浅谈反证法在中学数学中的应用

浅谈反证法在中学数学中的应用

方金华

摘要：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。

关键词：反证法 证明 矛盾

1. 引言

有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。

2. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式

定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

不仿设原命题为q p →，s 是推出的结论，s 一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：()q p s s q p →⇔Λ→→，即()

q p s s q p →⇔Λ→Λ。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B 的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A 则B ”，其中A 是题设，B 是结论，A 、B 本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：

（1） 反设：作出与求证结论相反的假设；

（2） 归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

（3） 结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 3. 反证法的适用范围

反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的

标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

3.1否定性命题

即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角。求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则∠A+∠B+∠C ＞1800

。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A ，∠B 均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。 3.2限定式命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

例

有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于9

π。 证明：每个小圆的公共部分的面积都小于

9π，而九个小圆共有2936C =个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于3649π

π⨯=，又大圆面积为5π，则九个小圆应占面积要大于

945πππ-=，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于

9π。 例 已知方程4430x ax a +-+=2，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一

个方程有实数值，求实数a 的取值范围。

分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件a 的集合的补集即可。

证明：假设三个方程都无实根，则有：

222(4)(43)(1)48a a a a a ⎧--+⎪--⎨⎪+⎩

2＜0＜04a ＜0 解得 32-＜a ＜-1 ∴所求a 的范围为3

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a a ≤-≥-或. 3.3无穷性命题

即涉及各种“无限”结论的命题。

例 求证：2是无理数。

分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。 证明：假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a b

a =⇒=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，∴224c a =，∴222

b

c =，则b 也是偶数。由a ,b 均为偶数与a 、b 互质矛盾，故2是无理数。

例 求证：素数有无穷多个。

证明：假设素数只有n 个： P 1、P 2……Pn ，取整数N=P 1·P 2……Pn+1，显然N 不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N 本身就是素数（显然N 不等于“P1、P2、……Pn 中任何一个），或者N 含有除这n 个素数以外的素数r ，这些都与素数只有n 个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。

3.4逆命题

某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。

例 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。

逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。

逆命题的证明：如图，若AB+CD ＝AD+BC ……（1），设四边形ABCD

不能有一个内切圆，则可作⊙O 与其三边AD 、DC 、AB 相切，而BC 与⊙O 相离或相交，过C 作⊙O 的切线交AB 或延长线于点E,由正命题知：AE+CD ＝AD+CE ……（2）.当BC 与⊙O 相离时，（1）-

（2）得AB-AE ＝BC －CE ⇒BC ＝CE+BE ，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC 与⊙O 相交时，（2）-（1）得AE-AB ＝CE －BC ⇒BC ＝CE+BE ，同样推出矛盾，则BC 与⊙O 不能相交或离，BC 与⊙O 必相切，故四边形必有一个内切圆。

3.5某些存在性命题

例 设x ，y ∈(0,1),求证:对于a, b ∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax - by|≥31成立.

证明：假设对于一切x , y ∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜3

1恒成立，令x = 0 , y = 1 ,