第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数

一、二元函数的一阶偏导数

1、 在某点处的一阶偏导数——已知二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处及其附近有定

义，若一元函数)(0y x f z ，=在点0x 处对x 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对x 的一阶偏导数，记作)(00y x f x ，'，或00|y y x x x z =='，或x

y x f ∂∂)(00，，或00

|y y x x x z ==∂∂； 若一元函数)(0y x f z ，=在点0y 处对y 可导，则称此导数值为二元函数)

(y x f z ，=在点)(00y x ，处对y 的一阶偏导数，记作)(00y x f y ，'，或00|y y x x y z =='，或y

y x f ∂∂)(00，，或0

0|y y x x y z ==∂∂。 2、 可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。

3、 在某区域上的一阶偏导数——若二元函数)(y x f z ，=在区域E 上每一点)(y x ，处都

有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域E 上每一点)(y x ，都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为)(y x f z ，=对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作)(y x f x ，'，或x z '，或

x y x f ∂∂)(，，或x

z ∂∂和)(y x f y ，'，或y z '，或y y x f ∂∂)(，，或y z ∂∂。 二、二阶偏导数 1、 定义——二元函数)(y x f z ，=一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数)

(y x f z ，=的二阶偏导数，共有四个，分别记作

x x xx y x f y x f ))(()(''=''，，，或xx z ''，或22)(x y x f ∂∂，，或22x

z ∂∂ y x xy y x f y x f ))(()(''=''，，，或xy z ''，或y x y x f ∂∂∂)(2，，或y

x z ∂∂∂2

x y yx y x f y x f ))(()(''=''，，，或yx z ''，或x y y x f ∂∂∂)(2，，或x y z ∂∂∂2 y y yy y x f y x f ))(()(''=''，，，或yy z ''，或22)(y y x f ∂∂，，或22y

z ∂∂。