2011年考研数学一真题及答案解析

f
( y))2
所以 zxy
x0

f (0) f (0)
f
(0)

0
，
z

xx
x0

f (0) ln
f (0) ，
y0
yБайду номын сангаас0
z

yy
x0

f (0)
f (0) f (0) ( f (0))2 f 2 (0)

f (0)
y0
要使得函数 z f (x) ln f ( y) 在点(0,0)处取得极小值，仅需

0 ，说明级数
n1
an
1n
收敛，可知幂级数
n1
an
x 1n
的收敛半径
R 1。

因此，幂级数 an x 1n 的收敛半径 R 1 ，收敛区间为 0, 2。又由于 x 0 时幂级数收敛， n1
x 2 时幂级数发散。可知收敛域为0, 2。
3、 设 函数 f (x) 具有二阶连续导数，且 f (x) 0 ， f (0) 0 ，则函数 z f (x) ln f ( y)
即可。
【解析】由 z f (x) ln f ( y) 知 zx f (x) ln f ( y),
z

y

f (x) f (y)
f ( y) ， zxy
f (x) f (y)
f ( y)
z

xx

f
(x) ln
f
(
y)
，
z

yy

f
(x)
f
( y)
f
(y) ( f 2(y)
4
2



4 ln sin xdx 4 ln cos xdx 4 ln cot xdx ，故选（B）
0
0
0
5.
设 A 为3阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第一行得单位矩阵.
1 0 0 1 0 0
记 P1 1 1 0 , P2 0 0 1 ,则 A ( )
f (0) ln f (0) 0 ， f (0) ln f (0) f (0) 0
所以有 f (0) 1， f (0) 0



4、设 I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大小关系是( )


1,2 ,3,4
10


1
3

0
，所以 1 , 3
线性相关，故 1，，2


0
0
0
0
（A） I J K （B） I K J （C） J I K （D） K J I
【答案】 B
【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的
大小即可。
【解析】 x (0, ) 时， 0 sin x 2 cos x cot x ，因此 ln sin x ln cos x ln cot x
【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收
敛性的一些结论，综合性较强。
n

【解析】 Sn ak n 1,2无界，说明幂级数 an x 1n 的收敛半径 R 1；
k 1
n1


an
单调减少，
lim
n
an
2011年考研数一真题及答案解析
一、选择题
1、 曲线 y x 1x 22 x 33 x 44 的拐点是（ ）
（A）（1，0） （B）（2，0） （C）（3，0） （D）（4，0） 【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即 可。
6、设 A 1,2,3,4 是4阶矩阵， A 为 A 的伴随矩阵，若 1,0,1,0 是方程组 Ax 0 的一个基
础解系，则 Ax 0 基础解系可为（ ）
(A) 1， 3
(B) 1， 2
(C) 1， 2， 3 (D) 2， 3， 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面
0 0 1
0 1 0
（A） P1P2 （B） P11P2 （C） P2P1 （D） P21P1
【答案】 D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。
【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知 AP1 B ， P2B E ，所以 A BP11 P21P11 P2P11 ，故 选（D）
【解析】由 y x 1x 22 x 33 x 44 可知1, 2,3, 4 分别是 y x 1x 22 x 33 x 44 0 的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知
y(1) 0 ， y(2) y(3) y(4) 0
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A） f (0) 1， f (0) 0 (B) f (0) 1， f (0) 0
(C) f (0) 1， f (0) 0
(D) f (0) 1， f (0) 0
【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件
的知识，有一定的灵活性。
【解析】由 Ax 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 Ax 0 的解，且 Ax 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
1
1
A

0
1
y(2) 0 ， y(3) y(4) 0 ， y(3) 0, y(4) 0 ，故（3，0）是一拐点。
n

2、
设数列
a
n
单调减少，
lim
n
an

0 ， Sn

ak n
k 1
1,2无界，则幂级数
an x 1n
n1
的
收敛域为（ ） （A） (-1，1] （B） [-1，1) （C） [0，2) （D）(0，2]