第二章-z变换与离散时间傅里叶变换

而
X (z) C nzn R xzR x
n
j Im[z]
i Cn21j
X(z)zn1dz
c
C
n0 , 1 , 2 ,L
其中围线c是在X(z)的环状
R x
0
R x
Re[z]
收敛域内环绕原点的一条
反时针方向的闭合单围线。
i x(n )1
2j
X (z)zn 1 d z
c
c (R x,R x)
• 利用留数定理求围线积分，令
= anzn= anzn
n1
n1
j Im[z]
1aa11zz11az1
Roc: za
a Re[z]
0
零 点 ： z0 极 点 ： za
例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域
1
解 ： X ( z ) =x ( n ) z n =a n z n =a n z n a n z n
j Im[z]
a
b 0
c
Re[z]
j Im[z]
a
b Re[z]
0
c
j Im[z]
a b Re[z]
0
c
j Im[z]
a
b 0
Re[z]
c
§2.2 z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
x (n ) IZ T [X (z)]
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn
n
实质：求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法：
• 常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1
用留数定理求系数： Ak ResXz(z)zzk k1,2,L,Nr
例 ： X ( z ) 1 z 5 1 z 1 6 z 2 ， 2 < z 3 ， 求 z 反 变 换
解 ： X z 1 z 5 1 z 1 6 z 2 z 2 5 z z 6 z 2 5 z z 3
|z|2
解：
X(z)
z2
(z 2)(z 0.5)
4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
x(n) 3 42n1 3(0.5)n u(n)
3、幂级数展开法求解（长除法）:
• 一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除 分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
X (z) x (n )z n x ( 1 )z x (0 ) x (1 )z 1 n
一、ZT的定义
X(z) x(n)zn n
x(n ) X (z),z:(1 ,2)
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
二、ZT的收敛域
对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收 敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。
级数收敛的充要条件是满足绝对可和
x(n)zn M
n
1）有限长序列
x(n)x(0n)
Q2 z 3
1 1 2 z 1
Z T[anu(n)]11 az 1 za
Z T [a n u ( n 1 )] 1 a 1 z 1 za z 2
2 n u (n )
1 1 3 z 1
z 3 3nu(n1)
x n 2 n u n 3 n u n 1
例2 设 X (z)(12z 1)1 1 (0.5z 1), 利用部分分式法求z反变换。
§2.3 Z变换的基本性质和定理
1、线性性
a(n ) x b(n ) y a(z X ) b(z Y )R1∩R2
2、序列的移位 x(nN ) zNX(z) R
3、z域尺度变换
anx(n) X(z) |a|R
（乘以指数序列）
a
4、 z域求导
nx(n)z d X(z)
（序列线性加权）
dz
R
Z变换的基本性质（续）
z n 1 z n 1
( 4 z ) (z 1 /4 ) ( 4 z ) (z 1 /4 )
当n1时
F(z)在围线c内只有一阶极点z1 4
x(n)Res[F(z)]z1 4
(z14)(4z)z(nz11/4)z1
4 n 15
4
j Im[z]
C
1/4 0
4
Re[z]
当 n 1 时
F (z)在 围 线 c 内 有 一 阶 极 点 z1和 - (n 1 )阶 极 点 z0 4
n
n
n 0
1
1 az
1
当az1 1时
j Im[z]
Roc: za 零 点 ： z0 极 点 ： za
a
Re[z]
0
例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域
解 ： X (z )=x (n )z n = a n u ( n 1 )z n
n
n
当a1z 1时
例 1 ： X ( z ) z 2 ， 1 /4 < z 4 ， 求 其 z 反 变 换 ( 4 z ) ( z 1 /4 )
i 解 ： x ( n ) 2 1 jc ( 4 z ) ( z z 2 1 /4 )z n 1 d zc ( R x ,R x )
其 中 ： F (z ) z 2
5、翻褶序列 6、共轭序列
而 围 线 c 外 只 有 一 阶 极 点 z = 4 ， 且 F ( z ) 的 分 母 多 项 式 阶 次 高 于 分 子 多 项 式 阶 次 两 次 以 上
x ( n ) R e s [ F ( z ) ] z 4
z44zznz11/4z4
4 n2 15
x(n )4 nu (n 1 )4 n 2u ( n 2 )
• 如果n2≤0 ，则收敛域不包括∞点
n 10 ,n 20时 0z ，
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
n 10 ,n 20时 0z ，
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
n 10 ,n 20时 0z ，
2）右边序列
x(n)x(0n)
nn1 nn1
当 n10时 ， Roc:Rx z
n1nn2 其它n
n2
其 Z变 换 ： X(z) x(n)zn
nn1
R o c 至 少 为 ： 0 z
j Im[z]
Re[z] 0
• 除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况 有关外，整个z 平面均收敛。
X ( z ) x ( n 1 ) z n 1 x ( n 1 1 ) z ( n 1 1 ) L x ( 1 ) z 1 x ( 0 ) z 0 x ( 1 ) z 1 L x ( n 2 1 ) z ( n 2 1 ) x ( n 2 ) z n 2
1/4
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0
4
Re[z]
x ( n ) R e s [ F ( z ) ] z 4 R e s [ F ( z ) ] z 1 / 4
(z4)(4zz)n(z11) (z1 4)(4zz)n(z11)
4z4
4z1
4
1 (4n 4n2) 15
x(n)1(4n4n2)u(n) 15
思考：n=0,1时，F(z) 在围线c外也无极点， 为何 x(n)0
第二章 z变换和DTFT
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
信号和系统的分析方法有两种： ——时域分析方法 ——变换域分析方法
连续时间信号与系统 —— LT FT 离散时间信号与系统 —— ZT FT
2、部分分式展开法求解IZT ：
若函数X(z) 是z的有理分式，可表示为：
X (z ) B A ( (z z ) ) M n 0 N B n z n N k 1 r1 A z k k z 1 k r 1 ( 1 C z ik z 1 )k
• 利用部分分式的z反变换和可以得到函数 X(z) 的z反变换。
0 4 Re[z]
x ( n ) 是 一 个 因 果 序 列 ， 即 x ( n ) 0 ， n 0
同样当n0时，由F(z)
zn1
在c外无
(4z)(z1/4)
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
围线外极点留数为0可得x(n)0
当n0时 F(z)
zn1
(4z)(z1/4)
j Im[z]
C
在 围 线 c 内 有 一 阶 极 点 z 4 ， 1 4
0
R x
n2 0
4）双边序列
n 为 任 意 值 时 皆 有 值
1
其 z 变 换 ： X (z ) x (n )z nx (n )z n
n
前 式 R o c : 0 z R x
后 式 R o c:R xz
当 RxRx时 ， Roc:
n 0
j Im[z]
R x
0
Re[z]
R x
n2 qn qn1 qn21
nn1
1q
n 2 时 须 满 足 q 1
j Im[z]
零 点 ： z ej2 N r r 1 ,...,N 1
Re[z]
极 点 ： z 0 （ N 1 ） 阶 0
R o c : 0 z
例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域
解 ： X ( z ) =x ( n )z n =a n u ( n )z n =a n z n
F(z)X(z)zn1
• 若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：
x(n) R es[F (z)]z zk
k
若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶 次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：
x(n ) R es[F (z)]z zm
m
单阶极点的留数：R e s [ F ( z ) ] z z r [ ( z z r ) F ( z ) ] z z r
R e s [ F ( z ) ] z z r [ ( z z r ) F ( z ) ] z z r
1、围数积分法求解（留数法）
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域
R x z R x ,（ R x 0 ,R x ） 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
当 RxRx时 ， Roc:RxzRx
例1
[n] ZT 1,0z
δ[n]zn 1 n
收敛域应是整个z的闭平面
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解 ： X (z )= x(n )z n= R N (n )z n
n
n
=
N
1
z
n
1 zN 1 z 1
n0
zN 1 z N 1 ( z 1)
j Im[z]
Xz zz25 z3zA 12zA 23 3
2
0
Re[z]
A 1 R e s X z z z 2 z 2 z 2 5 z 3 z 2 1 A 2 R e s X z z z 3 z 3 z 2 5 z 3 z 3 1
Xz
1
1
z z2 z3
X z z z2 z z 3 1 1 2 z 1 1 3 1 z 1
n
n n
n 0
= anzn anzn
n1
n0
Q anzn
az
n1
1az
az1 z1/a
Q anzn
n0
11az1
az1 1za
当 a 1 时 ， 无 公 共 收 敛 域 ， X ( z ) 不 存 在
当 a 1 时 ， X (z ) 1 a z a z 1 1 a z 1 ( 1 z ( a 1 z ) ( a z 2 )a )
当 n10时 ， Roc:Rx z
j Im[z]
•因果序列的z变换必在∞处收敛 •在∞处收敛的z变换，
其序列必为因果序列
R x
0
Re[z]
n1 0 包 括 z 处
3）左边序列
x(n)x(0n)
nn2 nn2
当 n20时 ， Roc:0zRx 当 n20时 ， Roc:0zRx
j Im[z]
Re[z]
围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
1、围数积分法求解（留数法）
若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K
个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：
j Im[z]
x(n)
1
2j
c X
( z) z n1dz
C
R x
0
R x
Re[z]
Re s[ X ( z) z n1]zzk k
or Re s[ X ( z) z n1]zzm m
R oc: a<z1/a
j Im[z]
零 点 ： z0, 极 点 ： za,a1
a
Re[z]
0
1/a
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外
左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
1 5
1 5
j Im[z]
C
1/4 0
4
Re[z]
例 2 ： X (z ) z 2 ， z 4 ， 求 其 z 反 变 换
( 4 z ) (z 1 /4 )
j Im[z]
解 ： Q 收 敛 域 是 圆 的 外 部
C
x(n )是 右 边 序 列
1/4
又limX(z) 1， z
即X(z)在z=处收敛