五 数列与三角函数中的数学文化
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解析：(1)从第二个单音起，每一个单音的频率与它
的前一个单音的频率的比都等于12 2，第一个单音的频率
为 f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成
一个首项为 f，公比为12 2的等比数列，记为{an}． 第八个单音频率为 a8＝f·(12 2)8－1＝12 27f.
(2)如图，连接正六边形的对角线，将正六边形
解析：(1)由题意知由上到下各层灯数组成一个等比
数列，该数列前 7 项和 S7＝381，公比 q＝2.设塔顶层的 灯的盏数为 a1，则有 S7＝a1（11－－227）＝381，解得 a1＝3.
(2)设 AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得
S＝
6＋3x 3x－6 6＋x 6－x 2 · 2 ·2 ·2
专题二 命题有据——核心素养、数学文化与 高考命题
五 数列与三角函数中的数学文化
【例 5】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算
法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍
加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：
一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
45，
故 sin A＝ 1－cos2A＝35.
答案：(1)B
3 (2)5
[探究提高] 1．第(1)题以古代数学名著的实际问题为背景考查数 列的概念、前 n 项和公式，意在考查学生的数学文化素 养和应用意识．求解的关键是将古代传统应用问题转化为 现代数学，建立恰当的数学模型． 2．第(2)题以“测地木”为背景，涉及基本不等式、 余弦定理以及同角三角函数的基本关系．求解本题的关键 是在“设元”的基础上，根据所给三角形面积的计算公式 写出△ABC 的面积的表达式，并利用基本不等式确定最 值．
分成六个边长为 1 的正三角形．
从而正六边形的面积
S6＝6×12×12×sin
60°＝3
2
3 .
答案：(1)D
(2)3
3 2
是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
(2)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了 著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面 积．若三角形的三边分别为 a，b，c，则其面积 S＝
p（p－a）（p－b）（p－c），这里 p＝a＋2b＋c.已知在 △ABC 中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC 的面积最大 时，sin A＝________．
[变式训练] (1)(2018·北京卷)“十二平均律”是通用 的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一 个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二 个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的
比都等于12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的 频率为( )
3 A. 2f
3 B.
22f
12 C.
25f
12 D.
27f
(2)(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆 术”可以估算圆周率 π，理论上能把 π 的值计算到任意精 度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π 的值精确到小 数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第 一 步 是 计 算 单 位 圆 内 接 正 六 边 形 的 面 积 S6 ， S6 ＝ ________．
＝34 （x＋2）（x－2）（6＋x）（6－x）
＝
3 4
（x2－4）（36－x2）
wk.baidu.com
≤
34·（x2－4）＋2（36－x2）＝12，
当且仅当 x2－4＝36－x2，即 x＝2 5时取等号．
当 AC＝2 5，AB＝4 5时，S△ABC 的最大值为 12. 由余弦定理得，cos A＝（2 52）×22＋（5×4 45）5 2－62＝
的前一个单音的频率的比都等于12 2，第一个单音的频率
为 f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成
一个首项为 f，公比为12 2的等比数列，记为{an}． 第八个单音频率为 a8＝f·(12 2)8－1＝12 27f.
(2)如图，连接正六边形的对角线，将正六边形
解析：(1)由题意知由上到下各层灯数组成一个等比
数列，该数列前 7 项和 S7＝381，公比 q＝2.设塔顶层的 灯的盏数为 a1，则有 S7＝a1（11－－227）＝381，解得 a1＝3.
(2)设 AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得
S＝
6＋3x 3x－6 6＋x 6－x 2 · 2 ·2 ·2
专题二 命题有据——核心素养、数学文化与 高考命题
五 数列与三角函数中的数学文化
【例 5】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算
法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍
加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：
一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
45，
故 sin A＝ 1－cos2A＝35.
答案：(1)B
3 (2)5
[探究提高] 1．第(1)题以古代数学名著的实际问题为背景考查数 列的概念、前 n 项和公式，意在考查学生的数学文化素 养和应用意识．求解的关键是将古代传统应用问题转化为 现代数学，建立恰当的数学模型． 2．第(2)题以“测地木”为背景，涉及基本不等式、 余弦定理以及同角三角函数的基本关系．求解本题的关键 是在“设元”的基础上，根据所给三角形面积的计算公式 写出△ABC 的面积的表达式，并利用基本不等式确定最 值．
分成六个边长为 1 的正三角形．
从而正六边形的面积
S6＝6×12×12×sin
60°＝3
2
3 .
答案：(1)D
(2)3
3 2
是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
(2)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了 著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面 积．若三角形的三边分别为 a，b，c，则其面积 S＝
p（p－a）（p－b）（p－c），这里 p＝a＋2b＋c.已知在 △ABC 中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC 的面积最大 时，sin A＝________．
[变式训练] (1)(2018·北京卷)“十二平均律”是通用 的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一 个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二 个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的
比都等于12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的 频率为( )
3 A. 2f
3 B.
22f
12 C.
25f
12 D.
27f
(2)(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆 术”可以估算圆周率 π，理论上能把 π 的值计算到任意精 度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π 的值精确到小 数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第 一 步 是 计 算 单 位 圆 内 接 正 六 边 形 的 面 积 S6 ， S6 ＝ ________．
＝34 （x＋2）（x－2）（6＋x）（6－x）
＝
3 4
（x2－4）（36－x2）
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≤
34·（x2－4）＋2（36－x2）＝12，
当且仅当 x2－4＝36－x2，即 x＝2 5时取等号．
当 AC＝2 5，AB＝4 5时，S△ABC 的最大值为 12. 由余弦定理得，cos A＝（2 52）×22＋（5×4 45）5 2－62＝