人教版数学高二A版选修4-12.5与圆有关的比例线段

课后训练

1．如图，圆内接四边形ABCD的边BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中的相似三角形有()．

A．2对B．3对C．4对D．5对

2．在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为()．

A．33cm B．27 cm C．123cm D．63cm

3．如图，PA、PB分别为O的切线，切点分别为A、B，PA＝7，在劣弧AB上任取一点C，过C作O的切线，分别交PA、PB于D、E，则△PDE的周长是()．A．7 B．10 C．14 D．28

4．如图，两个等圆O和O′外切，过O作O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于()

A．90°B．60°C．45°D．30°

5．如图所示，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，2 3 a

PD=，

∠OAP＝30°，则CP＝__________.

6．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA PB

⋅的最小值为__________．

7．如图，已知PA，PB为O的切线，AB与PO相交于点M，O的弦CD过点M，连接DP，CP.

求证：(1)设OP交O于点E，则OE2＝OM·OP；

(2)∠DPA＝∠CPB．

8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，D 在AB 上，DE ⊥EB ． (1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； (2)若AD ＝6，62AE =，求BC 的长 ．

如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . (1)证明：△ABE ∽△ADC ； (2)若△ABC 的面积S ＝

1

2

AD ·AE ，求∠BAC 的大小．

参考答案

1. 答案：C

解析：△PAD ∽△PCB ，△PAC ∽△PDB ，△ADE ∽△BCE ，△AEB ∽△DEC ，共4对． 2. 答案：C

解析：方法一：如图所示，OA ＝12 cm ，CD 为OA 的垂直平分线，连接OD ． 在Rt △POD 中，

22221266 3 cm PD OD OP =-=-=， ∴CD ＝2PD ＝123(cm)．

方法二：如图，由相交弦定理得PA ·PM ＝PC ·PD ． 又∵CD 为线段OA 的垂直平分线， ∴PD 2＝PA ·PM .

又∵PA ＝6 cm ，PM ＝6＋12＝18 cm ， ∴PD 2＝6×18，∴6 3 cm PD =， ∴CD ＝2PD ＝123(cm)． 3. 答案：C

解析：∵DA 、DC 为O 的切线， ∴DA ＝DC ．同理EB ＝EC ．

∴△PDE 的周长＝PD ＋PE ＋DE ＝(PD ＋DC )＋(PE ＋CE )＝(PD ＋DA )＋(PE ＋EB )＝PA ＋PB ＝7＋7＝14.

4. 答案：B

解析：如图，连接OO ′，O ′A ．

∵OA 为O ′的切线，∴∠OAO ′＝90°.

又∵O 与O ′为等圆且外切，∴OO ′＝2O ′A ． ∴'1

sin ''2

AO AOO OO ∠=

=，∴∠AOO ′＝30°

. 又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 5. 答案：

9

8

a 解析：∵AP ＝PB ，∴OP ⊥AB ． 又∵∠OAP ＝30°，∴3

AP A =

． 由相交弦定理得CP ·PD ＝AP 2，

∴22339

428

AP CP a A PD a =

=⨯=． 6. 答案：223-

解析：如图，设∠APO ＝θ，

22

2cos 2(12sin )PA PB PA PA θθ⋅=⋅=⋅－

2

21(1)12||OP OP ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭

－ ＝|OP |2＋2

2

||

OP －3≥223-， 当且仅当|OP |2＝2

2

||

OP ，即|OP |＝42时，“＝”成立． 7. 证明：(1)连接OA ，OA ⊥PA ，

∵PA 、PB 为O 的切线，

∴PA ＝AB ，PO 平分∠APB ．∴PO ⊥AB ． 又OA ⊥PA ，∴OA 2＝OM ·OP . 又OE ＝OA ，∴OE 2＝OM ·OP . (2)连接OD ，OC ，∵OA 2＝OM ·OP ，

又OA ＝OD ，∴OD 2＝OM ·OP ，即OM OD

OD OP

=

. 又∠DOM ＝∠POD ，

∴△OMD ∽△ODP .∴∠1＝∠2. 同理∠3＝∠4.

又∠1＝∠3，∴∠2＝∠4.

又∠APD ＝∠BPO ，∴∠APD ＝∠BPC ． 8. (1)证明：如图，取BD 的中点O ，连接OE .

∵DE ⊥EB ，∴DB 是△BDE 的外接圆的直径． ∴OE 是O 的半径． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠EBC ． ∵OE ＝OB ，∠ABE ＝∠BEO . ∴∠BEO ＝∠EBC ．∴EO ∥BC ． ∵∠C ＝90°，∴∠AEO ＝90°.

∴AC 是O 的切线，即AC 是△BDE 的外接圆的切线． (2)解：由(1)得AE 2＝AD ·AB ，

∴2

2)6AB =⋅，AB ＝12.

∴BD ＝6，OE ＝OD ＝3，AO ＝9. ∵EO ∥BC ，∴

AO OE AB BC =，即93

12BC

=

，∴BC ＝4. 9. (1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD ． 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD ． 故△ABE ∽△ADC ．

(2)解：因为△ABE ∽△ADC ，

所以

AB AD

AE AC =

，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12

AD ·AE ，

故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE . 则sin ∠BAC ＝1.

又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°.