高等代数第九章 8第八节 酉空间介绍
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首先由内积的定义可得到 首先由内积的定义可得到 内积的定义 1) (α , kβ ) = k (α , β ) 2) (α, β+γ)=(α, β)+(α, γ) 和在欧氏空间中一样 因为(α, 和在欧氏空间中一样，因为 α)≥0，故可定 欧氏空间中一样， ， 向量α的长度 的长度. 义向量 的长度 3) (α , α ) 叫做向量 的长度，记为 叫做向量α的长度，记为|α|. 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立， 布涅柯夫斯基不等式仍然成立 4) 柯西 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于 任意的向量α, 有 任意的向量 β有 |(α, β)|≤|α||β| 当且仅当α, 线性相关 线性相关时 等式才成立. 当且仅当 β线性相关时，等式才成立
则 (Aα, β)=(α, Aβ). A也是对称变换 也是对称变换 也是对称变换.
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10) V是酉空间，V1是子空间，V1⊥是V1的正交补， 是酉空间， 子空间， 正交补， 则 V=V1⊕V1⊥ . 又设V 对称变换的不变子空间， 又设 1是对称变换的不变子空间，则V1⊥也是 不变子空间. 不变子空间 埃尔米特矩阵的特征值为实数 它的属于不同 为实数. 11) 埃尔米特矩阵的特征值为实数 它的属于不同 的特征值的特征向量必正交 特征值的特征向量必正交. 酉矩阵C 12) 若A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 ，使 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵
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注意：酉空间中的内积(α, 一般是复数， 中的内积 一般是复数 注意：酉空间中的内积 β)一般是复数，故 向量之间不易定义夹角， 向量之间不易定义夹角，但我们仍引入 向量α, ， 时称为正交 5) 向量 β，当(α, β)=0时称为正交或互相垂直 时称为正交或互相垂直. 正交基和 在n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准 维酉空间中 同样可以定义正交基 正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要 正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要 标准正交基也有下述 性质： 性质： 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程 线性无关的向量可以用施密特过程正 6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正 交化，并扩充为一组标准正交基. 交化，并扩充为一组标准正交基
C −1 AC = C T AC
对角形矩阵. 是对角形矩阵
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13) 设A为埃尔米特矩阵，二次齐次函数 为埃尔米特矩阵，
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ∑ ∑ aij xi x j = X ′AX
i =1 j =1
n
n
叫做埃尔米特二次型 必有酉矩阵 酉矩阵C 叫做埃尔米特二次型. 必有酉矩阵 ，当X=CY时 埃尔米特二次型 时
f ( x1 , x 2 , L , x n ) = d 1 y1 y1 + d 2 y2 y 2 + L + d n y n yn .
它可以叫做埃尔米特二次型的标准型 它可以叫做埃尔米特二次型的标准型. 埃尔米特二次型
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定义14 设V是复数域上的一个线性空间，在V上 上的一个线性空间 定义 是复数域上的一个线性空间， 上 定义了一个二元复函数 称为内积 记作(α, 二元复函数， 内积， 定义了一个二元复函数，称为内积，记作 β) ， 它具有以下性质 性质: 它具有以下性质 1) (α , β ) = ( β , α ) ，这里 ( β , α ) 是(β, α)的共轭复数 的共轭复数; 2) (kα, β)=k(α, β); 3) (α+β, γ)=(α, γ)+(β, γ); ; 当且仅当α=0. 4) (α, α)≥0是非负实数 ，且(α, α)=0当且仅当 是 当且仅当 这里α, 这里 β, γ是V中任意的向量，k是任意复数，这样 是 中任意的向量， 是任意复数， 称为酉空间 线性空间称为酉空间. 的线性空间称为酉空间.
第八节
酉空间介绍
欧氏空间是专门对实数域上的线性空间. 酉 欧氏空间是专门对实数域上的线性空间 空间实际就是复数域上的欧氏空间. 空间实际就是复数域上的欧氏空间 实际就是复数域上的欧氏空间 这一节都是在复数域上讨论，下面不再重述. 这一节都是在复数域上讨论，下面不再重述 复数域上讨论 在酉空间中有些概念与性质与欧氏空间一样， 酉空间中有些概念与性质与欧氏空间一样， 一样 但是大部分概念与性质与欧氏空间是 完全一样 但是大部分概念与性质与欧氏空间是不完全一样 大部分概念与性质 结论是平行的 主要是复数的特征所起的 是平行的， 复数的特征 的，但结论是平行的，主要是复数的特征所起的 掌握与 酉空间和 作用. 希望大家掌握 区分酉空间 欧氏空间的 作用 希望大家掌握与区分酉空间和欧氏空间的 概念与本质. 概念与本质
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线性空间C 例1 在线性空间 n，对向量
α = (a1 , a 2 , L , a n ) , β = (b1 , b2 , L , bn )
定义内积为 定义内积为 内积
(α , β ) = a1 b1 + a2 b2 + L + an bn
(1)
显然，内积(1)满足定义14中的条件. 这样C (1)满足定义14中的条件 显然，内积(1)满足定义14中的条件 这样 n就成 为一个酉空间 酉空间. 为一个酉空间 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似， 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似， 酉空间的讨论 的讨论很相似 有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要 有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要 只简单地列出 的结论，而不详细论证. 的结论，而不详细论证
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表示以A的元素的 的元素的共轭复 7) 对n级复矩阵 ，用 A 表示以 的元素的共轭复 级复矩阵A， 作元素的矩阵. 就把A 数作元素的矩阵 如A满足 A ′ A = AA ′ = E，就把 满足 叫做酉矩阵 它的行列式的绝对值等于1. 酉矩阵. 行列式的绝对值等于 叫做酉矩阵 它的行列式的绝对值等于 两组标准正交基的过渡矩阵就是酉矩阵. 就是酉矩阵 两组标准正交基的过渡矩阵就是酉矩阵 类似于欧氏空间 正交变换和对称矩阵， 欧氏空间的 类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以 引进酉空间 酉空间的 变换和埃尔米特矩阵， 引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵，它们分别具 有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把它 正交变换和对称矩阵的一些重要性质， 的一些重要性质 列举啊下面： 列举啊下面： 酉空间V的线性变换 的线性变换A， 8) 酉空间 的线性变换 ，满足 (Aα, Aβ)=(α, β), 就称为V的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下的 的一个酉变换 就称为 的一个酉变换 酉变换在标准正交基下的 矩阵是酉矩阵 酉矩阵. 矩阵是酉矩阵
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如矩阵A满足 9) 如矩阵 满足
AT = A 则叫做埃尔米特 埃尔米特(Hermite)矩阵 在酉空间 n中令 矩阵. 则叫做埃尔米特 矩阵 在酉空间C
x1 x2 A = M x n x1 x2 A M x n
首先由内积的定义可得到 首先由内积的定义可得到 内积的定义 1) (α , kβ ) = k (α , β ) 2) (α, β+γ)=(α, β)+(α, γ) 和在欧氏空间中一样 因为(α, 和在欧氏空间中一样，因为 α)≥0，故可定 欧氏空间中一样， ， 向量α的长度 的长度. 义向量 的长度 3) (α , α ) 叫做向量 的长度，记为 叫做向量α的长度，记为|α|. 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立， 布涅柯夫斯基不等式仍然成立 4) 柯西 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于 任意的向量α, 有 任意的向量 β有 |(α, β)|≤|α||β| 当且仅当α, 线性相关 线性相关时 等式才成立. 当且仅当 β线性相关时，等式才成立
则 (Aα, β)=(α, Aβ). A也是对称变换 也是对称变换 也是对称变换.
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10) V是酉空间，V1是子空间，V1⊥是V1的正交补， 是酉空间， 子空间， 正交补， 则 V=V1⊕V1⊥ . 又设V 对称变换的不变子空间， 又设 1是对称变换的不变子空间，则V1⊥也是 不变子空间. 不变子空间 埃尔米特矩阵的特征值为实数 它的属于不同 为实数. 11) 埃尔米特矩阵的特征值为实数 它的属于不同 的特征值的特征向量必正交 特征值的特征向量必正交. 酉矩阵C 12) 若A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 ，使 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵
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注意：酉空间中的内积(α, 一般是复数， 中的内积 一般是复数 注意：酉空间中的内积 β)一般是复数，故 向量之间不易定义夹角， 向量之间不易定义夹角，但我们仍引入 向量α, ， 时称为正交 5) 向量 β，当(α, β)=0时称为正交或互相垂直 时称为正交或互相垂直. 正交基和 在n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准 维酉空间中 同样可以定义正交基 正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要 正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要 标准正交基也有下述 性质： 性质： 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程 线性无关的向量可以用施密特过程正 6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正 交化，并扩充为一组标准正交基. 交化，并扩充为一组标准正交基
C −1 AC = C T AC
对角形矩阵. 是对角形矩阵
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13) 设A为埃尔米特矩阵，二次齐次函数 为埃尔米特矩阵，
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ∑ ∑ aij xi x j = X ′AX
i =1 j =1
n
n
叫做埃尔米特二次型 必有酉矩阵 酉矩阵C 叫做埃尔米特二次型. 必有酉矩阵 ，当X=CY时 埃尔米特二次型 时
f ( x1 , x 2 , L , x n ) = d 1 y1 y1 + d 2 y2 y 2 + L + d n y n yn .
它可以叫做埃尔米特二次型的标准型 它可以叫做埃尔米特二次型的标准型. 埃尔米特二次型
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定义14 设V是复数域上的一个线性空间，在V上 上的一个线性空间 定义 是复数域上的一个线性空间， 上 定义了一个二元复函数 称为内积 记作(α, 二元复函数， 内积， 定义了一个二元复函数，称为内积，记作 β) ， 它具有以下性质 性质: 它具有以下性质 1) (α , β ) = ( β , α ) ，这里 ( β , α ) 是(β, α)的共轭复数 的共轭复数; 2) (kα, β)=k(α, β); 3) (α+β, γ)=(α, γ)+(β, γ); ; 当且仅当α=0. 4) (α, α)≥0是非负实数 ，且(α, α)=0当且仅当 是 当且仅当 这里α, 这里 β, γ是V中任意的向量，k是任意复数，这样 是 中任意的向量， 是任意复数， 称为酉空间 线性空间称为酉空间. 的线性空间称为酉空间.
第八节
酉空间介绍
欧氏空间是专门对实数域上的线性空间. 酉 欧氏空间是专门对实数域上的线性空间 空间实际就是复数域上的欧氏空间. 空间实际就是复数域上的欧氏空间 实际就是复数域上的欧氏空间 这一节都是在复数域上讨论，下面不再重述. 这一节都是在复数域上讨论，下面不再重述 复数域上讨论 在酉空间中有些概念与性质与欧氏空间一样， 酉空间中有些概念与性质与欧氏空间一样， 一样 但是大部分概念与性质与欧氏空间是 完全一样 但是大部分概念与性质与欧氏空间是不完全一样 大部分概念与性质 结论是平行的 主要是复数的特征所起的 是平行的， 复数的特征 的，但结论是平行的，主要是复数的特征所起的 掌握与 酉空间和 作用. 希望大家掌握 区分酉空间 欧氏空间的 作用 希望大家掌握与区分酉空间和欧氏空间的 概念与本质. 概念与本质
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线性空间C 例1 在线性空间 n，对向量
α = (a1 , a 2 , L , a n ) , β = (b1 , b2 , L , bn )
定义内积为 定义内积为 内积
(α , β ) = a1 b1 + a2 b2 + L + an bn
(1)
显然，内积(1)满足定义14中的条件. 这样C (1)满足定义14中的条件 显然，内积(1)满足定义14中的条件 这样 n就成 为一个酉空间 酉空间. 为一个酉空间 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似， 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似， 酉空间的讨论 的讨论很相似 有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要 有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要 只简单地列出 的结论，而不详细论证. 的结论，而不详细论证
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表示以A的元素的 的元素的共轭复 7) 对n级复矩阵 ，用 A 表示以 的元素的共轭复 级复矩阵A， 作元素的矩阵. 就把A 数作元素的矩阵 如A满足 A ′ A = AA ′ = E，就把 满足 叫做酉矩阵 它的行列式的绝对值等于1. 酉矩阵. 行列式的绝对值等于 叫做酉矩阵 它的行列式的绝对值等于 两组标准正交基的过渡矩阵就是酉矩阵. 就是酉矩阵 两组标准正交基的过渡矩阵就是酉矩阵 类似于欧氏空间 正交变换和对称矩阵， 欧氏空间的 类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以 引进酉空间 酉空间的 变换和埃尔米特矩阵， 引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵，它们分别具 有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把它 正交变换和对称矩阵的一些重要性质， 的一些重要性质 列举啊下面： 列举啊下面： 酉空间V的线性变换 的线性变换A， 8) 酉空间 的线性变换 ，满足 (Aα, Aβ)=(α, β), 就称为V的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下的 的一个酉变换 就称为 的一个酉变换 酉变换在标准正交基下的 矩阵是酉矩阵 酉矩阵. 矩阵是酉矩阵
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如矩阵A满足 9) 如矩阵 满足
AT = A 则叫做埃尔米特 埃尔米特(Hermite)矩阵 在酉空间 n中令 矩阵. 则叫做埃尔米特 矩阵 在酉空间C
x1 x2 A = M x n x1 x2 A M x n