椭圆定义的应用

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椭圆定义的应用(精)

—x2
+
y2 — =1
36 27
∴动圆圆心的轨迹是椭圆，长轴和短轴长分别12,6 3 。
x2 例3、已知定点A（－2，3）,点F为椭圆 16
y2 12
1
的右焦
点，点M在该椭圆上移动时，求| AM| ＋2 | MF |的最小值。
分析：本题按常规思路，设M(x,y),则
| AM| ＋2 | MF |=
右焦点对应右准线
椭圆的标准方程：
x2 a2

y2 b2
1
y2 a2

x2 b2
1
(a>b>0)
x2 例1：过椭圆 1

y2 1
1
的一个焦点F2的直线与椭圆交于A、B
4
两点，则AB与椭圆的另一个焦点F1构成△ABF1的周长( B )
A.2 B. 4 C. 2 D. 2 2
解：根据题意画出图形，如右图 ∵|AF1| + |AF2| =2a
主讲：庞启满制作：庞启满 & 冬青工作室
定义1：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于2a（2a>|F1F2 | )的点的轨迹叫椭圆。
定义2：与定点的距离和它到定直线的距离比
是常数e(0<e<1)的点的轨迹叫椭圆。
注意：
｜
PF｜ ed①当2a= |F1F2 |时轨迹为线段 |F1F2 |
当2a < |F1F2 |时，无轨迹。 ②左焦点对应左准线
1 即|MF|= 2
设椭圆左顶点为A（x,y）
则左焦点F的坐标为（ 3 x，y）, 2
(3 x 1)2 ( y 2)2 1 整理得 9(x 3)2＋4( y 2)2＝1

椭圆定义及性质整合

椭圆定义及性质的应用一、椭圆的定义椭圆第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.★过点1F 作12PF F ∆的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222x y a +=.推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ，由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1F M 中点，212OQ F M ==()1212PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题）椭圆第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中2PF 称作焦半径，左、右准线公式2a x c=±..椭圆的焦半径公式为：1020,PF a ex PF a ex =+=-.推导过程：2200aPF ed e x a exc⎛⎫==-=-⎪⎝⎭；同理得10PF a ex=+.简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=＞＞的离心率为3，过右焦点F且斜率为(0)k k>的直线与C相交于,A B两点．若3AF FB=u u u r u u u r，则k=（）A.1 D.2B【解析】解法一：1122(,),(,)A x yB x y，∵3AF FB=u u u r u u u r，∴123y y=-，∵2e=，设2,a t c==，b t=，∴222440x y b+-=，直线AB方程为x my=.代入消去x，∴222(4)0m y b++-=，∴2121222,44by y y ym m+=-=-++，则2222222,344by ym m-=--=-++，解得212m=，则k= 0k>.解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11,AA BB垂直于l，11,A B为垂足，过B作BH垂直于1AA与H，设BF m=，由第二定义得，11,AF BFAA BBe e==，由3AF FB=u u u r u u u r，得13mAAe=,2mAHe=，4AB m=，则21cos42mAH eBAHAB m e∠====，则sin BAH∠=tan BAH∠=，则k=0k>.故选B.（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为6π的直线过椭圆)0(12222>>=+babyax的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3AF BF=，求椭圆的离心率.33【解析】解法一：,AF BF 为左焦点上的焦半径，所以过,A B 两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于11,A B 两点，从B 点作1BH AA ⊥.因为3AF BF =，设BF m =，则3AF m =，4AB m =，又因为11AF BF e AA BB ==，则1BF m BB e e ==,13m AA e =，所以2m AH e=，在ABH ∆中，6BAH π∠=，所以32AH AB =，解得33e =. 解法二：如图，设,3BF m AF m ==，则122,23BF a m AF a m =-=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222394(23)cos 62232m c a m m cπ+--==⨯⨯，化简得23326cm b am =-+①，222534(2)cos 6222m c a m m cπ+--=-=⨯⨯，化简得2322cm b am -=-+②，①＋②×3化简得，223b m a =，代入①解得3e =. 椭圆第三定义第三定义：在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-=-=⋅e a b k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PB PA -=⋅）推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①，1221221=+by a x ②；由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==--+-为定值．例1:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121-=⋅k k ，则椭圆的方程为 . 1422=+y x .【解析】解法一：(,)P x y ，11(,)M x y ，则11(,)N x y --，因为12222=+b y a x ，则)1(2222ax b y -=，)1(221221a x b y -=，则222212222211112222221111(1)(1)14x x b b y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a ----+-⋅=⋅===-=--+--.且42=a ，则椭圆方程为1422=+y x .解法二：由第三定义知4122-=-a b ，且42=a ，则则椭圆方程为1422=+y x .例2:已知椭圆)0(13422>>=+b a y x 的左右顶点分别为21,A A ，点P 在椭圆上，且直线2PA 的斜率的取值范围是]1,2[--，那么直线1PA 的斜率的取值范围是 .]43,83[.【解析】设1PA ，2PA 的斜率分别为21,k k ，则432221-=-=⋅a b k k ，又]1,2[2--∈k ，所以]43,83[1∈k . 二、椭圆的性质焦点三角形椭圆焦点三角形的边角关系：122F F c =， 122PF PF a +=，周长为22a c +.设12F PF θ∠=. （1）当点P 处于短轴的顶点处时，顶角θ最大；（2）221221cos b PF PF a θ⋅=≤+，当且仅当12PF PF =时取等号；（3）122tan2PF F S b θ∆=；（4）12112122PF F B F F S S c b bc ∆∆≤=⨯⨯=，当且仅当12PF PF =时取等号. 推导过程：（1）()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+，当00x =时，cos θ有最小值2222a c a-，即12F PF θ∠=最大；（2）22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅，()221212122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ⋅=+-⋅-则有，21221cos b PF PF θ⋅=+，2221220max 2221cos 1cos 12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时θ取得最大值0θ，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）由（2）得12222212sin 2sin cos tan21cos 2222cos 2PF F b b S b θθθθθθ∆=⨯⋅=⋅=+. （离心率问题）例1.已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得145F BO ∠≥︒，所以1FO OB ≥,即c b ≥,解得e ∈. 解法二：设(,)P x y ，由题意得椭圆C 上存在一点P ，使得12F P F P ⊥u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +-=，化简，得222x y c +=，与12222=+b y a x 联立，消去y 得2222222a c ab x a b -=-，由椭圆范围知220x a ≤<，即22222220a c a b a a b -≤<-，化简得222b c a ≤<，解得[2e ∈. 变式1：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ∠>︒，所以1FO OB >,即c b >,解得,1)2e ∈. 变式2：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（变式3：12120F PF ∠=︒），则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.1[,1)2【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得130F BO ∠≥︒，所以11sin sin 302c F BO a ∠=≥︒=，则1[,1)2e ∈.变式3：e ∈.（离心率问题）例2.已知12,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.e ∈【解析】22PF c =，22PF F H ≥，即22a c c c ≥-解得：e ∈. （焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆21221925F F y x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，求21PF F S ∆.33【解析】解法一：设12,,PF m PF n ==则有10m n +=，在21F PF ∆中由余弦定理得mn n m c -+==222644，则mn mn n m 31003)(642-=-+=，则12=mn ，则333sin 2121==∆πmn S PF F .解法二：122tan9tan26PF F S b θπ∆==⨯=（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 中心的直线与椭圆交于,A B 两点，右焦点为2(c,0)F ，则 2ABF ∆的最大面积为_________.bc 【解析】由题意得,A B 关于原点对称，则有212ABF AF F S S ∆∆=，故当A 位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc . （焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆22194x y +=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，（1）在椭圆上满足12PF PF ⊥的点P 的个数是？（2）12PF PF ⋅的最大值是？（3）12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是？【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆222x y c +=与椭圆的交点个数，由于52c b =>=，故有4个点.（2）解法一：设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，212()92m n PF PF mn +⋅=≤=，当且仅当m n =时取等号.解法二：由性质得2221220min 2221cos 1(cos )12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时取得最大值，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）如图所示，222x y c +=与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为00(,)P x y ，此时122F PF π∠=，设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，222420m n c +==，解得4,2m n ==（或2,4m n ==），由等面积法得0222y c mn ⨯=，则05y =，则由勾股定理得22200()c x y n -+=，解得05x =，则由对称性可知，点P 的横坐标的取值范围是3535(,)-. (焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；（2）两边之差小于第三边.焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求； ★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：111AF PA PF AF -≤-≤.（三角形三边关系）★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：12122a AF PA PF a AF -≤+≤+.推导过程：连接11,,AP AF PF ，()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-由三角形三边关系得111AF PA PF AF -≤-≤，则有12122a AF PA PF a AF -≤+≤+（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.焦点弦经过椭圆焦点的弦是焦点弦.（1）焦点弦长可用弦长公式求22212121212211()41()4AB k x x x x y y y y k=++-=++-； *（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为θ，则有22222||=cos ab AB a c θ-. *（3）2211ba BF AF =+（F 为某一焦点）. （4）2ABF ∆的周长为4a .（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（）A.1B.2C.3D.2B 【解析】解答题解法：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =u u u r u u u r，∴ 123y y =-， ∵ 3e =，设2,3a t c t ==，b t =，∴ 222440x y b +-=，直线AB 方程为3x my b =+.代入消去x ，∴ 222(4)230m y mby b ++-=，∴ 21212223,4mb b y y y y m +=-=-+，则22222232,34mb b y y m -=--=-+，解得212m =，则2k =，0k >.中点弦AB 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的任意一弦，P 是AB 中点，则1222-=-=⋅e ab k k OPAB .证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y则()1202x x x+=，()1202y y y +=，()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭， ()()()()2121221212y y b x x x x a y y -+⇒=--+，由于()()1212AB y y k x x -=-，00OPy k x =，则 22AB OP b k k a⋅=-. 例1：过点(2,1)M 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点AB ，若点M 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】解答题步骤：解法一（点差法）：由题意得直线l 有斜率，设其斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，代入椭圆方程，有222211221,1169169x y x y +=+=，两式作差得()()()()12121212..0169x x x x y y y y +-+-+=，()()120120916y y y x x x -⨯=--，即19216k ⨯=-，则98k =-.则直线l 的方程为91(2)8y x -=-⨯-，即98260x y +-=. 解法二（代入法）：由题意得直线l 有斜率，设其直线方程为1(2)y k x -=-，得12y kx k =+-，代入221169x y +=得222(916)32(12)16(12)1440k x k k x k ++-+--=，则120232(12)24916k k x x x k -+=-==+，解得98k =-，则直线l 的方程为98260x y +-=.这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.切线及切点弦切线方程：（1）设),(00y x P 为圆222r y x =+上一点，则过该点的切线方程为：200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，则过该点的切线方程为：12020=+b y y a x x .切点弦方程：（1）设),(00y x P 是圆222r y x =+外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 是椭圆外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为1220=+byyaxx.例1：以422=+yx上的点)3,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(3-=-xky，则03=-+-kykx，则有2132=+-kk，解得33-=k，则切线方程为043=-+yx.解法二：点)3,1(P为切点，由公式得，切线方程为431=⨯+⨯yx，即043=-+yx.例2：以13422=+yx上的点)23,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(23-=-xky，代入13422=+yx，化简得3124)23(4)43(222=--+-++kkxkkxk，则有0)3124)(43(4)23(162222=--+--=∆kkkkk，解得21-=k，则切线方程为042=-+yx.解法二：点)23,1(P为切点，由公式得，切线方程为132341=⨯+⨯yx，即042=-+yx.★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.推导过程：设2,aM yc⎛⎫⎪⎝⎭，则AB的方程为2221ax y yca b+=，即021y yxc b+=必过点(),0c.★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.光学性质★椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.★椭圆上一个点P 的两条焦半径12,PF PF 的夹角12F PF ∠被椭圆在点P 处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）已知：如图，椭圆C的方程为22221x y a b +=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=，求证：αβ=.证明：在2222:1x y C a b+=上，00(,)P x y C ∈，则过点P 的切线方程为：00221x x y y a b+=，'l 是通过点 P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a-=-， ∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c D x a， ∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a=+=-，∴201220||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||||||F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线， ∴αβ=，∵90ααββ''+=︒=+，故可得αβαβ''=⇔=.例1. 已知椭圆方程为1162522=+y x ，若有光束自焦点(3,0)A 射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为,B C ，如图所示，则ABC D 的周长为 .20【解析】：∵椭圆方程为1162522=+y x 中，225169c =-=， ∴(3,0)A 为该椭圆的一个焦点，∴自(3,0)A 射出的光线AB 反射后，反射光线BC 定过另一个焦点(3,0)A ¢-，故ABC D 的周长为：''44520AB BA A C CA a +++==⨯=.。

第1讲椭圆的定义及其应用

第1讲椭圆的定义及其应用整理：广东阳江曾广荣一、问题综述本讲梳理椭圆的定义及其应用．椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点．（一）椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定值2a ()122a F F >的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（二）椭圆定义的应用主要有下面几方面的应用：1．求标准方程；2．焦点三角形中的计算问题；3．求离心率；4．求最值或范围．二、典例分析类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程【例1】 ABC ∆的底边16BC =，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程．【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()x y ，，由20GC GB +=，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a =，8c =，有6b =，故其方程为()221010036x y y +=≠．【方法小结】由已知可得20GC GB +=，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点．【例2】已知动圆P 过定点()30A -，，并且在定圆()22364B x y -+=：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即86PA PB PM PB BM AB +=+==>=．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆，P 的轨迹方程为：221167x y +=．【例3】已知圆()22:3100C x y -+=及点()3,0A -，P 是圆C 上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程。

【解析】如图所示．∵l 是线段PA 的垂直平分线， ∴AQ PQ =．∴10AQ CQ PQ CQ CP +=+==，且10>6． ∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，且210a =，3c =，即5a =，4b =．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y+=．【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【变式训练】1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是()1,0F c -、()2,0F c ，Q 是椭圆外的动点，满足12FQ a =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅=，20TF ≠．求点T 的轨迹C 的方程．【解析】当0PT =时，点(),0a 和点(),0a -在轨迹上．当0PT ≠0PT ≠且2||0TF ≠时，由20PT TF ⋅=，得2PT TF ⊥．由12FQ a =，得12PF PQ a +=，又122PF PF a +=，所以2PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点．连接OT ，则OT 为12QF F △的中位线，所以()1121122OT FQ PF PF a ==+=，设点T 的坐标为(),x y ，则222x y a +=．故点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=．【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

浅谈椭圆的定义及应用

浅谈椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用椭圆是椭圆状的图形，它曲线状而美丽，在历史上椭圆一直被用作美的象征，也是一种常见的数学几何图形。

据数学家研究确定，椭圆是由两个相互垂直的轴，即长轴和短轴组成的抛物线，因此椭圆也叫做椭圆形或双曲线。

经典的物理学家和数学家爱比司朗和费马将椭圆最佳地归类为一种运动方程，这种方程可以用来描述物体的动态行为。

关于椭圆，首先要简要讲一下它的定义，常见的定义方式是“椭圆形是两个坐标轴相交而成的抛物线，其特征是外切圆半径与内切圆半径不相等。

”椭圆也可以是一个椭圆轴，即长轴和短轴，它Menchaca定义的椭圆形可以表达为：“假设一个子椭圆具有长轴a和短轴b，它的边界是(x/a)^2+(y/b)^2=1。

这种椭圆最大的拟合程度为a^2/b^2。

”再者，由于椭圆形的长短轴是定义其形状的基本要素，所以把它定义为椭圆轴的比值，即斜率和截距的比值，是一种较为简便的方式。

椭圆在现实生活中有着广泛的应用，一般来说，人们把它用作主题形状，来展示艺术品，表达情感，使视觉更有趣。

此外，椭圆还有许多其他用途，如日常加工电动机，材料加工及精密设备，用于生产和装配；医学工程也有椭圆的应用，可以用于组织再生，例如细胞的培养；在建筑设计中，椭圆也是非常重要的，它常用作门窗，装饰珠宝等，为视觉上的美观增添不少景色美感。

另外，近代的航天飞船的发射軌道常常采用椭圆轨迹，这样可以利用吸力造成飞船的变化，用以补失的能量。

总之，椭圆具有多种重要的数学特性，它作为各种问题的解方，用于描述物体运动，既可以实现艺术创造，又可以满足加工及建筑需要，在物理、航天、建筑、生物及医学等多个领域具有承载重要的作用。

未来，椭圆更将广泛运用于社会的各个领域，将进一步丰富社会的文化精神，提高社会的发展水平。

高二数学(文)椭圆两种定义及其应用

椭圆两种定义及其应用【温故知新】1．椭圆的定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离和为常数（大于|1F 2F |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．2.由椭圆)0(12222>>=+b a by a x 可知椭圆的几何性质：（1）范围：b y b a x a ≤≤-≤≤-,（2）对称性：关于x 轴、y 轴对称，关于原点对称（3）顶点：),0(),0,(),0,(),0,(b b a a --（4）离心率：cae =【新知探究】1．椭圆定义的应用：例1．如图，1F ，2F 是椭圆13422=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，求21F PF ∆的面积．【小结】焦点三角形面积公式点),(00y x P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一动点，1F ，2F 为其左右焦点，设θ=∠21PF F ，则=21PF F S ∆2tan2θb 。

例2．已知P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，1F ，2F 是其左右焦点，且12021=∠F PF ， 3021=∠F PF ，求椭圆的离心率．2．椭圆第二定义：例3．点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线l ：425=x 的距离的比是常数54，求点M的轨迹．【小结】椭圆第二定义：平面内与定点F （c ，0）的距离和它到定直线l ：c a x 2=的距离的比是常数c（a >c>0）的点的轨迹是一个椭圆，其中定点F 叫椭圆的焦点，定直线l 叫椭圆相应于焦点F 的准线，常数ac叫椭圆的离心率．在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，相应于焦点)0,(/c F -的准线/l ：c a x 2-=。

同时，我们还可以得到椭圆的焦半径公式：若),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，则=||1PF 0ex a + ；=||2PF 0ex a - ．3．两种定义的综合应用：例4．已知点P 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；)2,1(A 是椭圆内一定点．求：（1）||||1PF PA +的最大值；（2）||35||1PF PA +的最小值及点P 的坐标．例5．（1）已知 P 是椭圆13610022=+y x 上一点，若 P 到椭圆右准线的距离是217，则P 到左焦点的距离为_____________．（2）设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（） A ．相切 B ．相离 C ．相交 D ．相交或相切【巩固练习】1．椭圆125922=+y x 的准线方程是（） A ．425±=x B ．516±=y C ．516±=x D ．425±=y2．到定点)0,2(的距离与到定直线8=x 的距离之比为22的动点的轨迹方程是（） A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．0568222=-++x y x D ．06882322=+-+x y x3．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心及两个焦点将x 轴夹在两准线间的线段四等分，则椭圆的离心率为（） A ．22 B ．21C ．23D ．33 4．已知椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ， F 为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使||2||MF MP +取得最小值，则点M 的坐标为（）A ．)1,362(- B ．)1,362(-± C ．)23,1(- D ．)1,362(-- 5．已知点),22(y A 是椭圆1121622=+y x 上的点，F 是其右焦点，则=||AF 6．．椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是25，求M 到左焦点的距离为；到右焦点的距离为．7．点P 在椭圆221259x y +=上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是．8．已知P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，1F ，2F 为两焦点，且P F P F 21⊥，若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程．9．已知A ，B 为椭圆19252222=+ay a x 上的两点，2F 是椭圆的右焦点．若 ||||22BF AF + a 58=，AB 的中点到椭圆左准线的距离是23，试确定椭圆的方程．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或（2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-，所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时，此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1．故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤，则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径，所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立，所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =，故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即22a =，所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______．【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤，设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增，故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增，故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-，所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<，所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ．故答案为：2xy =-()22-<<x ．例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程；（2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ，又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ，故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-，故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-，代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =，所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△，所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==．综上，||||4PA PB ⋅=．【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

生活中椭圆的原理应用

生活中椭圆的原理应用引言椭圆是一种经常出现在我们生活中的数学形状。

它具有特殊的几何性质，因此在多个领域中被广泛应用。

本文将介绍椭圆的基本原理，并详细探讨在生活中椭圆的应用。

椭圆的基本原理椭圆是一个平面上的几何图形，定义为到两个焦点距离之和恒定的点的轨迹。

下面是椭圆的基本原理：•椭圆的定义：椭圆是平面上到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中，焦点F1和F2和一条连接两焦点并通过椭圆中心O的线段叫做椭圆的长轴，长轴的中点叫做椭圆的中心。

•椭圆的方程：椭圆的方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。

生活中椭圆的应用椭圆在生活中有许多实际的应用，下面列举了一些常见的应用场景：1.天文学：行星的轨道通常被描述为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

椭圆轨道的形状和参数可以用来预测行星的位置和运动。

2.建筑设计：椭圆形的拱门在建筑设计中被广泛使用。

椭圆拱门的结构强度比其他形状的拱门更好，并且具有美观的外观。

3.车辆运动：椭圆形的轮胎比圆形的轮胎更具有抓地力。

汽车、自行车和摩托车等交通工具的轮胎通常使用椭圆形来提供更好的牵引力和稳定性。

4.电子技术：椭圆形天线用于接收和发送无线电信号。

椭圆形天线的设计可以提供更广泛的射频接收范围，并且对信号的方向性感应较低。

5.体育运动：椭圆形的运动轨迹在一些体育项目中被使用。

例如，冰球和曲棍球场地的形状是椭圆形的，这样能够确保运动员在场地的各个位置具有相同的机会。

6.椅子设计：椭圆形的椅子座位比方形或圆形的座位更舒适。

椭圆形座位的形状可以提供更好的支撑和稳定性，使人坐下更加轻松和舒适。

结论椭圆作为一种具有特殊几何性质的形状，在生活中有着广泛的应用。

它不仅在科学领域发挥着重要的作用，还在建筑、交通、电子技术、体育运动等领域中提供了实际的解决方案。

通过了解椭圆的基本原理和应用，我们能够更好地理解和利用这一数学形状，为生活带来更多的便利和美好。

高考数学椭圆定义应用

椭圆定义的应用一．定义定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆。

二．定义的运用（一）直接运用定义例1（2005年四川高考题）设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若 △F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1分析：椭圆定义、性质的直接应用是高考的常考点，求解时，应掌握椭圆第一、第二定义，参数a ，b ，c ，e ，2a c的几何意义及其相互关系。

解：如图1，设|PF 2|=m ，则由题设得|PF 1m ，2c =|F 1F 2|=m. 由椭圆第一定义，得2a =|PF 1|+|PF 21)m ∴e=1c a ==.故选D 。

例2：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点坐标1F )0,()0,(2c F c 和-，),(00y x P 是椭圆上的任一点，求证：0201||,||ex a PF ex a PF -=+=，其中e 是椭圆的离心率。

分析：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点1F )0,()0,(2c F c 和- ，相应的准线方程是c x c x =-=和，又椭圆的第二定义得，e x c a PF e c a x PF =-=+022201||||，化简得： 0201||,||ex a PF ex a PF -=+=xA上面两个例题分别从圆锥曲线的第一定义或第二定义着手解决了问题，可见两种定义在圆锥曲线中的重要性。

（二）交错运用定义例3：P 为椭圆1162522=+y x 上的一点，它到右焦点的距离为522，求P 到左准线距离。

例析椭圆的定义在解题中的应用

椭圆的定义在解题中的应用通过研究一类与椭圆定义有关的数学问题，体会椭圆上点与焦点距离的联系与相互转化关系，引导学生思考利用掌握的椭圆定义等相关数学知识探究问题本质，意在引起老师和学生对数学定义的重视，注重概念教学。

一：椭圆定义：平面内到两定点的距离和等于常数2a(大于|F 1F 2|)的点的集合叫椭圆。

其中两个定点F 1、F 2叫作椭圆的焦点，|F 1F 2|叫作椭圆的焦距.说明：1、椭圆定义体现了椭圆上任一点与两个焦点距离间的密切联系，在变化中存在一个等量关系，这种‘距离的动’与‘和的静’结合的数学之美将会在今天的学习中逐步体味。

2、椭圆定义中包括的定点，定量等多方面联系，利用这种联系可以将椭圆上任一点到两定点的距离有机联系在一起，可将其中一个数量转化为另外一个量研究。

二：思维拓展类型一：由定义求轨迹（方程）应用定义求方程是求曲线方程的一种重要方法，它是在根据题意判断出已知曲线形状的情况下确定量的关系进而得出方程的形式，需要注意在求出方程后验证是否有不符合条件的点存在例1：已知⊙O 1：16)2(22=++y x ，⊙O 2：1)2(22=+-y x 动圆P与⊙O 1内切，与点⊙O 2外切，求动圆圆心P 的轨迹方程？解：（分析：充分利用题目中的内切和外切的条件，挖掘动点与两定点的等量关系）设圆P 的半径为r,由条件知 r PO -=6||1 r PO +=1||2 7||||21=+∴PO PO∴ P 在以为o1,o 2焦点的椭圆上14/334/4922=+∴yx：方程为巩固提高：已知圆B:22(1)16x y ++=及点(1,0)A ,C 为圆B 上任一点,求AC 的垂直平分线与线段BC 的交点P 的轨迹方程.（几何画板演示）类型二：焦点三角形的应用焦点三角形的应用是椭圆定义的集中体现，围绕焦点三角形的面积、周长、焦半径、椭圆离心率等试题相对较多，教学时应引起重视，并能重视知识间的内在联系，如余弦定理、均值定理的应用。

椭圆第二定义及其应用

椭圆第二定义及其应用在新课标课本(人教A 版)《椭圆》中，有这样一道例题“例6 点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹”。

我们知道，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆，如果对这道例题进行推广，就得到椭圆的第二定义（比值定义）.定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线的距离之比为常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆. 定点F 称为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率.椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简,下面举例如下: 一、求距离［例1］椭圆的方程为16410022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离.解：∵64,10022==b a ，∴66410022=-=-=b ac ，∴a c e ==53106= 依椭圆第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为d ，则5310=d ,∴6=d ∴点P 到椭圆右焦点距离为2×10－6=14评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在学习中的重要训练对象.二、求最值［例2］已知定点A （－2，3），点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求|MA |+2|FM |的最小值，并求出此时点M 的坐标.分析：设M （x ,y ），则有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+-++=+11216)2(2)3()2(2222222y x y x y x FM MA 由①可将y 用x 表示出来，将其代入②，则式子|MA |+2|FM |可转化成一个关于x 的一元函数，再求其最小值.以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.解：∵a =4,b =23,c =2∴e =21 右焦点F （2，0），右准线方程l :x =8设点M 到右准线l 的距离为d ，则21==e dFM 得2|MF |=d ∴|MA |+2|MF |=|MA |+d由于点A 在椭圆内，过A 作A K ⊥l ，K 为垂足，易证|A K|为|MA |+d 的最小值，其值为8+2=10∵M 点的纵坐标为3，得横坐标为23① ②∴|MA |+|2MF |的最小值为10，点M 的坐标为（23，3）评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义. 三、推导公式［例3］设P （x 0,y 0）是离心率为e 的椭圆，方程为12222=+by a x 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为1r 和2r .求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：由椭圆第二定义，得e ca x PF =+201∴|PF 1|=e ca x 20+=e )(20c a x +,∴|PF 1|=0ex a +又e cax PF =-202,∴|PF 2|=e ca x 20-=e )(20c a x -, ∴|PF 2|=0ex a -，综上所述0201,ex a r ex a r -=+= 注意：|PF 1|=0ex a +,|PF 2|=0ex a -，称为(00,y x )点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.［例4］已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长. 解法一：∵a =3,b =1,c =22,∴F (－22,0)∴直线方程为y =)22(31+x 与1922=+y x 联立消元，得4x 2+122x +15=0 ①设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)则依韦达定理，得x 1+x 2=－32,x 1x 2=415∴|AB |=21221214)(32311x x x x x x -+=-+,∴|AB |=2解法二：由于所求线段AB 是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：|AB |=|AF |+|BF |=2a +e (x 1+x 2)=2评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.。

椭圆的定义及应用

椭圆的定义及应用椭圆是数学上的一个几何图形，由两个焦点F1和F2和所有距离这两个焦点的距离和等于一常数2a的点构成。

椭圆的形状可以用长轴2a和短轴2b来描述，焦距为2c，满足c^2 = a^2 - b^2。

椭圆最早由希腊数学家焦尼斯发现并研究，它在数学和各个领域中有广泛的应用。

以下是一些主要的应用领域：1. 天文学：椭圆在天文学中起着重要的作用。

根据开普勒的第一定律，行星和彗星的轨道是椭圆形的，太阳位于焦点的一个焦点。

这个定律为我们提供了更深入研究太阳系和行星运动的基础。

2. 工程学：椭圆在工程学中的应用非常广泛。

例如，在光学设计和电磁波传播中，椭圆是设计反射镜、天线、声呐和显微镜的重要基础。

椭圆形状的天线能够产生方向性辐射模式，这对于通信和无线传输非常重要。

3. 地理学：地理学中的某些地球轨迹也是椭圆形的。

地球绕太阳运行时，其轨道在三个维度上可能有一些摆动和倾斜，但总体上其轨道更接近椭圆。

这个特征对我们研究气候变化以及计算地球与太阳之间的距离和位置非常重要。

4. 密码学：椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种现代加密算法。

椭圆曲线的数学性质使其成为构建安全密钥交换和数字签名的基础。

相较于传统的RSA算法，ECC具有更高的安全性和更短的密钥长度，这在保护数据传输的过程中具有重要意义。

5. 经济学：椭圆在经济学中的应用主要体现在利润最大化和成本最小化的优化问题上。

椭圆的形状体现了一个有效的边界条件。

例如，在分析变量间的相互关系时，利用椭圆来表示不同方案的成本和效益，以帮助决策者做出最佳选择。

总的来说，椭圆作为一个重要的数学概念在多个领域中都有广泛的应用。

从天文学、工程学到密码学和经济学，椭圆形状帮助我们理解和解决各种复杂的问题。

其优美的数学性质和多样的应用使其成为了一个重要的研究领域，并对我们生活和科技发展产生了积极的影响。

椭圆的基本性质与应用

椭圆的基本性质与应用椭圆是一种常见的几何图形，它具有许多基本性质和广泛的应用。

本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨椭圆在不同领域的应用。

1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可由一个平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合来定义。

这两个定点称为焦点，记为F1和F2。

椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。

椭圆的中心为焦点连线的中点O，称为圆心。

椭圆的长轴为焦点连线的长度2a，短轴为焦点连线垂直中分线的长度2b。

椭圆的离心率e定义为焦点连线长度的一半与短轴长度的比值，即e=a/b。

椭圆具有以下基本性质：- 对称性：椭圆相对于它的长轴和短轴具有对称性。

- 焦半径定理：椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于长轴长度（2a）。

- 焦点定理：椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这个性质可以用来定义椭圆。

- 内切圆和外切圆：椭圆的内切圆与椭圆的外切圆均与椭圆的长轴和短轴相切。

2. 椭圆的应用椭圆具有广泛的应用，下面我们将介绍椭圆在不同领域的一些应用。

- 物理学：在天体力学中，行星和卫星的运动轨迹常常被建模为椭圆。

椭圆轨道方程可以帮助科学家预测和计算行星和卫星的运动。

- 通信领域：在卫星通信和无线通信中，天线的辐射范围通常被建模为一个椭圆。

这有助于工程师设计和优化无线通信系统的覆盖范围和传输效果。

- 光学：椭圆曲线具有特殊的反射性质，因此在镜面技术中得到广泛应用，如天文望远镜、车辆的后视镜和照明灯的反射面等。

- 地理学：椭圆经纬线也被广泛用于精确测量地球表面上的位置，如GPS定位系统和地图制作中的坐标系统。

总结：椭圆是一种重要且常见的几何图形，它具有许多基本性质和广泛的应用。

椭圆的性质和特点可以帮助我们理解和分析许多自然和人造系统的运动和行为。

通过了解椭圆的定义、基本性质和应用，我们可以更好地应用它们在实际问题中进行计算和建模。

椭圆在天体力学、通信领域、光学和地理学等不同领域中都发挥着重要的作用，对实际应用具有重要的指导意义。

高中数学椭圆定义及应用

一、椭圆第一个定义的应用1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。

若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。

两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。

由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。

此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。

即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。

1.2 应用举例例1.已知点1(3,0)F-,2(3,0)F,有126PF PF+=,则P点的轨迹是 .例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切.解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。

我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。

例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，求的面积.24解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用解决例4.P 是椭圆2214520x y +=上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,若则12PF PF -的值为( )A. 65B. 25C.153D. 253 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程.练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

例6.已知定点A（－2，3）,点F为椭圆2211612x y+=的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求| AM| ＋| MF |的最小值与最大值。

椭圆的定义及其应用

椭圆的定义既是判定又是性质：（平面内与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P 的轨迹叫做椭圆。

即：│PF │+│PF'│=2a ，其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│=2c<2a 叫做椭圆的焦距。

）椭圆的标准方程：22221x y a b +=或22221y x a b+=椭圆的定义既可以判断轨迹是椭圆的依据，既可以得出椭圆上的点具有的性质。

1. 若椭圆2212516x y +=上的一点p 到焦点1F 的距离为6,则点p 到另一个焦点2F 的距离是 4 解：根据椭圆的定义得出：122PF PF a +=，210a =,16PF =∴24PF =\ 2. 已知△ABC 的顶点B,C 在椭圆22.13x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点也在BC 边上，则△ABC 的周长是解：由题意已知焦点2F 在BC 边上∴22BC BF F C =+，根据椭圆的定义：2AB BF +=，2AC CF +=，因此，△ABC 的周长22l AB BF AC CF =+++=3,已知1F ，2F 是椭圆C :22221x y a b+=(a ＞b ﹥0)左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且 12PF PF ⊥,若△12PF F 面积为9，求b 的值解： 1222222121212121222212218()242934r r ar r r r r r r r b r r b b r r c⎧+=⎪=⇒+=++∴=∴=∴=⎨⎪+=⎩ 4.设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 做椭圆长轴长的垂线交椭圆于点P ，若△12PF F 为等腰直角三角形，求e解：设椭圆方程为22221x y a b+=，(),p x y ，x c =±，将点p 代入椭圆方程得，422b y a =又因为等腰直角三角形,所以，2122PF F F c ===2210e e +-=，1e =5.椭圆22215x y a +=（a为定值，且a >F ，直线x=m 与椭圆相交于A,B 两点， △FAB 的周长的最大值是12，求e解：根据题意得出：12AF BF AB ++≤，设另一个焦点为2F ，2212AF BF AB AF AF BF BF ++≤+++==4a∴a=3, 222954,2c a b c =-=-==, 23c e a ==6.已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆上的两个焦点，点P 为椭圆上的一点且，212.PF PF c =求离心率e 的取值范围？解：设(,)P x y ，1(,)PF c x y =---，2(,)PF c x y =--由题意：212.PF PF c =得联立得：2222222222222()1x y c a a c x x y c a b⎧+=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩；又22x a≤212e ∴≥所以离心率e 1e << 7．已知：点M,N 的轨迹方程分别为：2222M:(x+1)1;:(1)9y N x y +=-+=动圆P 与M 外切，与N 内切求点P 的轨迹方程是什么？解：设动圆圆心(,)P x y ,半径为r ；根据题意得出：143P M rP M P N P N r⎧=+⎪⇒+=⎨=-⎪⎩由椭圆的定义可知，曲线C 是以M,N 为左右两个焦点，长半轴为2221(2)43x y x +=≠- 8.已知定点(0,1)A -，点B 在圆F 上：22(1)16x y +-=上运动，F 为圆心，线段AB 的C 垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程。

椭圆的基本定义-概述说明以及解释

椭圆的基本定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述椭圆是几何学中一个重要的图形，具有许多独特的性质和应用。

它在数学、物理学、工程学等领域都扮演着重要的角色。

本文将深入探讨椭圆的基本定义、几何特征、数学表达及其在现实生活中的应用。

在几何学中，椭圆是一个闭合曲线，具有两个焦点和一个长轴短轴的特点。

椭圆可以用简单的数学表达式描述，如(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆的长短轴。

椭圆不仅在数学中被广泛研究，同时也被广泛应用于现实生活中。

例如，椭圆的形状在太阳系中的行星轨道、卫星轨道以及电子轨道中都有所体现。

此外，椭圆也被应用于卫星通信、椭圆锥曲面的建模等领域。

通过深入了解椭圆的定义与性质，我们可以更好地理解其在数学和科学领域的重要性，同时也可以展望椭圆在未来的进一步发展与应用。

在接下来的章节中，我们将对椭圆的几何定义、数学表达以及实际应用进行详细介绍，以深入探讨椭圆这一重要的几何图形。

1.2 文章结构文章结构包括引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要是对椭圆的基本概念做简要介绍，引导读者对文章的内容有一个整体的了解。

文章结构部分则是对整篇文章的框架进行概括和说明，让读者了解文章的组成部分和内容安排。

目的部分则是说明本文写作的目的和意义。

正文部分是文章的主体部分，包括椭圆的几何定义、数学表达和在现实生活中的应用等方面的内容，通过这些内容来详细介绍椭圆的基本定义和特性。

结论部分则对整篇文章进行总结，概括椭圆的基本定义，强调椭圆在数学和科学中的重要性，并展望椭圆的未来发展方向。

通过上述结构，读者可以清晰地了解文章的内容安排和逻辑脉络，帮助他们更好地理解和消化文章的内容。

1.3 目的本文旨在介绍椭圆的基本定义，深入探讨椭圆的几何特性和数学表达，以及探讨椭圆在现实生活中的应用。

通过对椭圆的深入研究，我们可以更好地理解椭圆的特点和性质，进一步探讨其在数学和科学领域中的重要性。

通过本文的阐述，读者可以更全面地了解椭圆这一重要的几何形状，深化对其在现实生活中广泛应用的认识，同时也可以为未来对椭圆相关问题的研究提供一定的参考和启发。

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“ Ｕ
＝１口＞ｂ（
＞０的两个焦点，Ｆ作一条直线交椭圆于Ｐ，）过：Ｑ两点，ＡＰＱ的周长。求Ｆ
［收稿日期］２１ —０ —２０１１Ｏ
［者简介］刘春菊（９０一）女，北临城中学教师。作１７，河
２１０１年４月
廊坊师范学院学报（自然科学版）ＪｕｎｏａｇａｇＴａｈｒＣＵｇ（ａｕｎｃｎｅＥｉｏ）ｏｒ￣ｆｎｆｎｅｃｅｓｏｅｅＮｔｒａＳｉｃｄｔｎＬｌｅｉ
Ａｐｒ２１．０１
第１卷第２期１
【ｅｏｓｏａｅｅｔｃｆｖ；ａｉｕ＆ｍｎｕ；ｃｌａｉＫｙｒ】ｖｌｃｎｒｉｏｏａｍｘｍｗｄ；ｃｉｖｌｍｉｍｆａｒｕｍｏｄｓ
［中图分类号］０１３２［文献标识码］Ａ［文章编号］１７ —３２（０１０ —０１ —０６４２９２１）２０９２
数ｅ０＜ｅ＜１，Ｐ点的轨迹是椭圆。（）则
Ｑ
解因为ｌＦＩＩＦ＝２，Ｑｌ＋１＋２ＰＰｌ０ＦＩ
ｌＦｆ２，以 △ＰＦ＝ａ所ＱＱ的周长＝ｆＦＩ＋Ｐ
以上两个定义都是用椭圆上的点到焦点的距离
椭圆是圆锥曲线中比较重要的内容，椭圆定而
Ｊｙ
义又是其中比较重要的一部分，我们可以运用定义从不同的角度去解决一些重要问题。
１预备知识
定义１在一平面内，Ｆ是两定点，Ｆ，Ｐ为动
２３求三角形的面积。
则ＩＤＩ，Ｃ＝￣，：ｃＩＤＩ／ｃ因为点Ｄ在椭圆上，Ｂ３所
以ＩＤＩＤｌ１，）：２，＋１：（＋／ｃａ所以ｅ：：ＢＣ３
¨
一
１。
２１３求椭圆焦半径．．
・
Ｃ
１・９
２１年４月０１
廊坊师范学院学报（自然科学版）
第１卷・２期１第
解设 △ ＡＣ的边长为２，Ｂ的中点为Ｄ，ＢｃＡ
此题是结合椭圆第一定义和第二定义来解决问题；上面例题可以看出，解决圆锥曲线的问题从在时，定义的角度考虑是一种很好的解题思路。从下面我们看有关定义的其它方面应用。
—
Ｐ
一
点，ｌＦＩＦ＝２（ａ＞Ｉ，为常且。＋ｌ２ＰＰＪａ２ＦＩⅡ Ｆ
数）则Ｐ点的轨迹是椭圆。，定义２在一平面内，为定点，为定直线，ＦＺ动点Ｐ到Ｆ的距离与到定直线ｚ的距离之比为常
ｒｄｉｓ．ｉｃｍｆｒｎｅａｎｑｕｒｆｔｉｎｇｅ，ａｉｕ＆ｍｉｉａｕｃｒｕｅｅｃｄｓａｅｏｒａｌｍｘｍｍｎｍｕｍ，ｏｕａｄｔｅｒｎｇｆｒｌｔｄｑａｉｙ．ｌｃｓ，ｎｈａｅｏｅａｅｕｎｔｔ
２２
例５设点Ｆ，：Ｆ是椭圆＋
＝１ｏ＞ｂ（
例３设椭圆＋：１口＞６＞０的焦点坐（）
ａｏ
例２ △ ＡＣ是正三角形，以Ｂ，Ｂ求ｃ为焦点，过ＡＡＣ中点的椭圆的离心率ｅＢ，。
２定义的运用
２１直接运用定义．
２１１求三角形的周长．．
２２
例１设点Ｆ，２椭圆ｘ＋１Ｆ是
的范围等方面的应用。
【关键词】椭圆；离心率；最值；焦半径
ＴｈｅＡｐｐｉａｉｎｏｈｅＤｅｉｔｏｆＯｖｌｌｃｔｏｆｔｆｎｉｉｎｓｏａ
ＬＩＣｎｉＵｈｕ－ｕ【ｂｔｃ】Ｔｅａｔｌｄｃｓｓｐｌｉｇｔｅｔｏｄｆｒｎｅｎｔｎｆｖｌｏｃｃｌｉｇｔｅｅｃｎｒｉｏｖ，ｃＡｓａｔｒｈｒｃｉｕｓｐｙｗｉｅｅｔｆｉｏｓａｔａｕｔｈｅｔｃｆａｆａｉｅｓｅａｎｈｆｄｉｉｏｏｌａｎｃｉｙｏｌｏｌ
来刻画，根据题设灵活运用定义是解题的关键，当题
ｌｐｆＱ＝ＩＦＩＩＦＩｉＦｊ＋ＦＩ＋：＋。＋ＰＰＰＱ
ＩＦ：４。２Ｑｊ Ⅱ
２１２求椭圆离心率．．
设出现椭圆上的点到两焦点距离时，考虑第一定可义，当题设出现椭圆上的点到一个焦点的距离或到准线的距离时，考虑第二定义。可
Ｖ０．ＮＯ．１１ｌ２
椭圆定义的应用
刘春菊
（：城中学，北临城０４０）河ｌｒＬｌ￣河５３０
【摘
要】利用椭圆的两种定义，讨论了在求椭圆的离心率、焦半径以及三角形的周长、积、面最值、轨迹、相关量

椭圆定义的应用