初中数学几个常用模型资料

正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ）
（Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上
4、（2004 河北 T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半
径为 r,扇形的半径为 R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D
QE)
1( 2
2 x)(
ᝆ
2 x)
y 1 x2 1(1 x 2 ) 2
E ᝆ
………………………………………………4 分
（3）可能
当 P 与 A 重合时，Q 与 D 重合，有 PQ=QC，X=0
当 PC=CQ 时，且 Q 在 DC 的延长线上时，（图形 3），连接 BD 交 AC 于点 O，连接 BQ，则
ᝆ O
ᝆ ᝆ
ᝆ
①过点 P 作 PE AB 交 AB 于 E, 过点 P 作 PF CD 交 BC 于 F -----1 分
PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE ∴BE=PF
------2 分
EPB FPQ 900 EPB EBP 900 ∴ EBP FPQ ------3 分
货轮速度的 2 倍。
（1）选择：两船相遇之处 E 点（
）。
A、在线段 AB 上 B、在线段 BC 上 C、可以在线段 AB 上，也可以在线段 BC 上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?（结果保留根号）。
A
D
C
B
⒒将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，
∴ PEB PFQ
------4 分
设 PM=x,BM=1-x, QC=1-x-x=1-2x
S SPBC SVPCQ
∴PB=PQ
--------5 分
1 BC PM 1 CQ PF
2
2
1 1 x 1 (2x 1)x
2
2
x2
-----------8 分
③有可能成为等腰三角形，求出 x 值-------11 分
⑧如图， ABC 中， ACB 90 ， B 30 ， AC 1，过点 C 作 CD1 AB 于 D1 ，
过 D1 作 D1D2 BC 于 D2 ，过 D2 作 D2 D3 AB 于 D3 ，这样继续作下去，……，线段
Dn Dn1 能等于（ n 为正整数）
3 n (A) 2
(B)
③（2006 邵阳 T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等
于（1：3
）
④（2005 年浙江绍兴 T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题 满分为 3 分。若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________
四边形 ABCD 是正方形
B
C
AC 垂直平分 BD， ODC OCD 450
PB=PD， 4 900
1 2
图 (1)
Q PB PD
3 4 900
1 3
2 3
Q PDQ 2 ODC 2 450
PQD 3 OCD 3 450
PDQ PQD
PD PQ
PB PQ
A
A
A
M
M
M
P
P
C
C
⑩如图，客
发O
DB
B 再到 C 匀 图甲
轮沿折线 O
图乙
A－B－C 从 A 出
D B 经O
B
图丙 速航行，
货轮从 AC 的中点 D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，
并同时到达折线 A－B－C 的某点 E 处，已知 AB＝BC＝200 海里，∠ABC＝90°，客轮速度是
在 Rt△BPH 中, PH BP sin PBH = 2 3
∴S= 3m
……………… 8 分
B
模型 4 知二求四
E HA
F G
（1）当 α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH； （2）当 α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当 0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。
F
EA
45°
D
图①
C
60° B
E M
AG
第 24 题 图
E M
C
F N
（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，三角形 PCQ 是否能为等腰三角形？如果可能，指出所有
可能使三角形 PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相
应的 X 的值；如果不能说明理由（以下三个图的形状，大小 A
P
相同，以供操与解题时备用）
3
解：（1）PQ=PB
4O
D 1
Q
证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 PD，如图（1）
E M
F C (N)
DHB
图②
C F
N
A
GD
HB A
GD
HB
图③
图④
第 24 题图
⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含 300 的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有 150 角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标 注,不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接 AD, 则∠ADB 的余切值为 .
（1）BE=CF. ……2 分 证明：在△ABE 和△ACF 中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF. ∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ……4 分∴BE=CF. ……6 分 （2）BE=CF 仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE 和△ACF 全等， BE 和 CF 是它们的对应边.所以 BE=CF 仍然成立.………………………………10 分 27．（8 分）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30°角的透明三角板，使 30°角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转． （1）如图 1，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时．问△BPE 与△CFP 是否相似；
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直角的另一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q。设 A、P 两点间的距离为 x， （1）当点 Q 在 CD 上时，线段 PQ、PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论。 （2）当点 Q 在 CD 上时，求四边形 PBCQ 的面积 y 与 x 的函数解析式，并求出 X 的取值范围；
3 2
n1
(C)
3 2
n
(D)
3 2
n1
C D2 D4 D6
A ⑨已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题： C
D1 D3 D5
（第⑧题图）
B
（1）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动,两直角边分别与边 OA，OB 交于点 C，D..
①在图甲中，证明：PC=PD；
（1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积 S1 : S2 之比等于________
（2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积 A1 : A2 之比等于________
⑤（2006 年武汉市 T24．10 分）已知：将一副三角板(Rt△ABC 和 Rt△DEF)如图①摆放， 点 E、A、D、B 在一条直线上，且 D 是 AB 的中点。将 Rt△DEF 绕点 D 顺时针方向 旋转角 α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线 DE、AC 相交于点 M，直线 DF、BC 相交于点 N，分别过点 M、N 作直线 AB 的垂线，垂足为 G、H。
3r R D、 4r R
）A、2r=R B、 9 r R C、 4
模型 2、角平分线+平行=等腰三角形
如图， ABC 中 BD、CD 平分∠ABC、∠ACB，过 D 作直线平行于 BC，交 AB、AC 于 E、F，当
∠A 的位置及大小变化时，线段 EF 和 BE+CF 的大小关系（ B ）.
（A）EF>BE+CF
（B）EF=BE+CF
（C）EF<BE+CF
（D）不能确定
模型 3、一副三角板
①在△ABC 中，a=1,b= 3 ,∠A=300，则∠B=___60___度。
②两个全等的含 300, 600 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一 条直线上，连结 BD，取 BD 的中点 M，连结 ME，MC．试判断△EMC 的形状，并说明理 由．（等腰直角三角形）
CQ=PC= 2 x, BQ 2 BC 2 CQ2 1 ( 2 x)2 由（1）证得，PB=PQ，
PB2 ( 2 BQ)2 1 1 ( 2 x)2
2
2
PB2 BO 2 OP2
ᝆ
1 1 ( 2 x)2 ( 2 )2 (x 2 )2
2
2
2
由 x 1
…………….3 分
初中数学几个数学模型
模型１、l:r=3600:n0
①圆锥母线长 5cm，底面半径长 3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 216
。
②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆
心角等于（ C ）
A．45°
Ｂ．60°
C．90°
Ｄ．120°
③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm，母线长为４cm，在一个边长为 8cm 的
ᝆ 12.如图，操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使 它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一 边与边 DC 或射线 DC 相交于点 Q。 当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试 证明你观察得到的结论； ② 当点 Q 在边 CD 运动上时，设四边形 PBCQ 的面积为 S 时，试用含有 x 的代数式表示 S： ③ 当点 P 在线段 AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果 可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应 的 x 的值；如果不可能，试说明理由。
……………………………..4 分
（2）连接 BD 交 AC 于点 O，作 QE AC 于点 E（如图 2） Q PB PQ, PBO QPE, POB QEP 900 POB QEP
ᝆ
D
P
Q ᝆ
QE OP OA AP 2 x 2
SPBCQ
S PBC
S PCQ
1 2
PC(BO
（2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 2 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、F．
① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论） ② 探究２：连结 EF，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③ 设 EF=m，△EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S．
A EF
B
P
C
(1)
E A
F
B
P
C
(2)
（1）如图，由题意得∠FPC+∠BPE=150, ∠BEP+∠BPE=150
∴∠BEP=∠FPC 又∵∠B=∠C=30∴△BPE～△CFP………………… 2 分
（2）①△BPE 与△CFP 还相似
…………………………………… 3 分
②△BPE 与△PFE 相似，
…………………………………… 4 分
由△BPE 与△CFP 相似，得 BE PE ，又∵BP=CP ∴ BE PE ,
CP FP
BP FP
即 BE BP ，又∵∠B=∠EPF=30 ∴△BPE～△PFE …………… 6 分 PE FP
③如图，∵△BPE～△PFE ，∴∠PEB=∠PEF 作 PH⊥BE 于点 H,PG⊥EG 于点 G,则 PH=PG ……… 7 分
13．（12 分）用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60°角的三 角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB，AC 重合.将 三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时，（如图 13—1），通过观 察或测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图 13—2）， 你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
3 ②在图乙中，点 G 是 CD 与 OP 的交点，且 PG= 2 PD，求△POD 与△PDG 的面积之比.
（2）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，一直角边与边 OB 交于点 D，OD=1，另一直 角边与直线 OA，直线 OB 分别交于点 C，E，使以 P，D，E 为顶点的三角形与△OCD 相似， 在图丙中作出图形，试求 OP 的长.