线性代数—向量组的秩

基本问题： 基本问题：
给定一个向量组，求它的一个极大无关组， 给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并 将其余向量用这个极大无关组线性表示。 将其余向量用这个极大无关组线性表示。
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例1 设向量组
− 1 1 0 1 2 − 1 2 1 3 6 α1 = ,α 2 = ,α 3 = ,α 4 = ,α 5 = , 0 1 1 2 4 0 − 1 − 1 1 − 1
1 0 1 L 1 1 , L L L L L 1 1 L 1 0 1 1 L 1
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0 A= 1
1 0
1 L 1 1 L 1
1 1 = (s −1)
1 1 1
1 L 1
1 1
0 1 L 1
L L L L L L 1 1 1 L 1 0 1 1 1 L 1
L L L L L L 1 1 1 L 1 0
1 − 1 5 − 1 1 1 − 2 3 α1 = , α 2 = , α 3 = , α4 = . 3 8 1 −1 1 3 − 9 7
(1) 若向量组 Ⅰ)能被向量组 Ⅱ)线性表出 则秩 Ⅰ) ≤ 秩(Ⅱ). 若向量组(Ⅰ 能被向量组 能被向量组(Ⅱ 线性表出 则秩(Ⅰ 线性表出, Ⅱ (2) 等价的向量组必有相同的秩 ,且可由向量组 β ,L, β 等价的向量组必有相同的秩. 若向量组α1 ,L, α s 线性无关, 线性无关 1 t
求一个极大无关组， 求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组 线性表示. 线性表示 0 1 2 −1 1 解 1 3 6 −1 2 (α 1 ,α 2 , α 3 , α 4 ,α 5 ) = 0 1 1 2 4 0 − 1 − 1 1 − 1 只做行变换， 只做行变换，化为阶梯形
r ( AB ) = r ( BT AT ) ≤ r ( BT ) = r (B ) , 同时， 同时，
∴ r ( AB ) ≤ min{r ( A) , r ( B )} .
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推论 若P,Q为可逆矩阵,则有 r ( PA) = r ( AQ ) = r ( A) . 为可逆矩阵, , 为可逆矩阵 证
x1 1 x2 = 2 , x 1 3
∴ α 5 = α 1 + 2α 2 + α 4 .
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求下面向量组的秩和一个极大线性无关组， 例2 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将 其余向量用此极大线性无关组线性表示 其余向量用此极大线性无关组线性表示
的每个列向量是A的列向量组的线性组合 即AB的每个列向量是 的列向量组的线性组合 的每个列向量是 的列向量组的线性组合,
若向量组(Ⅰ 能被向量组 能被向量组(Ⅱ 线性表出 则秩(Ⅰ 线性表出, 若向量组 ≤ r ( A) ， Ⅱ 故 r ( AB )Ⅰ)能被向量组 Ⅱ)线性表出 则秩 Ⅰ) ≤ 秩(Ⅱ).
线性表出， 线性表出，则 s ≤ t .
5
定义 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩; 矩阵的 列向量组的秩称为矩阵的列秩。 定理 矩阵的秩。 矩阵的行秩 = 矩阵的列秩 = 矩阵的秩。 证略
矩阵的秩， 由于矩阵的行秩 = 矩阵的列秩 = 矩阵的秩， 将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算。 向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算。 的计算 矩阵的秩的计算
线性相关, 线性无关, 由于α1 ,L, αr 线性无关, 而 α 1 , L , α r , α k 线性相关,
定理 若向量组 , α 线性表出, 故αk 可由α1 ,Lα1 r,线性表出, 从而 (Ⅰ而 β ,α1 ,L, α s Ⅰ 线性无关, 可由(Ⅱ 线性表出. L, α s 线性无关, ) 可由 Ⅱ) 线性表出
必线性相关, 而 α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 必线性相关,
是一个极大无关组. 故 α 1 ,α 2 , α 3 是一个极大无关组.
也是一 极大无关 无关组 α 2 ,α 3 ,α 4 也是一个极大无关组.
3
定理 一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身 等价. 等价 证明 设该向量组为α1 ,L, α s (Ⅰ , 而α1 ,L, αr (r ≤ s) (Ⅱ ) )
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0 −1 1 1 −1 2 = 0 1 1 0 −1 −1
−1 0 → 0 0 1 0 1 1 1 2
2 −1 6 0 → 0 2 4 0 1 − 1 1 3
2 4 1 1 2 4 1 1 − 1 1 1 0 1 1 1 2
1 0 1 2 1 1 2 4 , 0 0 1 1 0 0 0 0
α 3 = x1α 1 + x 2α 2 + x 3α 4 ,
−1 0 A→ 0 0 1 1 0 1 2 1 , 0 1 0 0 0 0
x1 1 x2 = 1 , x 0 3
是它的一个极大无关组, 是它的一个极大无关组,
首先, Ⅱ 是 Ⅰ 的部分组 当然可以被(Ⅰ 线性表出 的部分组, 线性表出. 首先 (Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组 当然可以被 Ⅰ)线性表出
其次,(Ⅰ 中α 1 ,L, α r 可由(Ⅱ 线性表出, 可由( )线性表出, 其次, ) ,L
其余的向量 α k ( r + 1 ≤ k ≤ n) ,
第四节
1
线性) 定义 一个向量组的一个部分组称为一个极大(线性) 如果它是线性无关的, 无关组,如果它是线性无关的,但再任意添一个向量 如果还有的话)所得向量组线性相关. (如果还有的话)所得向量组线性相关.
☎
一个线性无关的向量组, 一个线性无关的向量组 它的极大无关组就是 它本身. 它本身
☎
任何一个向量组, 只要它含有非零向量, 任何一个向量组 只要它含有非零向量 就一定 有极大无关组. 有极大无关组
所以 A − E = O , 即 A = E .
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练习： 练习：
P141 习题三
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2
例如， 例如，设有向量组
α 1 = (1,0,2) , α 2 = (0,1,1) , α 3 = ( 3,−1,4) , α 4 = (1,1,1) ，
1 0
T 1 T 2 T 3
3
det(α ,α , α ) = 0 1 − 1 = −1 ≠ 0 , 2 1 4
线性无关, 即 α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关,
r ( AB ) ≤ min{r ( A) , r ( B )} .
证
设 A = (α1 ,α 2 ,L,α n ) ,
b11 b21 B= M b n1
M b1 s M b2 s , M M M bns
则 AB = ( b11α 1 + L + bn1α n , L , b1 sα 1 + L + bnsα n ) ,
因此 (Ⅰ) 与 β 等价. Ⅰ 线性相关, (Ⅱ 等价 线性表出,且表法唯一。 线性相关,则Ⅱ) 能由α 1 ,L, α s 线性表出,且表法唯一。
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由等价的传递性可知, 由等价的传递性可知 一个向量组的任两个极大 可知 无关组彼此等价, 由前面性质 可知, 无关组彼此等价 由前面性质6可知 向量组任意两个极大无关组所包含的向量个数相同。 向量组任意两个极大无关组所包含的向量个数相同。 (6) 两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同 两个线性无关且彼此等价的向量组， 个数的向量. 个数的向量 定义 向量组的任一极大无关组所包含的向量的个数 称为向量组的秩 称为向量组的秩。 规定：只含零向量的向量组的秩为零. 规定：只含零向量的向量组的秩为零. 性质： 性质：
1 − 1 5 − 1 0 2 − 7 4 → , 0 0 0 0 0 0 0 0
∴极大无关组为 α1，α 2 ，
秩为2。 秩为 。
3 7 α 3 = α 2 − α 2 , α 4 = α 1 + 2α 2 . 2 2
12
定理 设矩阵 ,B可以相乘,则有 设矩阵A, 可以相乘 可以相乘,
∴ α 3 = α1 + α 2 ,
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−1 0 → 0 0
1 0 1 2 1 1 2 4 , 0 0 1 1 0 0 0 0
α 5 = x1α 1 + x2α Biblioteka Baidu + x3α 4 ,
−1 0 A→ 0 0 1 1 2 1 2 4 , 0 1 1 0 0 0
证明： β s = α1 + α 2 + L + α s −1 ，证明：向量组α1 , α 2 ,L, α s 与向 有相同的秩。 量组 β 1 , β 2 ,L, β s 有相同的秩。 ( s ≥ 2)
证
( β1 , β 2 ,L, β s ) = (α1 , α 2 ,L,α n ) A ,
0 1 其中 A = L 1
1
0 −1 0 L 0 0 = (s −1) = ( s − 1)( −1) s −1 ≠ 0 , L L L L L L 0 0 0 L 0 −1
所以A可逆， 可逆，所以 α 1 , α 2 , L , α s 与 β 1 , β 2 , L , β s 有相同的秩。 有相同的秩。
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例4
阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，B 为 m × n 阵， r ( B ) = n ，
⇒ r ( A) = r ( B ) . A = P −1 B ⇒ r ( A) ≤ r ( B )
B = PA ⇒ r ( B ) ≤ r ( A)
或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明。 或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明。
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例3 设 β 1 = α 2 + α 3 + L + α s , β 2 = α 1 + α 3 + L + α s , L ,
1 0 1 2 1 1 2 4 , 0 0 1 1 0 0 0 0
2 −1 4 0 → 0 0 0 0 0 0 0 0 − 3 − 3
所以
为一个极大无关组， α 1 , α 2 , α 4 为一个极大无关组，
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−1 0 → 0 0
解
− 1 1 − 1 5 − 1 1 −1 5 1 1 − 2 3 0 2 − 7 4 3 −1 8 → 0 2 − 7 4 1 1 3 − 9 7 0 4 − 14 8
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− 1 1 − 1 5 − 1 1 −1 5 1 1 − 2 3 0 2 − 7 4 3 −1 8 → 0 2 − 7 4 1 1 3 − 9 7 0 4 − 14 8
试证明： 若 BA = B ，试证明： A = E 。
证 BA = B , ⇒ B ( A − E ) = O ,
的解向量， A − E 的列向量可看作齐次线性方程组 Bx = θ 的解向量，
仅有零解， 因为 r ( B ) = n ，所以 Bx = θ 仅有零解，
的列向量均为零向量， 即 A − E 的列向量均为零向量，