百校联盟2019届(TOP20)12月联考理科数学试卷(附答案)

百校联盟2019届(TOP20)12月联考理科数学试卷

一．选择题（60分）

1. 已知集合{{}|,|1x A x y B y y e ====+，则A B ⋂= A.[)2,+∞ B.(],2-∞ C.[]1,2 D.(]1,2

2.已知复数z 满足(1)2z i m i ⋅-=+，若z 是纯虚数，则实数m 的值为

A.1

B.2

C. 1-

D.2-

3.自宋朝以来，折扇一直深受文人雅士的喜爱，在扇面（折扇由扇骨和扇面组成）上作画，现有一位爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在的区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为 A.4

7 B.34 C.1649 D.4049

4.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1271,42S a =

= 则数列{}n a 的公比为

A.2

B.12

C. 2或12

D.2或1 5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，则()f x 的解析式可能是

A.()x x f x e e -=-

B.1()lg

f x x = C.()sin f x x = D.()f x =

6.若a 是常数，74(2)(1)a x x -+的展开式中各

项系数和为16-，则42x y 的系数为

A.560

B.1680-

C.336

D.3360

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线部分是某几何体的三视图，

则该几何体的表面积为

A.76+

B. 76+

C. 74+

D. 74+

8.运行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为

A.3

B. 4

C. 5

D. 6

9.已知函数()2cos()cos()23f x x x ππ=-+在区间[,]6t π- 上单调递增，则实数t 的取值范围是 A.0,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. ,612ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦

C. ,62ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦

D. 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦ 10.已知抛物线214

y x =的焦点F ，直线l 过点F 且与抛物线相交于

则直线l 斜率的最大值是

B.2

C.3

D. 11.已知奇函数()f x 和其导函数()f x '的定义域均为R ，当(0,)x ∈+∞时，3()()0f x xf x '+<，则不等式33(1)(1)8(2)0x f x x f x ---<的解集为

A.(,1)-∞-

B. 1(1,)3-

C. 1(,1)

(0,)3-∞- D. 1(1,0)(,)3-+∞ 12.已知各项均不为0的数列{}n a 满足111,(21)99n n n a a a a +=-+=，若212221

11n n n n n b a a a a -+=-，则当数列{}n b 的前n 项和取得最大值时，n 的值是

A.24

B.25

C.32

D. 33

二．填空题，20分

13.已知a 是单位向量，若()(2)(2)0a a b a b a b ⋅-=+⋅-=，则a 与b 的夹角为 。

14.已知实数x ，y 满足不等式组040240x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩

，则263x y z x +-=-的取值范围是 。 15.双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为双曲线右支上一点，直线1AF 与y 轴交于点B ，且1123,F B AB AF AF =⊥，则双曲线的离心率为 。

16.如图，在三棱锥P ABC -中，1,4,cos 3

PA ABC PA ACB ⊥=∠=平面， 若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大

值为 。

三．解答题，70分

17.（本小题12分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且A 为锐角，ABC ∆的面积为2

4

a 。 （1）若sin sin a A

b C =,求A ；

（2）求22

b c bc

+的取值范围。

18. （本小题12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的

情况，采用分层抽样的方法，手机100位学生每周平均锻

炼事件的样本数据（单位：h ），根据这100个样本数据，

制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）。

（1） 估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和

样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布2

(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s

①求(0.88.3)P Z <<；

②若该校共有500名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ。

2.5,≈ 2(,)()0.6827,(22)0.9545Z

N P Z P Z μσμσμσμσμσ-<<+=-<<+=若，则

19.（本题12分）如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，其中1112

AC BC AA ==

=点D 是线段

1AA 的中点。

（1）若点Q 满足DQ QB λ=,且1CQ BC ⊥,求λ的值；

（2）求二面角11B C D B --的余弦值。

20.（本题12分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(1,2

M 是椭圆上

一点，且12MF F ∆的面积为

2

。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）记椭圆C 的左顶点为A ，过点A 作直线12,l l 分别交椭圆C 于点,P Q （异于点A ），当12l l ⊥时，证明直线PQ 过定点。