函数的单调性知识点汇总与典型例题(高中一年级必备)

第二讲：函数的单调性

一、定义：

1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 的某个区间D 的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间.

注意：增函数的等价式子：0)

()(0)]()()[(2

1212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x ;

难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？

（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？

2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 的某个区间D 的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间.

注意：(1)减函数的等价式子：0)

()(0)]()()[(21212121<--⇔

<--x x x f x f x f x f x x ；

(2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明

例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有

.0)

()(2

121>--x x x f x f 则（ ）

A.)(x f 在这个区间上为增函数

B.)(x f 在这个区间上为减函数

C.)(x f 在这个区间上的增减性不变

D.)(x f 在这个区间上为常函数

变式训练：定义在R 上的函数)(x f 对任意120x x <<都有

1)

()(2

121<--x x x f x f ，且函

数)(x f y =的图象关于原点对称，若,2)2(=f 则不等式0)(>-x x f 的解集为___.

例3.证明：函数x x x f +=3)(在R 上是增函数.

变式训练：讨论)0()(>+=a x

a

x x f 的单调性.并作出当1=a 时函数的图象.

变式训练：已知上的单调性，

在判断函数)1,0()

()(,2)1(2x

x f x g x x x f =-=+并用定义证明.

题型二：函数的单调区间

难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？ （2）函数x x f 1

)(=的单调减区间是),0()0,(+∞-∞Y 上吗？

例1.（图像法）求下列函数的单调区间

（1）|2||1|)(-++=x x x f . (2)3||2)(2++-=x x x f .

（3）|54|)(2+--=x x x f .

例2.（直接法）求函数x

x

x f +-=

11)(的单调区间.

例3.（复合函数）（2017全国二）函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是( )

A.)2,(--∞

B. )1,(--∞

C.),1(+∞

D. ),4(+∞

变式训练：求下列函数的单调区间.

（1）3

1

2+-=x x y （2）652+-=x x y

（3）2

2311x

x y ---

=

题型三：抽象函数的单调性问题

例1.设函数)(x f 是实数集R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=. (1) 证明：)(x F 是R 上的增函数； (2) 若,0)()(21>+x F x F 求证：221>+x x .

例2定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： ①对任意正数b a ,，都有)()()(ab f b f a f =+； ②当1>x 时，0)(

（2）使用单调性的定义证明：函数)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）求满足2)13(>+x f 的x 的取值集合.

题型四：函数单调性的应用

（1）利用函数的单调性比较大小

在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. ①正向应用：

②逆向应用：

例1.()x f 在()+∞,0上单调递减，那么()12+-a a f 与⎪⎭

⎫

⎝⎛43f 的大小关系是__________.

变式训练：已知函数),1()1()(x f x f x f -=+满足且对任意的)(1,2121x x x x ≠>，有

.0)()(2121>--x x x f x f 设),3(),2(),2

1

(f c f b f a ==-=则c b a ,,的大小关系_________.

（2）利用函数的单调性解不等式

例2.设)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-成立，求x 的取值围.

变式训练.①设)(x f 是定义在]3,3[-上的偶函数，当30≤≤x 时，)(x f 单调递减，若)()21(m f m f <-成立，求m 的取值围.

②（2015全国二）设函数)12()(,11

)1ln()(2

->+-

+=x f x f x x x f 则使得成立的x 的取值围是（ ）

A. )1,31(

B. ),1()31,(+∞-∞Y

C. )31,31(-

D. ),31

()31,(+∞--∞Y

③（2018全国一）设函数()20

1 0

x x f x x -⎧=⎨

>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值围 是（ ） A ．(]1-∞-，

B ．()0+∞，

C ．()10-，

D ．()0-∞，

（3）根据函数的单调性求参数的取值围

例1.如果函数1)1(42)(2+--=x a x x f 在区间),3[+∞上是增函数，则实数a 的取值围是（ ）

A.（1,2）

B.（0，2）

C.（0，1）

D.[)+∞-,2

变式训练：如果函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在区间)4,[-∞上是减函数，求实数a 的取值围.

例2.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,

0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值围是

__________.