数列中的数学思想和方法
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数列中的数学思想和方法
数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题,是衡量数学素质和数学能力的重要标志.数列中蕴涵了许多重要的数学思想,下面我们一起来看一看吧! 一、方程思想
方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程(组),是解数列问题基本方法. 例1 已知等差数列{}n a 的公差d 是正数,且3712,a a =-
464a a +=-,求其前n 项和n S 。
解:由等差数列{}n a 知:3746a a a a +=+,从而373712,4a a a a =-+=-,
故37,a a 是方程2
4120x x +-=的两根,又0d >,解之,得:376,2a a =-=。
再解方程组:11
2662a d a d +=-⎧⎨
+=⎩110
2a d =-⎧⇒⎨
=⎩, 所以10(1)n S n n n =-+-。
<法一>
法二、基本量法,建立首项和公差的二元方程 知三求二
点评:本题利用了3746a a a a +=+这一性质构造了二次方程巧妙的解出了376,2a a =-=,再利用方程求得了首项与公差的值,从而使问题得到解决,由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与n m p q a a a a +=+(或n m p q a a a a ⋅=⋅)找出解题的捷径。关注未知数的个数,关注独立方程的个数。
点评基本量法:性质法 技巧
备用:设{a n }是公比大于1的等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和.
已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列. (1)求数列{a n }的通项;
(2)令b n =ln a 3n +1,n =1,2,…,求数列{b n }的前n 项和T n . 解
(1)由已知得⎩⎨⎧
a 1
+a 2
+a 3
=7,
(a 1
+3)+(a 3
+4)
2
=3a 2
,解得a 2=2.
设数列{a n }的公比为q ,由a 2=2,可得a 1=2
q
,a 3=2q ,
又S 3=7,可知2
q +2+2q =7,即2q 2-5q +2=0.
解得q 1=2,q 2=1
2.由题意得q >1,∴q =2,∴a 1=1.
故数列{a n }的通项为a n =2n -1. (2)由于b n =ln a 3n +1,n =1,2,…, 由(1)得a 3n +1=23n ,∴b n =ln 23n =3n ln 2. 又b n +1-b n =3ln 2,∴{b n }是等差数列, ∴T n =b 1+b 2+…+b n =n (b 1+b n )2=3n (n +1)
2·ln 2.
故T n =3n (n +1)
2
ln 2.
小结:方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一,注意到方程思想在数列间题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。在等差数列和等比数列中,通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量:a 1,a n ,n ,q (d ),S n ,其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1,a n ,n ,q (d ),S n 的方程组,通过方程的思想解出需要的量.
二、函数思想
函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列,是解决数列问题的有效方法.
例2、已知等差数列{}n a 中,129a =,1020S S =,则该数列前多少项的和最大? 寻求通项 ,借助数列的单调性解决 解:
1020111092019
,102022
S S a d a d ⨯⨯=∴+
=+, 又129a =,2d ∴=-
29(1)(2)231n a n n ∴=+-⨯-=-+ 令0,
15,n a n n N *>≤∈,所以数列首项为正,公差为负,
前15项为正,从第16项开始为负,所以前15项的和最大,
1511514
152252
S a d ⨯=+=。
巧用等差数列下标的性质,关注数列的单调性
解:10201112131920,0S S a a a a a =∴++++=, 由等差数列下标的性质可得:
111213192015165()0a a a a a a a +++
+=+=,
又
1290a =>,15160,0a a ∴><
∴ 当15n =时,n S 取得最大值。
又129a =,2d ∴=-
29(1)(2)231n a n n ∴=+-⨯-=-+
令0,
15,n a n n N *>≤∈,所以数列首项为正,公差为负,前15项为正,从第16项开始为负,
所以前15项的和最大,且1511514
152252
S a d ⨯=+
=。
思路2:从函数的代数角度来分析数列问题 解:
1020111092019
,102022
S S a d a d ⨯⨯=∴+
=+, 又129a =,2d ∴=-
21(1)
302
n n n S na d n n ⨯-∴=+=-+
2(15)225n =--+
∴ 当15n =时,n S 取得最大值225。
思路3:从函数图象入手,数形结合
解:设2
n S An Bn =+,数列对应的图象是过原点的
抛物线上孤立的点,又
1290a =>,1020S S =,