浅谈排列组合中的分组问题

浅谈排列组合中的分组问题

广东石油化工学院高州师范学院309数学（2）班张艳

【摘要】排列组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛应用，一直是高考的热点之一，考题一般都以实际生活为背景，以应用题的形式出现。文章简单阐述了排列组合的基本定义、分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列组合数公式，重点论述介绍了排列组合题的解题方法及其解题思路。

【关键词】排列与组合加法原理乘法原理

排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特

殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步

学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此学好排列与组合至关重要。

排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，

不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运

用，下面就介绍几类典型排列组合题的解答策略。

一、对“排列组合”的概述

1、基本定义及公式

排列：从n个不同的元素中取出ｍ个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同的元素中取出ｍ个元素的一个排列。

组合：从n个不同的元素中取出ｍ个元素合成一组，叫做从ｎ个不同的元素中取出ｍ个元素的一个组合。

m =n(n-1)……(n-m+1)=n!/(n-m)！

排列数与组合数公式：A

n

=n(n-1)……(n-m+1)/1·2……m=n!/m!(n-m)!

C m

n

2、排列组合题的解题依据及方法

分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第一类中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ＋n 种不同的方法。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第一步有m 种不同的方法，做第二步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ×n 种不同的方法。 ①分类法：问题分成互斥各类，根据加法原理，可用分类法； ②位置法：问题考虑先后次序，根据乘法原理，可用位置法； ③问题反面简单明了，可用排除法.

④转化法：复杂排列用转化法，选取后排，转化为组合问题，利用转化公式P m n =C m n ·p m n ;

⑤粘合法：某些元素必须在一起的紧密排列用“粘合法”,紧密结合的粘成小组，组内外分别排列；

⑥某些元素必须不在一起的分离排列用间隔法，无需分离的站好实位，在空位上进行排列。

例1.有6本不同的书

⑴甲乙丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？

⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？ ⑷分给甲乙丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？ ⑸分成3堆，有两堆各1本，另外一堆4本，有多少种不同的分法？ 解析：对于问题⑴，首先从6本不同的书选出2本来给甲，选出的2本之间无顺序，为C 62,其次，从剩下的4本书中选出2本书来给乙，为C 42，最后剩下的2本给丙，为C 22

，整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为C 62 C 42 C 22。

对于问题⑵，与问题⑴的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即分成的3组之间，一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题⑵的解决可以在问题⑴解决的基础上对3组进行消序，即C 62 C 42 C 22／A 33

对于问题⑶，解决方法与问题⑴一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最

终的分法数为C

61C

5

2C

3

3

对于问题（4）,分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3堆无顺序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）的基础上，

对3组进行排序，即C

61C

5

2C

3

3·A

3

3

对于问题（5），这是局部均匀无序的分组分配问题，需要在对局部均匀的组进行消序即可，消序后各组之间按无序对待。所以在之分的基础上，再对均匀的

两组进行消序即可，具体解法：(C

61C

5

1/A

2

2)C

4

4

例2 求不同坐法的种数

（1）6男2女坐成一排，2女不得相邻；（2）4男4女坐成一排，男女均不得相邻。

解：（1）N

1=P

8

8-P

7

7P

2

2(种)

解题思路：用粘合法结合排除法来解，先紧密排列，2女粘成一组，与6

男共成七组，组内排列为P

22，组外排列为P

7

7，得2女相邻的坐法为P

7

7P

2

2种，再

从总体P

8

8种排除，便得到2女不得相邻的坐法的种数。还有另一种更简单的方法，2女不得相邻，也就是必须分开，意味着题意本身就是分离排列，自然可用

间隔法——6男先坐实位，再在七个空位中排列2女，即N

1=P

6

6P

7

2(种)

总结解题方法：解决分离排列的问题可以用粘合法结合排除法，也可直接用间隔法。（学生容易得出这样的结论）

为了澄清学生的模糊认识，可适当的将问题变化一下，例2（1）改为“5男3女坐成一排，3女都不得相邻”问两种答案

P 88-P

6

6P

3

3与P

5

5P

6

3都对吗？

解：P

8

8-P

6

6P

3

3=36000，P

5

5P

6

3=14400

前一答案用排除法，排除了都相邻，得到的是“3女不都相邻”的坐法，其

中自然包括了2女相邻的情形，因此把题意理解错误了，把不符合条件的种数也算进去了，导致失误；而间隔法在6个空位中排了3女，保证了3女都不相邻，题意理解正确，答案显然对。解决分离排列的问题应该用间隔法，既直接又不易