函数的凹凸性,极值

O x0 x0 x0 x
极大值点
y
O x0 x0 x0 x
极小值点
y
O x0 x0 x0 x
不是极值点
y
O x0 x0 x0 x
y
• 极大值点
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x

y
极小值点 y
2
2
那末称 f ( x)在(a, b)内的图形是凹的 ;
恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a, b)内的图形是凸的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
o
x1
x1 x2 2
x2 x
o x1 x1 x2 x2 x
2
2
y
y x3
O
在 (, 0)上 , y x3是凸的,
此时 y 0 .
在 (0, )上 ,
x
y x3 是凹的,
此时 y 0 .
y 3x2, y 6x, 有什么想法？
x 0 时, y 0, 点 (0, 0)是曲线凹凸性的分界点
3
能不能根据函数的二阶导数的 符号来判别函数所对应的曲线 的凸凹性呢？

0

f ( x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (2 3 ,1127)
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
凹的
13
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x) 的拐点. 想一想为什么？
12
例4 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1

0,
x2

2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
函数曲线的凹凸性
y
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
A
o
x
y
y f (x)
凹
y
y f (x)
凸
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
1
定义 设f ( x)在区间I上连续, 如果对 x1, x2 I ,
恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
21
y
极大值点 y 极小值点
y 不是极值点
则 在 I 内图形是凸的 .
利用函数在 x1 x2 一阶泰勒公式可得
2
f (x1)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(
x1
x1 x2 2
)
f
(1
2!
)
(
x1

x1
2
x2)2
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(x2

x1
2
x2)

e
y
)

e
x 2
y
.
2
证 令 f (t) et , t ( , ) ,
f (t) f (t) et 0 , t ( , ) ,
故 f (t) et 所对应的曲线在 ( , ) 内是凹的 . x, y ( , ) , 由曲线凹性的定义, 有
( 1 , ) 2
拐点：
(
1
1
,1e2 )
2
19
第三章 微分中值定 理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大,最 小值
20
一、函数极值的定义
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
4
四、曲线凹凸的判定
定理2 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
如何判断极值可疑点是否确为极值点?
25
首先考察下列函数的图形:
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大值点
极小值点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
24
使得函数导数不存在的点也是极值可疑点 .
例如, y | x | x (, )
y
y |x|
在点 x 0 处不可导 ,
但 x 0 恰好是它的极小 x) 0 的点 .
使 f ( x) 0 不存在的点 .
使 f ( x) 0 不连续点 .
拐点
10
五、曲线的拐点及其求法
1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 2.拐点的求法 定理 3 如果 f ( x)在U( x0 , )内存在二阶导数,则点
x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f ( x0 ) 0.
证 f ( x) 二阶可导, f ( x) 存在且连续,
极大值点
极小值点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
26
y
•
y

•

y
•

O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大值点
极小值点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
通过观察以上的图形可以看出:
判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右 两侧函数的单调性. 对于可导函数将归结于判别函数的导数的符号.
5
分析 判别可微函数的凸凹性主要是对
1 2 ( f ( x1 ) f ( x2 ))
进行比较.
f ( x1 x2 ) 2
有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢?
6
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
x x
0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x x
0
f ( x) 0
x x0
f ( x)在x0两侧异号。
f ( x) 0 ( x x0 )
14
例5 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
11
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号,
f ( x)在 U( x0, )满足费马引理条件 f ( x0 ) 0.
拐点的求法 方法1: 设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0))不是拐点.
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1

3 4
,
x2

7 4
.
f (3) 2 0,
4
f (7) 2 0,
4
在[0,2]内曲线有拐点为
(3 ,0), (7 ,0).
4
4
15
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
又拐点在曲线上, 其坐标满足曲线方程, 得:
10 2a 2.5 b 0 L L L L L L
联立 (1) , (2) 成方程组, 解之得
a 20 , 3
b4 . 3
(2)
18
练习
求函数 y 1 e x2的凹凸区间，拐点
凹区间：
(
1 2
,
1 2
)
凸区间：
( , 1 ) 2
Q f ( x0 ) 0，不妨设 f ( x0 ) 0
f
( x0 )

lim
xx_
0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
xx_
0
f ( x) 0 x x0
f ( x) 0 ( x x0 )
f
( x0 )

lim
16
求曲线 y f ( x) 拐点的一般步骤 :
( 1 ) 求 f ( x) 的定义域 (或确定讨论区间) ; (2) 计算 f ( x) , f ( x) , (如需要可求出 f ( x)) ; (3) 求拐点可疑点 :
使 f ( x) 0 的点和 f ( x) 不存在的点 ; (4) 根据定理判别可疑点是否确为拐点 .
1
(e x

e
y
)

e
x y 2
,
(x y) .
2
9
y
y x3
O
在 (, 0)上 , y x3是凸的,
此时 y 0 .
在 (0, )上 ,
x
y x3 是凹的,
此时 y 0 .
y 3x2, y 6x,
x 0 时, y 0,
点 (0, 0)是曲线凹凸性的分界点
f
(2
2!
)(
x2

x1
2
x2)2
两式相加
f (x1)
f
(
x2
)

2
f
(x1
2
x2)

1 2!
(
x2
2
x1
)
2
[
f
(1
)

f (2 )]
当 f (x) 0时,

f
( x1) 2
f
(x2 )

f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2)
7
例2 判别曲线 y 1 的凹凸性. x
例6 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y


4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
解 函数的定义域为 ( , 0) U (0, ) .
因为
y


1 x2
,
y

2 x3
,
所以
x ( , 0) 时,y 0 , y 1 为凸的 , x
x (0, ) 时 ,y 0 ,y 1 为凹的 . x
8
例3
证明 : x y 时 ,
1
(e x
• 不是极值点
•
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 22x
通过观察以上的图形: 一阶导数为零的点 一阶导数不存在的点 函数不连续的点
是函数可能取得极值的点。
23
二、函数极值的求法
定理1(必要条件)设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且
17
例7 已知点 (2, 2.5) 为曲线 x2 y a x b y 0 的拐点 ,
求 a, b 的值 .
解 由题意 : x2 b 0 . 由隐函数求导法则 , 得
y


2x x2
ya b
,
y
6 x2 y 4 a x 2 by ( x2 b)2
,
由拐点的必要条件得: y1 0 . 以 x 2 , y 2.5 代入得 : 60 8a 5b 0 L L L L L L L (1)
在 x0处取得极值,那末必定 f (x0) 0.
实质上就是费马定理 .
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫
做函数 f ( x)的驻点.
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.