和内力都可求出。 ■ 取位移Δ作为位移法基本未知量。
第一步，从结构中取出一 个杆件 进行分析。
第二步，把各杆综合成结构。
各杆的杆端位移与基本位置 量的关系为
FNi
EAi li
ui
ui sini
考虑结点B的平衡条件
注意：杆端弯矩的双重身份：
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正。 对节点隔离体，逆时针方向为正。
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍
画在受拉边。
由杆端位移求杆端内力---形常数
A
B
Δ
用力法求解单跨超静定梁
11X1 12 X 2 1C A 21X1 22 X 2 2C B
力法计算太困难了！
用力法计算， 9 个基本未知量
如果用位移法计算, 1 个基本未知量
位移法主要是由于大量高次超静定刚架的 出现而发展起来的一种方法。由于很多刚架的结 点位移数远比结构的超静定次数少，采用位移法 比较简单。
§7–1 位移法的基本概念
1、关于位移法的简例
先举一个简单的例子，以便了解位移法的基本思路。
5
FNi sini FP
i 1
5
i 1
EAi li
sin2 i
FP
解方程，得
FP
5
i 1
EAi li
sin2 i
0.637 FPa EA
FN1 FN5 0.159FP FN2 FN4 0.225FP FN3 0.319FP
选择 基本 未知
量
FNi
EAi li
ui
物理条件
ui sini
（2）位移法的基本方程——力的平衡方程。 （3）建立基本方程的过程分为两步：
▲结构拆成杆件，进行杆件分析。 ▲再把杆件综合成结构，进行整体分析。 （4）杆件分析是结构分析的基础。
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
θA
EI=常数
B l
l
ql2/24 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
q 5ql2/48 C
ql 2
q
12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
θA
X1
θB
X2
Δ
11
1 EI
l 2
2 3
l 3EI
22
12
1 EI
l 2
1 3
l 6EI
21
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
1C l 2C
令 i EI l
X1=1
1
M1
1/l
1
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
X1
4i
A
2i B
6i l
X2
2i A
4i B
6i l
i 线刚度
M2
X2=1 1/l
1、形常数 ——由单位杆端位移引起的杆端力 等截面直杆由单位杆端位移引起的杆端力，称为刚度系数， 因刚度系数只与杆件材料性质、尺寸及截面几何形状有关， 故也称为形常数。 (1)计算单元 ——单跨超静定梁(等截面直杆) (2)作用因素 ——单位杆端位移(支座移动) (3)计算方法 ——力法求解。 各种单跨超静定梁在各种单位杆端位移作用下的杆端力均可 由力法求出，这就制成了形常数表。