函数的凹凸性,极值

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函数的性质函数的极值与最值

故每月每套租金为350元时收入最高. 最高收入为
又R( x ) 0 x 350是唯一极值点且是极大值点.
350 R( x ) (350 20)(68 ) 10890 (元 ) 10
25
小结与习题
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点都是可能极值点,也称为临界点.
2
令 y 0 , 得函数有唯一的驻点 h 2r . 2 2r 2r 0 h 时, y( h) 0, h 时, y ( h) 0, 2 2 2r h 是函数的极大值点,且为最大值点, 2
2r 因而高度 h 时,桌面边缘的照度最强. 2
20
例 (补充) 铁路线上AB段
3 2 求函数 y 2 x 3 x 12 x 25 在区间 [2, 4]
上的最大和最小值. 解函数可能的极值点是 x1 1, x2 2. 且 f ( 1) 32, f (2) 5, 又 f ( 2) 21, f (4) 57,
由此可得,函数在区间 [2, 4] 上的最大值是
例2 求函数 y (2 x 5) x
解由上一节，已知
5 3 2 3
2 3
的极值.
2 3 1 3
10 10 y (2 x 5 x ) x x 3 3

1 0
10( x 1) 3x
1 3
,
注意: 题中有不可导点,因而不能用第二充分条件,列表
x
y
y
(, 0)
0
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
若目标函数只有唯一的极值点,则极大值即为最大值,极小值即为最小值.
23
例

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

10
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0，得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2

4.4-5 函数的单调性,极最值,凹凸性,拐点

例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点（由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点找出 a, b f （一般有限个）：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)

2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!

《函数的凹凸性》课件

凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商品的需求和供给关系，以及价格和产量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用方法之一，通过计算函数的二阶导数并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下凸出的弧形线，则该函数是凹的；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例，通过绘制该函数的图像可以观察到，该函数在$x < 0$时图像向下凸出，因此函数$f(x) = x^4

函数的单调性与凹凸性

单调性与导数的关系
单调性是导数的一个应用，如果函数在某区间内单调递增或递减，则该函数的导数在此区间内非负或非正。
导数的符号决定了函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。
02 函数的凹凸性
凹函数与凸函数
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称 $f(x)$在区间$I$上为凹函数。
求解方法
通过导数判断函数的单调性，并结合端点值进行比较。
应用
在物理学、化学等领域中，常需要求解函数在开区间上的最值问题，以解释某些现象或预测结果。
无界区间上的最值问题
定义
在无界区间上，函数可能没有最大值或最小值。
求解方法
通过导数判断函数的增减性，并考虑无穷远处的情况。
应用
在数学分析、实变函数等领域中，常需要研究函数在无界区间上的最值问题，以深入理解函数的性质和行为。
减函数
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单调性的判断方法
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
在分析力学系统的运动规律时，利用函数的单调性和凹凸性，可以判断系统的稳定性和运动状态。
电路分析
在电子和电路工程中，利用函数的单调性和凹凸性，可以分析电路的工作状态和性能，优化电路设计。

函数的凹凸性与极值点

函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。

通过研究函数的凹凸性和极值点，我们可以更加深入地理解函数的性质，进而应用于许多实际问题的求解中。

本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。

一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。

假设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＜f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＞f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。

凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状，凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷，而凸函数则相反，底部向下凸起。

函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。

二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。

如果函数f(x)在区间I上连续，那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系：1. 如果f'(x)在区间I上单调递增，那么f(x)在区间I上是凹函数；2. 如果f'(x)在区间I上单调递减，那么f(x)在区间I上是凸函数；3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零，那么f(x)在区间I上是凸函数；4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零，那么f(x)在区间I上是凹函数。

通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数的凹凸性质。

这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。

三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。

对于函数f(x)，如果存在某一点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x0)是函数的最大值或最小值，则称x0是函数f(x)的极值点。

对于可导的函数f(x)，我们可以通过导数来判断函数的极值点：1. 若f'(x0) = 0，且f''(x0)存在，则x0是函数f(x)的驻点。

2. 若f'(x0) = 0，且f''(x0) > 0，则x0是函数f(x)的极小值点。

《函数凹凸性》课件

几何意义
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为凸函数。这种方法适用于一阶导数容易计算或形式较为简单的函数。

函数的凹凸性与极值探讨

函数的凹凸性与极值探讨函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。

以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。

同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。

●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。

2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。

这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。

●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。

3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。

然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。

●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。

对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。

然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。

●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。

即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。

34 函数的单调性、凹凸性与极值

(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时，导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形上任意弧段位于所张弦的上方
定义设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2

极值的判定方法详解

极值的判定方法详解极值是数学中一个重要的概念，它在优化问题、微积分和数学建模等领域中有着广泛的应用。

判定一个函数的极值是数学分析中的基本问题之一，本文将详细介绍极值的判定方法。

一、极值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，都有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值或极小值，同时称x0为极值点。

二、一阶导数法判定极值一阶导数法是判定极值的常用方法之一。

根据函数的导数可以判断函数在某一点的增减性，从而判定极值。

1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f'(x0)=0。

这是极值点的必要条件，但不是充分条件。

2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。

三、二阶导数法判定极值二阶导数法是判定极值的另一种常用方法。

通过函数的二阶导数可以判断函数在某一点的凹凸性，从而判定极值。

1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f''(x0)=0。

这是极值点的必要条件，但不是充分条件。

2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。

四、边界点和无界区间的极值判定除了在内部点判定极值外，还需要考虑函数在边界点和无界区间的极值情况。

1. 边界点的极值判定若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且在a处或b处的导数不存在，则f(x)在[a, b]上的极值点可能出现在a或b处。

2. 无界区间的极值判定若函数f(x)在区间(-∞, +∞)上连续，在(-∞, +∞)内可导，且当x→±∞时，f(x)趋于某个常数L，则f(x)在(-∞, +∞)上的极值点可能出现在x→±∞时。

函数的最值及凹凸性

定义4.3曲线凹凸的分界点称为曲线的拐点；
注意：拐点处 =0或者不存在；
例：求曲线的凹凸区间与拐点；
令 =0，得，
则曲线在，为凹的；
曲线在为凸的；
为拐点；
例2：求曲线的凹凸性及拐点；
解：求导数
当x=2时，不存在（也可能是拐点）
则曲线在为凸的；
曲线在为凹的；
为拐点；
3．其他例题
例：设曲线在x=1处取极小值，(0,2)为其拐点试确定常数a,b,c的值
注意：前提是可导的，若不可导，需要另外讨论？
凹凸性如何判断，从图形分析问题。
，由小变大由大变小
小，小小，大
单调上升单调下降
>0 >0
2.曲线凹凸性的判别方法
定理4.7假设函数在区间内具有二阶导数，那么
（1）若，恒有 >0，则曲线在区间内是凹的；
（2）若，恒有 <0，则曲线在区间内是凸的；
实际问题的最值
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
例2：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解：设房租为每月元，
租出去的房子有套，
每月总收入为：
解：(0,2)为曲线拐点，则2=c；
，因为x=1处取极小值，则；
，因为(0,2)为拐点，则
则：a=0，b=-3，c=2
小结：
1）凹凸性的定义；
2）凹凸性的判定；
课外作业
教学后记
§4.6曲线的凹凸性及其拐点
1．曲线的凹凸性

3.3函数的单调性、凹凸性与极值

y y
o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时， f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时， 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少；当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.

高数课件14凹凸性

凹凸性与光滑性的应用：在优化问题、微分方程等领域有广泛应用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐点
利用极限判断：如果极限存在且大于0，则为凹函数；如果极限存在且小于0，则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处为凸函数
负二阶导数：函数在该点处为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数在某点附近的局部性质，与函数的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数在某点附近的局部性质，与函数的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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函数的单调性与极值、最值

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金融问题
在投资组合理论中，凹凸性可以用来描述投资组合的风险和回报之间的关系。投资者可以根据自己的风险承受能力和投资目标，选择合适的投资组合策略。
05 函数的拐点
函数拐点定义
函数拐点是指函数图像上凹凸性发生变化的点，即函数的一阶导数在该点为零或不存在的点。
在数学上，函数拐点的定义是函数在某点的二阶导数为零的点，即$f''(x)=0$。
最值的求法
代数法
通过求导数、找驻点、判断单调性等方法来求解最值。
无穷区间法
利用极限的思想，将函数在无穷区间上的最值转化为有限区间上的最值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值和最小值。
最值在实际问题中的应用
01
优化问题
在生产、运输、分配等实际问题中，常常需要通过求解最值来达到最优解。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如果任意两点之间的函数值都满足增减性条件，则函数在该区间内单调。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果在图像上随着$x$的增大，$y$的值也增大（或减小），则函数在该区间内单调递增（或递减）。
Hale Waihona Puke 单调性在实际问题中的应用单调性与最值
单调性与优化问题
在解决优化问题时，可以利用函数的单调性来找到最优解。例如，在求解最大值或最小值问题时，可以利用函数的单调性来确定搜索区间，从而缩小搜索范围，提高求解效率。
02 函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数在某点的值比其邻近点的值大或小的点。
极大值
函数在某点的值比其左侧邻近点的值大，比其右侧邻近点的值小。

Chapter05.4-6函数极值、单调性、凹凸性、作图

在x0 = 0的情形！定理(第II判别法) 设f (x)在x0二阶可导, 且f '(x0) = 0, 则 f "(x0) < 0时, f (x0) 为极大值; f "(x0) > 0时, f (x0) 为极小值. 当f (x0) = 0时, 判别法失效！注意前提条件f (x0) = 0, 即x0是驻点！
f (x1)
O x1 x1+(1)x2 x2 x
曲线(函数图形)的凸性依函数的凸性相应定义！
二、等价定义
定理设函数 f 在区间I上定义, 则下面3条等价： (i) f 为I上的凸函数； (ii) x1< x2 < x3I ：
y
f (x)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) ; x2 x1 x3 x2
若f (x) 0, 且仅有限个点处f (x) = 0, 则f (x)严格单调增加. 函数单调区间求法
1) 求函数的驻点和不可导点;
2) 用上述点把函数定义域分成若干子区间; 3) 在子区间上讨论导函数的符号, 确定函数单调性. 例1 求函数f (x) = x2/3(x–5)的单调区间.
问题 f 在a, b处必定单侧连续吗？
定理4 设f (x)是区间I上的凸函数，则x1< x2I，有
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x1
推论设f (x)是(a, b)内的凸函数, 则 f(x)和f+(x)在(a, b)内递增.
二、函数的极值和最值
1. 函数极值判别法
Fermat引理可导的极值点一定是驻点！极值也可能在不可导点取得，因此极值点一定包含在

§3.4 函数的单调性与凹凸性

为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6）绘图
(极大)
无定义
(极小)
铅直渐近线斜渐近线特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当如果当 (2) 如果当如果当 (3) 如果在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
，其各点处的切线斜率为正，曲
线是上升的；对曲线段为负，曲线是下降的．
，其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用

极值与凹凸性-文档资料

( 2 ) 若在 ( a , b ) 内 f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上是 .
例3 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解
y 3x2,
y 6x
, 曲线在 ( , 0 ] 上是凸的 ; 当x 0时， 0 y , 所以
极小值点;
(3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
2 3 ) x ( 1 x ) 例1 求函数 f(x 的极值.
解
函数在其定义域 ( , )内连续.
f ( x ) ,( x 0 , 1 ) 2 3 3 x ( 1 x ) 1 3 x
1 当 x 0 与 x 1 时 , 得驻点 x . 导数不存在; 令 f(x )0 ， 3
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅涉及函数在一点附近的性质.
定理3.4 (极值的必要条件)
设 f ( x)在点 x 0 处可导, 且在 x 0处取得极值,
则必有 f (x ) 0 . 0
使得导数 f ( x ) 为零的点 , 称为函数 f ( x ) 的驻点.
( x , x ) ( x , x ) (3) 如果当 x 及x 时, 0 0 0 0
(x ) 0 , 则 f ( x) 在 x 0 处取得极小值; 有 f
f ( x) 符号相同,则 f ( x)在 x 0 处无极值.
y
y

o
x0

x
o
x0
x
是极值点情形
y

f( 2 ) 值 3 . f ( 2 ) 6 0 ,故极小

高中数学曲线的凹凸性解题技巧

高中数学曲线的凹凸性解题技巧在高中数学中，曲线的凹凸性是一个重要的概念，它与函数的二阶导数有关。

凹凸性的判断对于解题和理解函数的性质都具有重要意义。

本文将介绍凹凸性的基本概念和解题技巧，并通过具体的题目举例说明。

一、凹凸性的基本概念1. 凹函数和凸函数在数学中，对于函数f(x)，如果对于任意的x1和x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么称f(x)是凹函数；如果对于任意的x1和x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么称f(x)是凸函数。

2. 凹凸性的判断对于函数f(x)，如果它的二阶导数f''(x)满足以下条件：- 当f''(x)>0时，函数f(x)是凹函数；- 当f''(x)<0时，函数f(x)是凸函数。

二、解题技巧在解题过程中，我们可以通过以下几个方面来判断函数的凹凸性。

1. 寻找关键点首先，我们需要找到函数的关键点，即函数的极值点和拐点。

极值点是函数的局部最大值或最小值，拐点是函数曲线的凹凸性发生变化的点。

2. 计算一阶导数和二阶导数其次，我们需要计算函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。

一阶导数可以帮助我们找到函数的极值点，二阶导数可以判断函数的凹凸性。

3. 判断凹凸性根据二阶导数的正负性，我们可以判断函数的凹凸性：- 当f''(x)>0时，函数在该点附近是凹函数；- 当f''(x)<0时，函数在该点附近是凸函数。

三、举例说明现在我们通过一个具体的例子来说明凹凸性的解题技巧。

例题：已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求函数f(x)的凹凸区间和拐点。

解析：1. 寻找关键点为了找到函数的关键点，我们首先需要计算一阶导数和二阶导数。

f'(x)=3x^2-6x-9f''(x)=6x-62. 计算一阶导数和二阶导数将一阶导数和二阶导数分别置零，解方程得到关键点：3x^2-6x-9=06x-6=0解得x=-1和x=3/2，这两个点分别为函数的极值点和拐点。