函数的凹凸性,极值
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0, 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系:
凹
凸
曲线凹 导函数递增?
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
4.4-5 函数的单调性,极最值,凹凸性,拐点

例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x) 0,得驻点 x 1, x 0,2是不可导点 ( 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f (一般有限个) :
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0,f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0,f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!
中值定理、洛必达、函数单调性、极值、最值,凹凸性的应用

所以,由推论 1,
推论 2:若对于
,则
.
四.洛必达法则
我们在第一章曾注意到,考试时考察得最多的求极限问题要么是 型,要么是
。对付这种问题,我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则— —洛必达法则,可用一招统一解决大部分的 或 的极限问题。 现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论:
定义:设函数
在区间 内有定义,如果对
,都有:
则称函数
在区间 内为下凸的.
函数凹、凸性的判定
定理:设函数
在区间 内存在二阶导数且
(或
则函数
在区间 内为下凸(或上凸)的.
例 13.确定
的上(下)凸性.
例 14.确定
的上(下)凸性.
拐点的定义:称曲线
上凸与下凸的分界点为其拐点,或变曲点.
拐点的必要条件:如果在 附近 具有连续的二阶导数且
的极值.
解一:(一)
.
(二)
.
(三)令 (四)列表判断:
。无不可导点.
(
解二:(一) (二)
1 0 极大 2 .
3
—
0
极小-2
.
(三)令
.无不可导点.
(四)
.因为,
,所以
为极大值;
又因为 七.最值
第一种情况:设
,所以 在闭区间
为极小值. 上连续,则 在
上必可取到最大
值与最小值.最值的达到只有两种情况:(1) 或 即为最值;
例 15.求曲线
上(下)凸区间及拐点.
解:(一)
;
(二)
,
;
(三)令 (四)列表判断: (
函数的凹凸性

注2:对于 f x 不存在的点 x0 ,曲线 y f x 也可
x , x 0,
能在 x0 , f x0 点取得拐点.例如 y 2
x , x 0
在点 x 0 处不可导,点 0,0 却是拐点.
因 此 对 于 连 续 函 数 f x , 曲 线 y f x 的 拐 点 的 横 坐 标 是
x1
x2
x
定义 设函数 f x 在区间 I 上(内)连续,如果对于区间 I 上(内)任意两个不同的点 x1 , x2 ,恒有
x1 x2 f x1 f x2
,
f(
)
2
2
就称曲线 y f x 在 I 上(内)的图形是凹的(或称凹弧),称函数 f x 为凹函数,并相应地称
当 x 1时, y '' 0 ;当 x 1 时, y '' 0 .
曲线在 (, 1] 上是凸的,在 [1, ) 上是凹的.
17-7
拐点
函数 f x 在其定义区间内凹凸性可以是变化的.
曲线上由凹弧向凸弧或由凸弧向凹弧变化的那个转折点对
研究曲线的形状是非常重要的.
因此有
定理 设 f x 在 a, b 上连续,在 a, b 内二阶可导,
(1) 如果 f x 0 x (a, b) ,则 y f x 在 a, b 上为凹的;
(2) 如果 f x 0 x (a, b) ,则 y f x 在 a, b 上为凸的.
f x 0 的点或 f x 的二阶导数不存在的点.
17-12Байду номын сангаас
练习:
函数的凹凸性与极值点

函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。
通过研究函数的凹凸性和极值点,我们可以更加深入地理解函数的性质,进而应用于许多实际问题的求解中。
本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。
一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。
假设函数f(x)在区间I上可导,若对于任意的x1、x2∈I且x1<x2,有f'(x1)<f'(x2),则称函数f(x)在区间I上是凹函数;若对于任意的x1、x2∈I且x1<x2,有f'(x1)>f'(x2),则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状,凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷,而凸函数则相反,底部向下凸起。
函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。
二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。
如果函数f(x)在区间I上连续,那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系:1. 如果f'(x)在区间I上单调递增,那么f(x)在区间I上是凹函数;2. 如果f'(x)在区间I上单调递减,那么f(x)在区间I上是凸函数;3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零,那么f(x)在区间I上是凸函数;4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零,那么f(x)在区间I上是凹函数。
通过对函数的导数进行研究,我们可以得到函数的凹凸性质。
这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。
三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。
对于函数f(x),如果存在某一点x0,使得在x0的某个邻域内,f(x0)是函数的最大值或最小值,则称x0是函数f(x)的极值点。
对于可导的函数f(x),我们可以通过导数来判断函数的极值点:1. 若f'(x0) = 0,且f''(x0)存在,则x0是函数f(x)的驻点。
2. 若f'(x0) = 0,且f''(x0) > 0,则x0是函数f(x)的极小值点。
《函数凹凸性》课件

在函数图像上,凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上,任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明,对于凹函数,中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上,任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明,对于凸函数,中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上,凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$,如果在区间$I$上,对于任意$x_1, x_2$( $x_1 < x_2$)都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$, 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性,可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后,可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中,极值点出现在二阶导数为0的点;在凸函数中,极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$,则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$,则函数$f(x)$为凹函数;如果二 阶导数$f''(x) < 0$,则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
函数的凹凸性与极值探讨

函数的凹凸性与极值探讨函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。
以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值:1. 极值的存在性●凸函数:对于严格凸函数(即在整个定义域内都保持凸性的函数),如果在某点取得极值,则该极值必然是全局最小值(因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合,所以在其内部不可能有比该点更低的点)。
同样地,如果函数是凹的,则在该点取得的极值可能是全局最大值。
●非严格凸/凹函数:对于非严格凸函数(即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数)或非严格凹函数,可能存在多个极值点,但这些极值点可能不是全局最优解,而只是局部最优解。
2. 极值的数量●凸函数:在严格凸函数中,如果函数在某区间内连续可导,且在该区间的端点处函数值趋于无穷大(或满足其他适当的边界条件),则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点(没有最大值点,除非定义域有界)。
这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合,所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。
●非凸函数:非凸函数可能具有多个局部极值点(包括局部最小值和局部最大值),这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。
3. 极值的判断方式●一阶导数测试:对于可导函数,可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。
然而,这种方法在非凸函数上可能不够有效,因为可能存在多个驻点(一阶导数为零的点),其中只有部分是极值点。
●二阶导数测试:在二阶导数存在的情况下,可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。
对于凸函数,其二阶导数(或海森矩阵对于多元函数)在非极值点处非负;在极小值点处等于零(对于严格凸函数,极小值点处二阶导数严格大于零)。
然而,需要注意的是,并非所有凸函数都是二阶可导的,且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。
●凹凸性直接判断:对于凸函数,可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。
即,如果函数在某点取得极值,并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化(从正变为负或从负变为正),则该点很可能是全局最小值点(对于凹函数,则可能是全局最大值点)。
34 函数的单调性、凹凸性与极值

(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有:
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时, 导数不存在.
当 x < 0时,y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少;
当 x > 0时,y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加;
向上凸:图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
函数的凹凸性-极值市公开课一等奖省赛课获奖课件

有 f ( x) 0 ,则 f ( x)在 x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f ( x) 0;而 x ( x0, x0 )
有 f ( x) 0 ,则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时,
极大值点
极小值点
经过观察以上图形能够看出:
O x0 x0 x0 x
不是极值点
判别函数极值点, 主要是判别极值可疑点左、右 两侧函数单调性. 对于可导函数将归结于判别函数导数符号.
第272页7
定理2(第一充分条件)
设 f ( x)在x0处连续, ( x0 , )内可导
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f ( x) 0;而 x ( x0, x0 ),
例如, y | x | x (, )
y
y |x|
在点 x 0 处不可导 ,
但 x 0 恰好是它的极小值点 .
O x0 x
极值可疑点
驻点 : f ( x) 0 的点 .
使 f ( x) 0 不存在的点 .
使 f ( x) 0 不连续点 .
如何判断极值可疑点是否确为极值点?
第252页5
首先考查以下函数图形:
例2 判别曲线 y 1 的凹凸性. x
解 函数的定义域为 ( , 0) (0, ) .
因为
y
1 x2
,
y
2 x3
,
所以
x ( , 0) 时,y 0 , y 1 为凸的 , x
x (0, ) 时 ,y 0 ,y 1 为凹的 . x
第8页8
例3
证明 : x y 时 ,
1
函数的最值及凹凸性

注意:拐点处 =0或者 不存在;
例:求曲线 的凹凸区间与拐点;
令 =0,得 ,
则曲线在 , 为凹的;
曲线在 为凸的;
为拐点;
例2:求曲线 的凹凸性及拐点;
解:求导数
当x=2时, 不存在(也可能是拐点)
则曲线在 为凸的;
曲线在 为凹的;
为拐点;
3.其他例题
例:设曲线 在x=1处取极小值,(0,2)为其拐点试确定常数a,b,c的值
注意:前提是可导的,若不可导,需要另外讨论?
凹凸性如何判断,从图形分析问题。
, 由小变大 由大变小
小, 小 小, 大
单调上升 单调下降
>0 >0
2.曲线凹凸性的判别方法
定理4.7假设函数 在区间 内具有二阶导数,那么
(1)若 ,恒有 >0,则曲线 在区间 内是凹的;
(2)若 ,恒有 <0,则曲线 在区间 内是凸的;
实际问题的最值
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
例2:某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?
解:设房租为每月 元,
租出去的房子有 套,
每月总收入为:
解:(0,2)为曲线拐点,则2=c;
,因为x=1处取极小值,则 ;
,因为(0,2)为拐点,则
则:a=0,b=-3,c=2
小结:
1)凹凸性的定义;
2)凹凸性的判定;
课外作业
教学后记
§4.6曲线的凹凸性及其拐点
1.曲线的凹凸性
微分学中函数的凹凸性与拐点

微分学中函数的凹凸性与拐点微分学是数学中一个重要的分支,通过研究函数的变化率和曲线的特征,可以帮助我们更好地理解数学和物理问题。
其中,函数的凹凸性和拐点是微分学中的两个重要概念,它们可以帮助我们分析函数的性质和图像的特点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性表示的是函数曲线的弯曲程度。
具体来说,若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数,则函数$f(x)$在该区间的凹凸性可通过二阶导数的正负性进行判断。
1. 凹函数与凸函数函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数,当且仅当对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$,有以下不等式成立:$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \ge tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更低。
而函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数,则是指对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$,有以下不等式成立:$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更高。
2. 判定凹凸性的方法通过计算函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
若函数$f(x)$在区间$I$上连续并且两阶可导,且对于区间$I$上任意$x$,有$f''(x)>0$,则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的;若对于区间$I$上任意$x$,有$f''(x)<0$,则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。
二、函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凸转为凹,或由凹转为凸的点。
具体来说,若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数,则函数$f(x)$在该区间的拐点可以通过二阶导数的变号来判断。
1. 判定拐点的方法通过计算函数的二阶导数的符号变化可以判断函数的拐点。
函数的升降凸性与极值

F ( x) f ( x) g ( x) 0, (或 F ( x) 0) F ( x) F (a ), (或 F ( x) F (b)). 证毕.
Th. 2' 若F(x)满足
(1) 在[a, b]可导 ;
(2) 在(a, b)内有 F ( x) 0,(或 F ( x) 0) .
2019年2月7日星期四 3
数形结合 §5.3. 函数的升降、凸性与极值
注1. Th.1 表明,讨论可导函数的单调性,只须判别 其导数的符号即可,其步骤是: ⑴ 确定 f ( x) 的 ( x) 0 求出分界点;
⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间; ⑷ 判别 f ( x )在每个开区间内的符号,即可
1.
f ( x) x3 , f ( x) 3x2 , x 0是稳定点但并非极值点 ,
y
y x3
y=2x
因f ( x) 0, f ( x)在R上 .
o y=x
2019年2月7日星期四
x
2 x,x 0, 2. g ( x) x,x 0. g (0)不 存 在 , 由 于 g ( x) , 故x 0非 极 值 点 .
数形结合 §5.3. 函数的升降、凸性与极值
y
o a
x1
x2
x3 x4 x5
x6
x7 b
x
注3. 函数的极值的局部性. 定义中可以有
有时f ( x)在x0同时取极大、极小值. 也有时, 极小值比极大值可能还大.
2019年2月7日星期四 14
数形结合 §5.3. 函数的升降、凸性与极值
2. 如何确定函数f ( x)的极值?
f ( x) 0
f ( x)>0
3.3函数的单调性、凹凸性与极值

o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸 的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点 对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时, f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时, 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大,故在 x0 0 点的任何邻 域内,f ( x ) 都不单调递增.
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时,f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少; 当0 x 时, f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加;
单调区间为 ( ,0], [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论 仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个 数和证明不等式.
Chapter05.4-6函数极值、单调性、凹凸性、作图

f (x1)
O x1 x1+(1)x2 x2 x
曲线(函数图形)的凸性依函数的凸性相应定义!
二、等价定义
定理 设函数 f 在区间I上定义, 则下面3条等价: (i) f 为I上的凸函数; (ii) x1< x2 < x3I :
y
f (x)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) ; x2 x1 x3 x2
若f (x) 0, 且仅有限个点处f (x) = 0, 则f (x)严格单调增加. 函数单调区间求法
1) 求函数的驻点和不可导点;
2) 用上述点把函数定义域分成若干子区间; 3) 在子区间上讨论导函数的符号, 确定函数单调性. 例1 求函数f (x) = x2/3(x–5)的单调区间.
问题 f 在a, b处必定单侧连续吗?
定理4 设f (x)是区间I上的凸函数,则x1< x2I,有
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x1
推论 设f (x)是(a, b)内的凸函数, 则 f(x)和f+(x)在(a, b)内递增.
二、函数的极值和最值
1. 函数极值判别法
Fermat引理 可导的极值点一定是驻点! 极值也可能在不可导点取得,因此极值点一定包含在
§3.4 函数的单调性与凹凸性

为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6)绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
,其各点处的切线斜率为正,曲
线是上升的;对曲线段 为负,曲线是下降的.
,其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用
极值与凹凸性-文档资料

( 2 ) 若在 ( a , b ) 内 f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上是 .
例3 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解
y 3x2,
y 6x
, 曲线在 ( , 0 ] 上是凸的 ; 当x 0时 , 0 y , 所以
极小值点;
(3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
2 3 ) x ( 1 x ) 例1 求函数 f(x 的极值.
解
函数在其定义域 ( , )内连续.
f ( x ) ,( x 0 , 1 ) 2 3 3 x ( 1 x ) 1 3 x
1 当 x 0 与 x 1 时 , 得驻点 x . 导数不存在; 令 f(x )0 , 3
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数 取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅涉 及函数在一点附近的性质.
定理3.4 (极值的必要条件)
设 f ( x)在点 x 0 处可导, 且在 x 0处取得极值,
则必有 f (x ) 0 . 0
使得导数 f ( x ) 为零的点 , 称为函数 f ( x ) 的驻点.
( x , x ) ( x , x ) (3) 如果当 x 及x 时, 0 0 0 0
(x ) 0 , 则 f ( x) 在 x 0 处取得极小值; 有 f
f ( x) 符号相同,则 f ( x)在 x 0 处无极值.
y
y
o
x0
x
o
x0
x
是极值点情形
y
f( 2 ) 值 3 . f ( 2 ) 6 0 ,故极小
3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性(高等数学)

§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性教学内容:一.函数的单调性1.定理:设函数()f x 在区间I 上可导,对一切x I ∈有(1)()0f x '>,则函数()f x 在I 上单调增加;(2)()0f x '<,则函数()f x 在I 上单调减少.2.讨论函数单调性的步骤如下:(1) 确定()f x 的定义域;(2) 求f x '(),并求出()f x 单调区间所有可能的分界点(包括()0'=f x 的驻点、()'f x 不存在的点、()f x 的间断点),并根据分界点把定义域分成相应的区间;(3) 判断一阶导数()'f x 在各区间内的符号,从而判断函数在各区间中的单调性.二.曲线的凹凸性与拐点1.定义:设函数()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点1x 和2x ,总有1212()()22++⎛⎫< ⎪⎝⎭x x f x f x f ,则称在区间I 上的图形是凹的(或下凸的);如果总有1212()()22++⎛⎫> ⎪⎝⎭x x f x f x f ,则称在区间I 上的图形是凸的(或下凸的).2.定义:设函数()f x 在开区间(,)a b 内可导, 如果在该区间内()f x 的曲线位于其上任何一点切线的上方,则称该曲线在(,)a b 内是凹的,区间(,)a b 称为凹区间;反之,如果()f x 的曲线位于其上任一点切线的下方,则称该曲线在(,)a b 内是凸的,区间(,)a b 称为凸区间.曲线上凹凸区间的分界点称为曲线的拐点.注:拐点是位于曲线上而不是坐标轴上的点,因此应表示为00(,())x f x ,而0x x =仅是拐点的横坐标,若要表示拐点,必须算出相应的纵坐标0()f x .3.定理:设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内二阶可导,那么(1)若对(,)x a b ∀∈,()0f x ''>,则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的;(2)若对(,)x a b ∀∈,()0f x ''<,则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的.4.求函数的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数的连续区间(初等函数即为定义域);(2)求出函数二阶导数,并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点,划分连续区间;(3)依次判断每个区间上二阶导数的符号,确定每个区间的凹凸性,并进一步求出拐点坐标.。
第四节 函数单调性、凸凹性与极值

例2. 确定函数
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
2 解: f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
(2) 令 f '' ( x ) 0, 解出全部实根, 并求出使 f '' ( x )
不存在的点; (3) 对步骤(2)中求出的每一个点, 检查其邻近左、 右两侧二阶导数 f '' ( x ) 的符号, 确定曲线的凹凸 区间和拐点.
例8. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x3 12 x 2 ,
y f ( x ) 在 [a , b]上单调增加. 若在 (a , b )内, f ' ( x ) 0, 则 f ' ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
例 1 讨论函数 y e x 1 的单调性.
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
2 3 y x 例 3 讨论函数 的单调区间. 解 D : ( , ). y 32 ( x 0), 3 x 当 x 0 时, 导数不存在. 当 x 0 时,y 0, 在 ( ,0] 上单调减少; 当 0 x 时,y 0,
2
2 1 f ( x ) ln(1 x ) x x , 2 因为 f ( x ) 在 [0,) 上连续,在 (0, ) 内可导,
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O x0 x0 x0 x
极大值点
y
O x0 x0 x0 x
极小值点
y
O x0 x0 x0 x
不是极值点
y
O x0 x0 x0 x
y
• 极大值点
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
y
极小值点 y
2
2
那末称 f ( x)在(a, b)内的图形是凹的 ;
恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a, b)内的图形是凸的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
o
x1
x1 x2 2
x2 x
o x1 x1 x2 x2 x
2
2
y
y x3
O
在 (, 0)上 , y x3是凸的,
此时 y 0 .
在 (0, )上 ,
x
y x3 是凹的,
此时 y 0 .
y 3x2, y 6x, 有什么想法?
x 0 时, y 0, 点 (0, 0)是曲线凹凸性的分界点
3
能不能根据函数的二阶导数的 符号来判别函数所对应的曲线 的凸凹性呢?
0
f ( x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (2 3 ,1127)
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
凹的
13
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x) 的拐点. 想一想为什么?
12
例4 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
函数曲线的凹凸性
y
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
A
o
x
y
y f (x)
凹
y
y f (x)
凸
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
1
定义 设f ( x)在区间I上连续, 如果对 x1, x2 I ,
恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
21
y
极大值点 y 极小值点
y 不是极值点
则 在 I 内图形是凸的 .
利用函数在 x1 x2 一阶泰勒公式可得
2
f (x1)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(
x1
x1 x2 2
)
f
(1
2!
)
(
x1
x1
2
x2)2
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(x2
x1
2
x2)
e
y
)
e
x 2
y
.
2
证 令 f (t) et , t ( , ) ,
f (t) f (t) et 0 , t ( , ) ,
故 f (t) et 所对应的曲线在 ( , ) 内是凹的 . x, y ( , ) , 由曲线凹性的定义, 有
( 1 , ) 2
拐点:
(
1
1
,1e2 )
2
19
第三章 微分中值定 理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大,最 小值
20
一、函数极值的定义
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
4
四、曲线凹凸的判定
定理2 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
如何判断极值可疑点是否确为极值点?
25
首先考察下列函数的图形:
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大值点
极小值点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
24
使得函数导数不存在的点也是极值可疑点 .
例如, y | x | x (, )
y
y |x|
在点 x 0 处不可导 ,
但 x 0 恰好是它的极小 x) 0 的点 .
使 f ( x) 0 不存在的点 .
使 f ( x) 0 不连续点 .
拐点
10
五、曲线的拐点及其求法
1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 2.拐点的求法 定理 3 如果 f ( x)在U( x0 , )内存在二阶导数,则点
x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f ( x0 ) 0.
证 f ( x) 二阶可导, f ( x) 存在且连续,
极大值点
极小值点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
26
y
•
y
•
y
•
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大值点
极小值点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
通过观察以上的图形可以看出:
判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右 两侧函数的单调性. 对于可导函数将归结于判别函数的导数的符号.
5
分析 判别可微函数的凸凹性主要是对
1 2 ( f ( x1 ) f ( x2 ))
进行比较.
f ( x1 x2 ) 2
有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢?
6
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
x x
0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x x
0
f ( x) 0
x x0
f ( x)在x0两侧异号。
f ( x) 0 ( x x0 )
14
例5 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
11
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号,
f ( x)在 U( x0, )满足费马引理条件 f ( x0 ) 0.
拐点的求法 方法1: 设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0))不是拐点.
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
x2
7 4
.
f (3) 2 0,
4
f (7) 2 0,
4
在[0,2]内曲线有拐点为
(3 ,0), (7 ,0).
4
4
15
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
又拐点在曲线上, 其坐标满足曲线方程, 得:
10 2a 2.5 b 0 L L L L L L
联立 (1) , (2) 成方程组, 解之得
a 20 , 3
b4 . 3
(2)
18
练习
求函数 y 1 e x2的凹凸区间,拐点
凹区间:
(
1 2
,
1 2
)
凸区间:
( , 1 ) 2
Q f ( x0 ) 0,不妨设 f ( x0 ) 0