二次根式及经典习题与答案

二次根式的知识点汇总

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提

条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，

有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a

﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，

.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a

的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在

中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，

即，。因而它的运算的结果是有差别的，，

而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，

无意义，而.

二次根式

21.1 二次根式：

1. 有意义的条件是 。

2. 当__________

3. 1

1

m +有意义，则m 的取值范围是 。

4. 当__________x 是二次根式。

5.

在

实

数

范

围

内

分

解

因

式

：

429__________,2__________x x -=-+=。

6. 2x =，则x 的取值范围是 。

7. 2x =-，则x 的取值范围是 。

8. )1x 的结果是 。

9. 当15x ≤5_____________x -=。

10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。

11.

使

等式

11x =

+成立的条件

是 。

12. 若1a b -+()

2005

_____________a b -=。

13.

在式

子

)()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有

（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）

15. 若2

3a ）

A. 52a -

B. 12a -

C. 25a -

D. 21a -

16. 若

A

=

=（ ）

A. 2

4a + B. 2

2a + C. ()2

2

2a + D. ()2

2

4a +

17. 若1a ≤

）

A. (1a -

B. (1a -

C. (1a -

D. (1a -

18.

=x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥

19.

）

A. 0

B. 42a -

C. 24a -

D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

(

)

(

)()()

2312322

4==-=

=

∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。

22. 当a1取值最小，并求出这个最小值。

23. 去掉下列各根式内的分母：

())

x())

10

x

21

24. 已知2310x x -+=

25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。

21.2 二次根式的乘除

1. 当0a ≤，0b

__________=。

2. _____,______m n ==。

3. __________==。

4. 计算：

_____________=。

5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。

6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）

7. 已知0xy ，化简二次根式的正确结果为（ ）

C. D. 8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）

A. 2

a b =+a b =+

22a b =+a b =+

9. -和- ）

A. 32--

B. 32--

C. -=-不能确定

10. ）