圆中常用的作辅助线的八种方法

骣 a ç ÷ ÷ ç ç 桫 2÷
＋a2，
骣 a÷ ç4 + ÷ ç ç 桫 2÷ 2 a
4
2
在Rt△OEF中，r2＝42＋ ∴
a
2
，
4
＋a2＝16＋16＋4a＋
.
解得a1＝8， a2＝－4(舍去)． 2
骣 8÷ ÷ ç ç 桫 2÷ ∴ r1 ＝ 4 5
∴ r2 ＝ ç
＋82＝80. ，r2＝－4
即OC⊥AC.
又∵点C在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线．
︵ (2)求由弦CD，BD与BC所围成的阴影部分的面积．
(结果保留π)
(2)∵OE⊥DB，∴EB＝ 解： ∴OE＝
1 2 1 2
DB＝3
3
cm.
在Rt△EOB中，∵∠OBD＝30°，
OB.
3
∵EB＝3
cm，
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm.
又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE， ∠CED＝∠OEB， ∴△CDE≌△OBE.
∴AE＝EC，即E为AC的中点．
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线． ∴DE＝
1 2 1 2
AB＝
×2＝1.
方法
7
遇切线巧作过切点的半径
8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，
点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线； (1) 如图，连接OB，∵OA＝OB， 证明： ∴∠OAB＝∠OBA. ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA.
∴△ADP≌△BDH. ∴AP＝BH.
本题通过作辅助线构造圆周角，然后利 用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝
∠DBC，为证两三角形全等创造了条件．
方法
3
作直径，巧用直径所对的圆周角是直角
3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，
连接AD，BC.
(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；
证明：(1) 如图，过点D作⊙O的直径DE，连接AE，EC，AC. ∵DE是⊙O的直径， ∴∠ECD＝∠EAD＝90°. 又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.
方法
8
巧添辅助线计算阴影部分的面积
9．【中考· 自贡】如图所示，点B，C，D都在⊙O上，
过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，
且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6
3
cm.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(1)如图，连接CO，交DB于点E， 证明：
∴∠O＝2∠CDB＝60°. 又∵∠OBE＝30°， ∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°. ∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°.
证明：如图，连接AD，BD.
︵ ∵∠DAC、∠DBC是DC所对的圆周角． ∴∠DAC＝∠DBC. ∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，
∴DP＝DH.
ì ï 行D A P ＝ D B H ， ï ï ï 在△ADP和△BDH中， í 行D P A＝ D H B ＝ 9 0 ?， ï ï ï ï î D P＝ D H .
由(1)知，AD2＋BC2＝4R2， ∴52＋12＝4R2.
26 2
∴R＝
.
∵∠EAD＝90°，OF⊥AD， ∴OF∥EA. 又∵O为DE的中点， ∴OF＝
1 2 1 2 1 2 1 2
AE＝
BC＝
.
即点O到AD的距离为
.
本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周 角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带
“作垂直，证半径”等．
方法
1
作半径，巧用同圆的半径相等
1．如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD
的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径
上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半 圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正 方形的边长为4 cm， 求该半圆的半径．
解：如图，连接OA，OF. 设OA＝OF＝r cm，AB＝ a cm. 2 在Rt△OAB中，r2＝
∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA.
即∠PAO＝∠PBO. 又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°. ∴OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线．
(2)已知PA＝
3
，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．
解：(2)如图，连接OP， ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，
5 5
(舍去)． cm.
即该半圆的半径为4
在有关圆的计算题中，求角度或边长时， 常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利
用特殊三角形的性质来解决问题．
方法
2
连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等
2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线 与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM， 垂足为H.求证：AP＝BH.
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训2
圆中常用的作辅助 线的八种方法
在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要
添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至 关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧 用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所 对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周
角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及
∴S△CDE＝S△OBE.
∴S阴影＝S扇形OCB＝
60 360
π·62＝6π(cm2)．
∴∠BAC＝∠ACE. ︵ ︵ ∴BC＝AE.
∴BC＝AE. 在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2， ∴AD2＋BC2＝4R2.
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根
(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
解：(2)如图，过点O作OF⊥AD于点F. ∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根 (AD>BC)， ∴AD＝5，BC＝1.
∴∠ACD＝∠CAB. ∴∠B＝∠ACD.
又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E. ∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC. 又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切
方法
5
遇弦加弦心距或半径
5．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相
垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP
的长为( C ) A．3 B．4 C．3
∴点O在线段AB的垂直平分线上．
∴OP为线段AB的垂直平分线．
又∵BC⊥AB，
∴PO∥BC. ∴∠AOP＝∠ACB＝60°. 由(1)知∠PAO＝90°. ∴∠APO＝30°. ∴PO＝2AO.
∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，
∴AO2＋3＝(2AO)2.
又∵AO＞0， ∴AO＝1，∴⊙O的半径为1.
(1)求证：△ABC为等边三角形． 证明：(1) 如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线． ∴AB＝AC. ∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC为等边三角形．
(2)求DE的长．
(2)如图，连接BE. 解： ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形，
2 2
D．4
同类变式
6．【中考· 贵港】如图所示，AB是⊙O的弦， OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点， 若AB＝2
3
，OH＝1，
则∠APB的度数是________．
方法
6
遇直径巧加直径所对的圆周角
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的
⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．
来了方便．
Biblioteka Baidu 方法
4
证切线时辅助线作法的应用
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且
与OA的延长线交于点D. 判断CD与⊙O的位置关
系，并说明理由．
解：CD与⊙O相切，理由如下： 如图，作直径CE，连接AE. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°.
∴∠E＋∠ACE＝90°.
∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB. ∵AB∥CD，